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1、电磁场理论答案第二章 宏观电磁场的基本规律第二章 宏观电磁场的基本规律 内容提要： 1. 真空中的静电场 库仑定律：实验得出，点电荷q1对点电荷q2施加的力是 v F12=q1q24pe0R123vR12 v式中R12是两个点电荷之间的距离，R12是从q1指向q2的单位矢量。将q1视为试探v电荷，其上所受的力为F12，则定义电场强度为 vvF12 E= q1根据叠加原理：点电荷系及连续分布电荷的电场分别为： v E=Ni=1vqiRi4peRi0vRR33v E=14pe0dq 其中dq为连续分布电荷的电荷元。对体、面、线电荷分别为： rdv dq=rsds rdll静电场的基本方程： v 微
2、分方程：E=0 vr E= e0 积分方程： lvEdl=0 vqEds= se0v因此E=-f 其中fP=14pe0QPvEdl 2. 真空中的恒定电流的磁场 安培定律：闭合电流回路1的磁场作用在闭合回路2上的磁力是 vm F12=0I1I24pl1dl2v(dl1R12)R123l2v其中R12是从线元dl1指向dl2的单位矢量。则电流I1产生的磁感应强度是 vm B=04pvIdlRR3上式是毕奥萨伐尔定律。对于连续的电流分布 vm B=04pvvtdvRR3v洛仑兹力： vv在磁场B中，一个速度为V的电荷q受到的磁力是 wvqVB v如果还同时存在电场E，则总的力是 vwv q(E+V
3、B) 恒定磁场的基本方程： v 微分方程：B=0 vv B=m0J 积分方程： svBds=0 vBdl=m0I=m0lsvJds vv因此 B=A vm0A=其中 4pIdlrl是失势。这个线积分是对通有电流I的回路所作的 3. 电介质中的静电场 vv介质中的静电特性可用极化强度p描述。极化产生了真实的电荷聚集。由p可确定体与面束缚电荷密度 rpv=-p vv(p2-p1) rsp=-n与介质的表面垂直，指向外方。 其中单位矢量n介质中静电场的基本方程： 微分方程：D=p E=0 vvvvD=eE=e(E+p) 0vvv积分方程： 说明静电场是有源无旋场。 4. 磁介质中的恒定磁场 vDds
4、=srdvvlvEdl=0 磁化强度M是与电介质中的极化强度p相对应的量。磁化产生一等效面电流密度和等效体电流密度。其中 vv(MJSM=n vvJM=M2vvv-M1)等效电流与传导电流在产生磁场方面是等价的。 磁介质中恒定磁场的基本方程： 微分方程：H=J v B=0 vv B=mH=m0(H+M) 积分方程： vHdl=vvvvlsvJds svBds=0 说明恒定磁场是有旋无源场。 5. 几个定律 法拉第感应定律： vvBvp 微分形式：E=-tvvBds 积分形式：Edl=-lt说明变化的磁场要产生电场，这个感应电场为有旋场。 欧姆定律： 在导电媒质中，传导电流密度与外加电场关系为：
5、 J=sE 电荷守恒定律： 自由电荷是守恒的，J=-vrtvvvrt束缚电荷也是守恒的，Jm=- tvvvvvp其中：Jm=J+M是物质电荷的流动引起的电流，J是自由电流密度，tvvp是极化电流密度，M是磁化物质中等效电流密度。rt=r+rm，r是自t由电荷密度，rm是束缚电荷密度, rm=-p。还有第四种电流，即使在真空中vEtv亦存在，相应的电流密度为e0v(e0E)t。且 =vp(e0E)= tt总的体电流密度 vvvvv(e0E)p+ Jt=J+M+ ttvvvv(e0E+p) =J+M+tvvvD =J+M+ t其中为位移电流密度。 6. 麦克斯韦方程组 介质中的麦克斯韦方程组 vD
6、=r 微分形式：v B=0 rvB E=- tvvvD H=J+ t积分形式： vDds=srdvvLvBds=0 vdEdl=-dtvHdl=svBds LvvDsJ+tds 真空中的麦克斯韦方程组 在上述方程中，用D=e0E，B=m0H代入即可得真空中的麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组都适用于非均匀、非线形和非各向同性介质。 7. 电磁场的边界条件 在两种介质交界面上，场矢量满足 vv(D2-D1)=rs nvvvvvv(B2-B1)=0 nvv(E2-E1)=0 nv(Hnvv-H1)=Js 2其中单位矢量由介质1指向介质2。若是两种理想介质，则分界面上rs=0，vvvvvJs=0。若介质
7、1为理想介质，则D1=E1=H1=B1=0。 2-1. 这题的解放在第四章中 2-2. 据高斯定理 rr1 vE1ds=0 v E1=0 r1rr2 3p(r2-r1)331e0vvrfr33 E3=(r2-r1)3 3e0r极化体密度： 据 re0vv=-p=-(1-)D ep =(可得: r r=(e0ev-1)D e0ep-1)rf r1rr2 p=0 rr2 极化面电荷密度： 据 spvv=-n(p2-p1) v r=r1 E1=0 s r=r2 p=0 s 2-3. 证： p=r2-r13r2233(1-e0e)rfvdpdt=ddtvdvr(r,t)rdv vvr(r,t)rdv
8、vv =vr(r,t)v =rdv vtvv =-Jrdv vv =-(J)xdvex-vdtvv(J)ydvey-vvvv(J)zdvez ex分量： vv(J)xdv=vvv(xJ)-(x)Jdv v =xJds-Jsvxdv vxJds=0。则 上式第一项为封闭曲面，即边界面。边界面上无电流流出，故 svv(J)xdv=-Jxdv v 同理 vv(J)ydv=-Jydv vvv(J)zdv=-Jzdv v 因此 dpdt=vvJxdvex+vvJydvey+vvJzdvez=vvJdv 2-4. 解：由安培环路定理： rr1 LvB1dl=0 v B1=0 r1rr2 Lv22B3dl=
9、mJfp(r2-r1) 2prB3=mJfp(r22-r12) 22vm(r2-r1)vvJr B3= f22r磁化电流： 由 tvMvvm-m0v11vM=(-)B=B =M m0mmm0vvM=H 0v-H vvm-mr1rr2 JM=M=(0mmvm-mB2)=00mmvB2 0 =m-m0mm0mJvf =(mm0v-1)Jf v rr2 JM=0 磁化面电流密度： JSM=n(M1-M2) r=r1 JM=0 r=r2 JSM=-nMvvv1vvvvvm-mv=-n(mm00v)B2 =-(mm0mm0-1)(r2-r12r22222vvr)(Jf) rrv)tf vr =-( 2-
10、5. r-1)(r2-r12r22pve0ve0e0v=-p=-(1-)D=-(1-)D=-(1-)reeefvvvvD2-7. 由 r=D H=J+ tvvvvvD=(D)=(H-J)=-J tttrrtv+J=0 2-9. 证： 证明的思路是从其中两个方程出发可导出另外两个方程。我们从两个旋度方出发，导出两个散度方程 vvE=-Bt vvvH=J+Dt. v(1)设：(E)=-v(B)=0t vB=C(x.y.z) C相对时间t而言是常数，由初始条件确定。 假设初始时刻vvB=0或B=常矢 则 vB=0 C(x.y.z)=0 vv(2)设：H=J+v(D)t vJ=-v(D)t 由电荷守恒
11、定律 vJ=-rt 得：vD=r 波动方程的推导 对式两边求旋 vE=-vv(B)=-(ttmH) v(E)-2vvE=-mvt(J+Dt) vv2vrJE2-me -E=-m 2ettvv2vErJ2=+m E-me 2ettvvvvD 以上推导中利用了矢量恒等式及其D=r, H=J+ t 同理可推出关于磁场满足的方程 vvv(D)=J+e(E) ttvvvvB2(-) (H)-H=J+ett (H)=J+vvv2vvH2) -H=J-me2tv2vvH2=-J H-me 2t2-11. 据边界条件： D1n=D2n E1t=E2t e1E1cosq1=e2E2cosq2 E1sinq1=E2sinq2 两式之比 vvvvD2-12. H=J+ D=r tvvvvB E=-Jm- B=rttgq1tgq2=e1e2m
