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1、相似三角形中的辅助线专题 教师相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例1. 如图，DABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延BFBD=长线与BC延长线相交于F，求证： CFCEB D A C F E 例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 二、作垂线 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，
2、垂足分别为E、F，求证：ABAE+ADAF=AC2。 FDCABE三、作延长线 例5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。 例6. 如图，RtDABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF 四、作中线 DABC中，例7 如图，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。 五、综合练习题 1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 求证：EFBC=ACDF 2、DABC中，
3、ACB=90，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点，MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PB=CM:CN。 3、. 如图，DABC中，AB=AC，BDAC，那么BC2=2CACD吗？试说明理由？ 相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例1. 如图，DABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延BFBD=长线与BC延长线相交于F，求证： CFCEB G D A C E 例1图 例2图
4、 例3图 证明：过点C作CG/FD交AB于G。 小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。 例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 F 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。ABEF欲证ABDF=ACEF，需证=，而这四条线段所在的两个三角形显然ACDF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC。 EMEC=即EMAC=ABEC， ABACABEM= ACEC同理可得DEMF
5、DDBF EFEM=， DFBDEMEMEM=， ECBDBD又QBD=EC， ABEF=， ABDF=ACEF ACDF方法二：如图，过D作DN/EC交BC于N， 则有，DBDNDBAC， BDDN=，即BDAC=ABDN ABACABBD= 同理DECFDDNF， ACDNECEF=，而BD=EC DNDFBDECEC=， DNDNDNABEF=，ABDF=ACEF ACDF二、作垂线 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：ABAE+ADAF=AC2。 证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N DABMDACE AMAB= ABAE=
6、ACAM AEAC 又 DADNDACF ANAD= ADAF=ACAN AFAC +ABAE+ADAF=ACAM+ACAN=AC(AM+AN) 又 DADNDBCM AN=CM ABAE+ADAF=AC(AM+CM)=AC2 三、作延长线 例5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：P
7、B=1：3 ADBC PADPBC SPAD：SPBC=1：9 SPCH=1S 2PBC SPAD=S四边形AHCD=2：7 S四边形AHCD=21 SPAD=6 SPBC=54 SHBC=1S=272PBC例6. 如图，RtDABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF FGCF= 由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？BFFG显然不可能。，但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H， AFFGFHFGFH=则 AEEDECEDEC又ED=EC FG=FH 又易证RtCFH
8、RtGFB CFFH= FGBFFGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF 四、作中线 DABC中，例7 如图，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。 解析：欲证式即解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC DBC=DCB 1=C=DBC DMACDDBC MCAC1= 又 DC=1 MC=BC DCBC2MCBC1=BC2 AC=DC2又 RtDAECRtDBAC 又 EC=1 AC2=CEBC=BC 1AC4 AC=32 2小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造DMAC与DDBC相似是解题
9、关键 五、综合练习题 1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 求证：EFBC=ACDF 由得，AC=题一图 题二图 2、DABC中，ACB=90，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点，MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PB=CM:CN。 3、. 如图，DABC中，AB=AC，BDAC，那么BC2=2CACD吗？试说明理由？ 图 图 图 (3) 参考答案： DGDF=BEBEEFDGDFDGAD=AD, 由DGBC可得ADG和ACB相似， ADEFBCACDGBCDFBC= 由得，EFBCACDF ADACEFAC1、过D
10、作DGBC交AB于G，则DFG和EFB相似，2、过P作PEAC于E，PFCB于F，则CEPF为矩形 PF/=EC A=B=45 RtDAEPRtDPFB AP:PB=PE:PF EC=PF PAPEPE= 在DECP和DCNM中：CPMN于Q PBPFECQCN+QNC=90又 QCN+QCM=90 MCQ=CNQ RtDPECRtDMCN EPECEPCM= 即 由得CMCNECCNPACM= PBCN3、方法一：如图，设BC中点为E，连接AE。 AB=ACoAEBCAEC=BDC=90 BE=CEDBDCDAEC C=CBCCD=BCCE=ACCD ACCE2BC=2CACD1CE=BC2 方法二：如图，在DA上截取DE=DC。在BED与BCD中， BDCEBDE=BDC=90oDE=DCDBEDDBCDBEC=C BD=BDAB=ACABC=CACBC=BC2=ACEC=2ACCD BCEC 方法三：如图，过B作BEBC于B，交CA的延长线于E。 DABCDBCEAB=ACC=ABC C+E=90oE=ABEAB=AEAE=ACABC+ABE=90oAB=AC易得RtDCBDRtDCEBBC2=CDCE2 BC=2CACD CE=2CA
