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1、知识讲解函数y=Asin的图象基础y=Asin(wx+j)的图象与性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 1.了解A,w,j对函数图象变化的影响，并会由y=sinx的图象得到y=Asin(wx+j)的图象； 2明确函数y=Asin(wx+j)中常数A、w、j的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念 要点一：用五点法作函数y=Asin(wx+j)的图象 用“五点法”作y=Asin(wx+j)的简图，主要是通过变量代换，设z=wx+j，由z取0,来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：用“五点法”作y=Asin(wx+j)图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公
2、差为p3,p,p,2p22T. 4要点二：函数y=Asin(wx+j)中有关概念 y=Asin(wx+j)(A0,w0)表示一个振动量时，A叫做振幅，T=叫做频率，wx+j叫做相位，x=0时的相位j称为初相. 要点三：由y=sinx得图象通过变换得到y=Asin(wx+j)的图象 1.振幅变换： 2pw叫做周期，f=1w=T2py=Asinx，xR(A0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域-A，A，最大值是A，最小值是-A.若A0且w1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(w1)或伸长(0w0,w0)
3、，xR的图象可以看作是用下面的方法得到的： (1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(j0)或右(j0)平行移动j个单位； 1倍(纵坐标不变).若w1)或伸长(0w1)或缩短(0A0)，便得y=sin(wx+j)的图象. w途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换. 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的平移1倍(w0)，再沿x轴向左(j0)或向右(j0)w|j|w个单位，便得y=sin(wx+j)的图象. 举一反三： 已知函数y=2sinxp+ 23作出函数的简图； 指出其振幅、周期、初相、值域 y=2sin列表： xp+ 23x 2-p 30 0 xp+ 23y p 3p 22
4、4p 3p 0 7p 33p 22 10p 32p 0 描点画图，如下图所示： 把-2p10p,之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图 33振幅为2，周期为4，初相是p，最大值为2，最小值为2，故值域是2，2 3如何由函数y=sin x的图象得到函数y=3sin2x- 解法一： p的图象？ 3y=sinx向右平移个单位长度3pp将各点的横坐标缩短为原来的2倍py=sinx-y=sin(2x-)331p将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y=3sin2x- 3解法二： 12将各点的横坐标缩短为原来的向右平移个单位长度6py=sinxy=sin2xp将各点的纵坐标伸长为原来的3倍ppy=sin2x-y
5、=3sin2x-=3sin2x- 663本题用了由函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(wx+j)的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系 类型二：三角函数y=Asin(wx+j)的解析式 例3已知函数f(x)=Asin(wx+j)+k，在同一周期内的最高点是(2,2)，A=3,k=-1 又x=2是函数的最大值点，x=8是函数的最小值点 2pw=2(8-2)=12，w=p6又函数最高点为，即p62+j=p2j=p6y=3sin(x+)-1 66求函数y=Asin(wx+j)的解析式，j值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点，与正弦曲线上点对应，
6、即wx1+j=kp+选取k值，确定符合条件的k值 举一反三： 已知函数y=Asin(wx+j)的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点，试求函数的解析式 由已知条件知A=22，又T=16，w=T=6-2=4， 42p2ppp=，y=22sinx+j T1688p6+j， 8图象过点，0=22sin3p， +j=kp4又|j|p2，令k=1可得j=p4， y=22sinppx+ 48如下图为正弦函数y=Asin(wx+j)|j|0,w0,0j0,w0)的图象过点P(个最高点是Q(p12,0)，图象上与点P最近的一p3,5) 求函数的解析式； 求函数f(x)的递
7、增区间 依题意得：A=5，周期T=4(p312-pp)=p, w=2p=2,故y=5sin(2x+j)，又图象过点P(,0)， p125sin(+j)=0，解得：+j=0，即j=- 666y=5sin(2x-) 6由-得：-ppppp2+2kp2x-p6p2+2kp,kz p6+kpxp3+kp,kz 故函数f(x)的递增区间为：-pp+kp,+kp,kz 36设函数f(x)=Asin(wx+j) Af(x)的图象过点0, Bf(x)在p2）的图象关于直线x=2p对称，3125p2p,上是减函数 123Cf(x)的一个对称中心是 C 周期T=，5p,0 Df(x)的最大值是A 122p=p，又0，=2 |w|又f(x)的图象关于直线x=j=2p2p3p对称，2 +j=332p6，f(x)=Asin2x+p6图象过0,A 2又当x=5pp5p时，2x+=p，则f=0， 126125p,0是f(x)的一个对称中心 12 与研究其他函数的性质一样，研究函数f(x)=Asin(wx+j)
