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1、知识讲解指数函数及其性质基础指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现
2、问题，解决问题 要点一、指数函数的概念： x函数y=a(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： 形式上的严格性：只有形如y=a(a0且a1)的函数才是指数函数像y=23，y=2，xx1xy=3x+1等函数都不是指数函数 为什么规定底数a大于零且不等于1： xx0时，a恒等于0，如果a=0，则 xx0时,a无意义.如果a0，则对于一些函数，比如y=(-4)，当x=xx11 ,x=,时，在实数范围内函数值不存在24如果a=1，则y=1=1是个常量，就没研究的必要了 要点二、指数函数的图象及性质： y=a 图象 定义域R，值域 0a1时图象 x0 a=1,
3、即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 性质 ax=a，即x=1时，y等于底数a 在定义域上是单调减函数 x1 xx0时，0a1 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： x在定义域上是单调增函数 x0时，0a0时，a1 x当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论。 当0a1时x-,y0。 当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。 当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。 1指数函数y=a与y=的图象关于y轴对称。 axx要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 y=a y=b y=cx y=dx 则：0ba1dc 又即：x(0,+)时，bxaxdx
4、axdxcx 特殊函数 xxy=2x,y=3x,1y=x,21y=x的图像： 3要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若A-B0AB；A-B0A1，或0且a1,a0,且a1,判断一个函数是否为指数函数： 切入点：利用指数函数的定义来判断； 关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x 举一反三： 指出下列函数哪些是指数函数？ xy=4；y=x；y=-4；y=(-4)； x4xy=(2a-1)(ax1且
5、a1)；y=4-x 2x1为指数函数其中y=4=，符合指数函数的定义，而中底4-x数x不是常数，而4不是变数；是-1与指数函数4的乘积；中底数-40， 1+31， xx1+31+311， 1-1-0， 1+3x1+3x1 01-0， 2= 即 x=-1时，y取最小242333值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为,+). 44412x-1-0，即32x-13-2，又函数y=3x是增函数，所以(3)要使函数有意义可得到不等式39 00的条件，第(4)小题中x-12=1-1不能遗漏. x+1x+1举一反三： 求下列函数的定义域： (1)y=2(3)y=x2-1 (2)y=33-x2x-1 (4)
6、y=1-ax(a0,a1) R；(-，0,+)；a1时，(-，3；0；0a1时，(-，0；0a0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果 函数f(x)在区间上是增函数，在区间1，+）上是减函数 ，设x1、x2且有x1x2， 21f(x2)=3x2-2x211，f(x1)=3x2-2x1， 122x2-x1-2(x2-x1)(x2-x1)(x2+x1-2)f(x2)311 =2x1-2x1f(x1)1333当x1x21时，x1+x22，即有x1+x220 2x2-2x21又x2x10，(x2x1)(x2
7、+x12)0，则知3(x2-x1)(x2+x1-2)1 又对于xR，f(x)0恒成立，f(x2)f(x1) 函数f(x)在上单调递增 当1x1x2时，x1+x22，即有x1+x220 又x2x10，(x2x1)(x2+x12)0，则知 103(x2-x1)(x2+x1-2)1f(x2)f(x1) 函数f(x)在1，+）上单调递减 综上，函数f(x)在区间上是增函数，在区间1，+）上是减函数 11x22x=(x1)211，01，00，且a1)的单调区间. u当a1时，外层函数y=a在(-，+)上为增函数，内函数u=x2-2x在区间(-，1)上为减函数，在区间1，+)上为增函数，故函数f(x)=a
8、x22-2x+)上为增函在区间(-，1)上为减函数，在区间1，数； u当0a1)在定义域上为增函数. 例4证明函数f(x)=xa+1利用函数的单调性定义去证明。 定义域为xR，任取x10,a2+10， (a1+1)(a2+1)0， xxxx又a1， x1x2， a1a2， a1-a20， f(x1)1)在定义域上为增函数. 则 f(x)=xa+1xxxx-xx另：a1-a2=a1(1-a21)， a10， a1且x2-x10， x-xx-xa211， 1-a210,a1) 2利用指数函数的性质去比较大小。 2121-2412.502.51.81.833 (2.5)1时，aa，当0aa aa+1
9、 x(1)因为底数1.81，所以函数y=1.8为单调增函数， aa+1又因为aa+1，所以1.81.8. 211-24121111-2(2)因为3=，又y=是减函数，所以3，即31，222.511，所以2.5(2.5)01时，aa，当0aa (1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三： 比较大小： 2.12.3 33-0.3-0.1(1)2与2 (2)3.5与3.2 (3)0.9与1.1 (4)0.9与0.70.30.4 3(5)1.5-0.
10、224,3,3. 33112.12.3(1)22 333(2)3.53.2.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x，它为增函数. -0.3-0.3(3)由0.9，00.91， -0.31， -0.1-0.3-0.1 1.11， -0.1001.11.1； 0.30.4(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.90.7. 22=0.2，又函数y=x为减函数， 33120.223x00y0， 33114320.2234x1y=为增函数，x=0时，y1，. 3333311143233另解：幂函数y=x为增函数，则有1，(下略). 33(5)1.5-0.2 利用函数的性质比较2
11、，3，6 326 2=2=(2)=8 3=3=(3)=9 作出y=8,y=9,y=6的图象知 y=9y=8y=6 所以326 13xxxxxx12131613121612361361613261261612162 比较1.5， 1.3， 3的大小. 3-0.20.712-0.21.30.7 30， 0351， 所以333352-0.21.3=1， 31a-2a+a=a-a=a-a=1 2a3-a3,0a143232313223134323举一反三： 如果a2x+1ax-5，求x的取值范围 当0a1时，x-6 当0a1时，由于a2x+1ax-5， 2x+1x-5，解得x-6 综上所述，x的取值范
12、围是：当0a1时，x-6 类型四、判断函数的奇偶性 例7判断下列函数的奇偶性：f(x)=(偶函数 f(x)定义域关于原点对称(j(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是j(x)定义域除掉11+)j(x) (j(x)为奇函数) x2-12112x1-2x111+=+=+0这个元素)，令g(x)=x +，则g(-x)=-xxx2222-11-22-122-1-(2x-1)-111111=+=-1-+=-(+)=-g(x) xxx22-12-122-12 g(x)为奇函数， 又 j(x)为奇函数， f(x)为偶函数. 求f(x)=g(x)j(x)的奇偶性，可以先判断g(x)与j(x)的奇偶性，
13、然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出f(x)的奇偶性 举一反三： 判断函数的奇偶性：f(x)=偶函数 定义域x|xR且x0， xx. +x2-12112x12x1+)=-x(+)=x(-) 又f(-x)=-x(-x2-121-2x22x-122x-1+111111-)=x(1+x-)=x(x+)=f(x)， =x(x22-12-122-12 f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例8如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y=a的图象，而a,x12,3,p，22则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_ 21 p 223 由底数变
14、化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数C1的底数C4的底数C3的底数 利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低” 举一反三： 设f(x)=|3-1|，cba且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是 A33 C3+32 D3+32 D 为了得到函数y=93+5的图象，可以把函数y=3的图象( ) A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 xxxcbcbcacaB向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 C 注意先将函数y=93+5转化为y=3y=93+5=3xxx+2xx+2+5，再利用图象的平移规律进行判断 x+5，把函数y=3的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y=93+5的图象，故选C 用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等
