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1、本节的教学内容,学校选址问题介绍带权图的概念；最短通路的概念；迪克斯特拉算法介绍；求解学校的最佳配置点相关问题练习,目标（学习任务）：,领悟带权图领悟最短通路能用迪克斯特拉算法求最短通路,案例：学校选址问题,有A、B、C、D、E、F六个村子，如下图。各村之间的距离已知（边上的数字），各村的学生数分别是A：50人，B：40人，C：60人，D：20人，E：70人，F：90人。现要在公路旁的D村或E村建一所学校，问校址选在何处，才能使所有学生所走的总路程最短？,任务一:学习课本,请完成下列任务,什么图是带权图，举例；在下图中点D到F的最短通路是哪条？最短路长是多少？,边权、带权图、最短通路,边权：若
2、图G（V,E）中每一条边e附加一个实数w(e),称w(e)为边e的权(有时也可说成是边的“长”)。带权图：图G连同它的边上的权称为带权图，记为G=(V,E,w)。最短通路：在带权图中给定两个结点vi与vj，如果从vi到vj有多条通路，构成某通路的边的“长”的和叫做该通路的“长度；从vi到vj的所有通路中，“长度”最小的通路叫做从vi到vj的最短通路。,如图右中，点D到F的最短通路是“DEF”(长度4),任务二、学习课本或资料中“迪克斯特(Dijkstra)算法”，求出下图中结点v1到所有结点间的最短路，并标记出来。,最短通路算法,当从一地到另一地有多条通路时，常常会提出寻找距离最短、需时最少、
3、费用最省等的路径问题。这样的问题可归结为：在一个有n个结点和m条边的带权图（网络）上，寻找一条从结点s到结点t的最短通路，使得通路上各边上的权的总和为最小。,最短路径分析,权可以是距离、时间、运费、流量等，对不同的问题可进行不同内容最短分析。下面介绍的最短路径搜索的算法是迪克斯特拉（Dijkstra）在1959年提出的，被公认为是最好的算法之一。它的基本思想是:把图的顶点分为A,B两类,若起始点u到某顶点x的最短通路己求出,则将x归入A,其余归入B,开始时A中只有u,随着程序运行,B的元素逐个转入A,直到目标顶点v转入后结束。,迪克斯特拉(Dijkstra)算法,G 是带权无向图，求结点a 到
4、G 的任意结点v 的最短路。,（1）令A=a,B 包括图G中去掉结点a的所有剩余部分。,（2）对B 中直接和A中某些结点邻接的那些结点进行考 察，找出与起点a 距离最短的一个结点v（若存在多个，任选一个），记录这条最短路的长度，记做d(v)。,（3）将找出的结点v从B中划到A中。并且在A中增加点a与点v间所有边；在B中减去与点v间的所有边。,（4）重复(2)、(3)两步，直到终点出现在A中为止。,所有结点v,考察的是哪些点?记录的是哪个点?,如图，求出该图中结点v7到其余各结点间的最短路,课堂练习,课堂练习题:用迪克斯特拉算法，完成学 校选址问题,有A、B、C、D、E、F六个村子，如下图。各村
5、之间的距离已知（边上的数字），各村的学生数分别是A：50人，B：40人，C：60人，D：20人，E：70人，F：90人。现要在公路旁的D村或E村建一所学校，问校址选在何处，才能使所有学生所走的总路程最短？,校址选在何处（D为起点）,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,第二步,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,第三步,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,第四步,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,第一步,校址选在何处（E为起点）,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1
6、,3,3,第二步,7,A,F,B,C,E,D,2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,第三步,第四步,校址选在D处学生步行总长度,如此下去可得：A到D:ABCD7B到D:BCD5C到D:CD 1E到D:ED 1F到D:FED 4,若选在D,所有学生步行上学的总长度:7505401601704901040,A到E:ABCDE8B到E:BCDE6C到E:CDE 2D到E:DE 1F到E:FE 3,若选在E,所有学生步行上学的总长度:8506402601203901050,A(50),F(90),B(40),C(60),E(70),D(20),2,6,6,8,4,7,1,1,3,3,图 32-1,选D,校址选在E处学生步行总长度,课堂练习,求下列带权网络中从结点v1到结点v9的最短通路，边上的数字是该边上的权。,练习答案,求下列赋权网络中从结点v1到结点v9的最短通路(边上的数字是该边上的权)，并求最短通路的长度。,v2,v5,v1,v3,v4,v6,v7,v9,v8,3,3,3,3,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,答案：P=v1v2v5v9 LP=10,
