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1、第六章 微分方程模型,一、经济增长模型,发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革新.,本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后再研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效的增长.,1.Douglas生产函数,用 分别表示某一地区或部门在时刻 的产值、资金和劳动力，相互的关系为,其中 为待定函数，对于固定的时刻 上面的函数简记为,现来探讨函数 的具体表达式，引入记号,分别表示每个劳动力的产值和投资。有如下的假设：随着 的增加而增加，但增长速度递减。从而可以假设为,函数 满足上面的要求，常数 可看成是
2、技术的作用。将上面的形式代入到中，即：,由式知函数 有如下的性质：,式的具体意义是：产值是资金和劳动力的递增函数，但增长率逐渐下降（即加速度为负数）.（见前图）,记 表示单位资金创造的产值（又称为对,资金的边际产值）；表示单位劳动力能创造,的产值（又称为对劳动力的边际产值）.则从式得到,的具体意义是：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额。所以 的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。,式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，更一般的形式是,2.资金与劳动力的最佳分配,本段根据式讨论，如何分配资金与劳动力，使生产创造的效益达到最大。,假定资金来自贷款，
3、利率为 每个劳动力都要支付工资 因而总效益为,则相应的问题转化为资金与劳动力的分配比例（即每个劳动力占有的资金），使效益 为最大。,此问题由微分法可得到（为一个求极值的问题）。在式两边对 求导，并令其为零，则有,再由式；可得到,此即为资金与劳动力的最佳分配。,例 取则由关系,得,3.劳动生产率增长的条件,衡量经济增长的指标：总产值 和每个劳动力的产值 这个模型讨论的就是 满足什么条件才能使 保持增长？,假设,1.投资增长率与产值成正比，比例系数,2.劳动力的相对增长率为常数,注：这两个条件的数学表达式分别为：,方程的解为,将 代入 得到,又因 再由式，两边求导,得,比较上面两个式子，就有,此方
4、程为Bernoulli方程，其解为,其中,以下根据式来研究 保持增长的条件。,1)增长,由条件 及 得,其中的 以代入，可知条件 等价于,注意到上式右端大于 所以当（即劳动力不减少）时，上式总成立；而当 时，上式成立的条件是,此说明在劳动力减少的条件下，产值只能在短时间内增长，同时注意到，若,则不存在这样的时间。,2)增长,由条件得 再由 知,由于：,所以当 时，该条件成立，而当 时，,此条件等价于,此条件的意义是:劳动力增长率小于初始投资增长率.,二、香烟过滤嘴的作用,问题 烟草公司普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴，但是过滤嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的关系？在这一段中，我们建立相应
5、的数学模型来具体讨论这个问题。,分析,吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉淀下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉淀下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。,在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入.,模型假设,1.烟草和过滤嘴的长度分别是，毒素（毫克）均匀地分布在烟草中，密度为,2.点燃处的毒物随烟
6、雾进入空气和沿烟草穿行的数量比例是,3.未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率分别是常数,4.烟草沿香烟穿行的速度是常数 香烟的燃烧速度是常数 且,将一支烟吸完后毒物进入人体的总量记为 常识告诉我们，量 与过滤嘴的吸收率、烟草中毒物的初始含量有关，因此降低 的含量及降低烟雾在香烟总的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。,模型建立,设在时刻 及 处点燃香烟，为此建立相应的坐标系统：吸入毒物量 由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为此定义函数：,毒物流量 表示在时刻 时单位时间通过香烟截面 处的毒物量；,毒物密度 表示时刻 截面 处单位长度烟草中的毒物含量。,如果知道了流
7、量函数，吸入的毒物流量 就是 处的流量在吸一支烟时间内的总和。即,下面分4个过程来计算 值。,1.在 瞬间由烟雾携带的毒物在单位时间内通过处的数量 由假设4 知在香烟点燃处 静止不动。,记 考察 所对应的一段香烟，毒物通过 和 处的流量分别是 和 则根据守恒定律，这两个流量之差等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴的毒物的吸收量，由假设2及4，有,其中 是烟雾穿过长度为 的这一段香烟所需要的时间，令 则有微分方程：,在 处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作,根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为,求解微分方程。首先由方程及初始条件,方程的通解为 再由初始条件得从而得到方程的解为,对于方程及
8、初始条件,同样可得方程的解为,即方程的解可以表达为,2.在香烟燃烧的任何时刻 求毒物在单位时间内通过 的数量,因为在时刻 时，香烟燃至 处，记此时点燃的烟草在单位时间放出的毒物量为 则,仿1可得,3.确定,由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度 由初始值逐渐增加。考察烟草截面 处在 时间内毒物密度的增量 根据守恒定律它等于在单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有,令 并将、代入得方程,此方程为偏微分方程，该方程的解为,其中（由假设2）,4.计算,将代入中，得,最后将代入式作定积分得：,为便于对结果的分析，将上式写成,记 则式可写成,式即是我们需要
9、的最终，该式表达了吸入量 与 等因素之间的关系。,结果分析,1.与烟草含毒物量、毒物随烟雾沿香烟穿行比例 成正比。可以设想为将毒物 集中在 处，则吸入量为,2.因子 体现了过滤嘴对减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴的长度 及吸收率 降低穿行速度也可降低吸入量。,3.因子 表示的是未点燃的烟草对毒物的吸收而起到的减少 的作用。,根据实际数据有 则,4.比较,为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作比较，两支香烟的长度均为 一支带过滤嘴，长度为 吸入量分别为 则有,可见只要 过滤嘴就体现了相应的作用。,三、烟雾的扩散和消失,问题的提出,一颗炮弹在平原上爆炸，放出的烟雾以爆炸点为中心向四周迅速扩散，形成一
10、个近似于圆形的不透光区域。由于这个这个区域逐渐增大，其边界逐渐明亮起来，不透光区域逐渐变小，最后烟雾完全消失。本节建立一个相应的数学模型来描述烟雾的扩散和消失的过程，分析消失的时间与哪些因素有关。,问题的分析,爆炸引起的烟雾传播可以看成是无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程。能够用二阶抛物型偏微分方程描述烟雾浓度的变化规律。,整个建模过程应当包括能够：烟雾浓度的变化规律；穿过烟雾的光的强度的变化规律，仪器辨别亮暗的灵敏度的描述；不透光区域边界的变化过程等。,模型假设,1.炮弹的爆炸看作是在空中某一点向四周等强度地瞬时释放烟雾，烟雾在空间扩散，不计风力和大地的影响；,2.烟雾的传播遵从扩散定律：即单
11、位时间通过法向面积的流量与它的浓度成正比；,3.光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少,单位距离上光强的相对减少量与烟雾浓度成正比,没有烟雾的,大气对光线的吸收作用忽略不记；,4.在烟雾的扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪器的标准光强 保持不变，对于穿过烟雾而进入仪器的光强 观测结果只有亮暗之分，仅当 时观测结果为量。称为仪器的灵敏度。,建模,将爆炸时刻记为 爆炸点设为坐标原点。在时刻 时空间中任一点 的烟雾浓度记为由假设2，单位时间通过单位法向面积的流量,其中 是扩散系数，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。设空间区域 的体积为 包围 的曲面为 的外法向量为 则在时间区间 内，通过 的,
12、的流量为,而 的烟雾增量为,由质量守恒定律，知,由高斯公式，有,由积分中值定理得：,再由假设1，初始条件为在坐标原点的点源函数，记为,其中 表示烟雾总量，是单位强度的点源函数。,方程的解为,方程的解说明：在任何时刻 烟雾浓度函数 的等值面为球面 并且当 时，,2.穿过烟雾的光强的变化规律,考察沿一定方向穿过烟雾的光线，此方向的长度坐标记为 烟雾浓度为 光强为 由假设3，则有,是烟雾对光线的吸收系数，光线未进入烟雾时的强度记作 即,则方程在条件下的解为,3.仪器的灵敏度与不透光区域的边界,注意到，烟雾浓度在空间中是连续变化的，穿过烟雾而进入仪器的光强也是连续变化的，之所以会观察到烟雾扩散时不透光
13、区域的边界有一个先大后小、最终消失的过程，是由于仪器的观测结果只有亮暗之分。亮暗分界线由灵敏度 决定。由假设4仅当,观测结果为亮。,由假设3，光强 穿过没有烟雾的大气时其衰减可以忽略，因而不必对它与直接进入仪器的标准光强加以区分，从而式中的光强可以由式进行计算。,为方便起见，取沿着 轴的光线，不妨设光源（太阳）在 处而仪器在 处，则可以写成,因为 的等值面为球面，所以仪器观测到的投影在 平面上的不透光区域的边界是圆周，记作,其中圆半径由式确定.,4.不透光区域的边界的变化规律,对式取对数，并利用一次近似则式可化为,于是不透光区域的边界由,确定，将式中的 代入上式并进行积分,并,利用公式 可得,
14、以 代入上式,有,结果分析,由式可大致画出函数 的曲线,并且能算出当,时不透光的区域的半径达到最大 当,时,即此时烟雾完全消散.,式表明 与烟雾施放量 和烟雾对光线的吸收系数 成正比,与扩散系数 和系统灵敏度 成反比.,再从最后两式可以得到,此说明当知道 后,可预测烟雾完全消失的时刻,四、万有引力的发现,历史背景,15世纪下半叶开始,欧洲商品经济的繁荣促进了航海事业的发展.哥伦布新大陆的发现,麦哲伦的环球远航,引起了社会的普遍关注.当时的远洋航船的方位全考星球的位置来确定.在强大的社会需要推动下,天文观测的精确程度不断提高.在大量的实际观测数据面前,一直处于天文学统治地位的“地心说”开始摇动了
15、.,波兰天文学家哥白尼在天文观测的基础上,冲破宗教统治和“地心说”的束缚,提出“日心说”.这是天文学乃整个科学的一大革命.但是由于历史条件和科学水平的限制,哥白尼的理论还有些缺陷.他接受了圆周运动是最完美的天体运动形式的概念,认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的.,意大利物理学家伽利略不仅用观察方法证明了哥白尼的学说,而且用实验方法发现了落体定律和惯性原理,揭示了物体在不受阻扰时作匀速直线运动的规律.,德国天文学家、数学家开普勒在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上用数学方法研究发现,火星的实际位置与按哥白尼理论计算的位置相差8弧分.经过对观测数据长期深入的分析,开普勒终于归纳出著名的所谓
16、行星运动三大定律:即,各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行,太阳位于这些椭圆的一个焦点上;,每颗行星运行过程中单位时间内太阳行星向径扫过,的面积是一个常数;,各颗行星运行的周期的平方与其轨道长半轴的3次方成正比.,在伽利略、开普勒的基础上,17,18世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究.从开普勒定律中可以看出,行星运行速度是变化的.而在当时没有计算变速运动的动力学方法.英国物理学家胡克和荷兰物理学家惠更斯等人虽然都取得了一些成果,但终未,得到有关引力的定律.,英国物理学家、数学家牛顿认为一切运动都有其力学原因.开普勒三定律的背后必定有力学定律起作用.他在研究变速运动中发明
17、了微积分（流数法）,又以微积分为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上用演绎的得到所谓的万有引力定律.,模型假设,开普勒三定律和牛顿第二定律为真;,对任意一颗行星的椭圆运行轨道建立极坐标 并以太阳为坐标原点,以椭圆长半轴方向为极轴正向.,1.轨道方程,其中 为椭圆的长、短半轴,为离心率.,2.单位时间向径 扫过的面积是常数 即,3.行星运行周期 满足,其中 是绝对常数,与行星无关.,4.行星运行时所承受的作用力 等于行星加速度 和,质量 的乘积.即,模型建立,万有引力定律研究的是力 的大小和方向.由知,它取决于行星的运动加速度 由此必须研究行星的位置和速度 为此先引入基向量,向径 可表示为,作变换：则原方程变形为,此方程为一阶线性微分方程，代入求解公式得,代入 则方程的通解为,再由初始条件，得,
