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1、1,偏微分方程反问题数值解法,韩 波主要参考书：1、刘继军，不适定问题的正则化方法及应用，科学出版社，20052、肖廷延，于慎根，王彦飞，反问题的数值解法，科学出版社，2003，3、韩波，李莉，非线性不适定问题的求解方法及其应用，科学出版社，2011,2,第一章 反问题概述,3,从墨西哥湾的漏油事件谈起,2010年4月20日晚，在距美国路易斯安娜州61公里的墨西哥湾海面上，由BP（英国石油公司）租用的“深海地平线”(Deepwater Horizon)钻井平台在从事Macondo油田开发作业时发生爆炸，并引发火灾，11名工作人员遇难。经过约36个小时的剧烈燃烧，“深海地平线”于22日沉入海底。
2、两天后，在事故地点出现了严重的石油泄漏，破裂的油井管道每天向墨西哥湾海域倾倒5-10万桶原油（约8000-16000立方米），历时近三个月，造成了极为严重的环境污染。直至7月15日，油井才被成功封堵。这是美国历史上迄今最严重的海上石油泄露事件。,4,当关注的焦点聚集到英国石油公司时，我们发现这个公司在墨西哥湾地区寻找油气藏方面取得了巨大的成功。2009年9月2日，英国石油公司在墨西哥湾距休斯敦市东南400公里处发现了巨型油田Tiber。外界估计其总储量可达40-60亿桶，相当于约100个Macondo。英国石油公司在官方网站上例举了他们近几年在墨西哥湾深海地区开发的重要油田，预测产量都在1.5
3、亿桶至6亿桶之间。石油巨头们是怎么在墨西哥湾找到这些大油田的？,5,深海石油开采的费用高的惊人，即使从事深海石油开发的公司拥有雄厚的资本和先进的技术，也不可能在茫茫无际的墨西哥湾到处打井窥探。Thunder Horse油田：水上钻井平台有3个足球场大，建筑在海水深度约为1800米的海面上。据估计英国石油公司投入该项目的建造费用高达50亿美元！对资源的定位和估算有一套较准确的科学方法，尽量减少决策失误。,6,秘密就在回声中,数学物理史上有趣的问题：不用眼睛看，仅仅通过聆听鼓的声音能否判断出鼓的形状？（盲人听鼓）1910年丹麦著名物理学家劳伦兹(Lorentz)在哥廷根的系列演讲“物理学中的新、旧
4、问题”中提出。,7,当物体的材料确定后，它的音色和其形状密切相关。在数学上，一个物体的音色可以由一串谱来确定，它们对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。Lorentz在他的讲演中猜测鼓的面积可以由极限确定 据说，当初Hilbert（希尔伯特）认为在他的有生之年不可能看到这个公式的严格证明。但是一代宗师Hilbert这次作出了错误的预测。不到两年时间，鼓面积的公式就被他的得意门生Weyl证明了。而且证明方法采用的正是Hilbert此前不久修炼出的独门绝技-积分理论。1954年，Pleijel证明了从鼓声中可以“听”出鼓的周长。1967年，McKean和Sin
5、ger证明了从鼓声中可以“听”出鼓的内部是否有洞、有几个洞。直到1992年，Gordon等人构造出了两面奇怪的“同声鼓”：它们的形状不同，却有着相同的音色，单凭耳朵无法鉴别！,8,9,严格说来，“盲人听鼓”问题的答案是否定的。但是，对这个问题的研究启发了我们。当不能用眼睛直接观测时，以耳代目也能够获得关于物体形状的很多有用信息。举一个生活中的例子，夏天人们挑西瓜，总是把瓜放在耳边，用手拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不熟。,10,深海区的石油探测就是应用了类似的原理。勘探地球物理学家希望能够叩问地球，用耳朵“听”出地下的地质构造，从而判断出油藏的“准确”位置和储量。,11,数据采集船上带有气枪。
6、当压缩空气被突然释放时，气枪会产生剧烈的爆炸声波。声波向地下传播，遇到构造变化会产生反射、散射和折射。这些回声中携带了地下的地质信息，被海面采集船拖带的检波器接收，记录为地震数据。海底宝藏的秘密就隐藏在这些数据里。,12,13,14,现行的勘探技术主要分为三步：,1.数据处理：海上采集到的数据有很多噪音干扰，比如海浪、背景噪声、相邻采集船传来的气枪回声，等等。另外，潮汐现象周期性地改变海水的深度，造成反射时间的偏差错落；气枪的震源效应和海面多次反射的混声也会引起反射信号的畸变。所以我们要对数据进行“整容”，使之更清晰、更干净、更可信。,15,2.速度建模：利用多次覆盖的试验数据来构建一个统一的
7、地下模型。由于反射波的传播时间对速度的短周期变化不敏感，一步到位求解v(x,y,z)太困难。退而求其次，我们可以利用数据中的冗余信息构造一个粗眉大眼的近似速度。这如同绘画，先勾勒轮廓，敷设底色，留待下一步皴擦点染，刻画雕琢。,16,3.全波形反演成像 在较好的初始速度模型基础上，直接利用经过预处理的勘探资料，求取波动方程中的速度模型，给出地质构造解释。目前，国际上已经能够进行三维速度全波形反演。弹性波全波形反演研究已经成为国际潮流。,17,正问题，一般是按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。反问题，是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影
8、响，起着倒果求因的作用。,18,线性方程 Ax=yy=y+n反问题的提法：1.已知y，分离信号和噪音，求出y；2.已知y和A，求出输入数据x；3.已知y和x，求出模型机制A；4.已知y，求出输入x和模型A，这时问题变成非线性。,19,反问题通常体现了一种逆向思维。冯康先生在上世纪八十年代初曾经著文数学物理中的反问题，较早地介绍了这个新的研究方向。他将反问题的功能概括为“由表及里”、“索隐探秘”、“倒果求因”。在中国的传统文化中，只有智者高人才能透过现象看清本质，甚至参透因果，一语破的。科学化的反问题研究为我们在解决问题，增长智慧方面提供了很好的案例和方法论。,20,反问题发展简史,数学物理反问
9、题最早出现在地球物理领域1846年，法国人Le Verrier发现了海王星1880年，美国学者J.A.Ewing等人发明了近代地震仪，提出了地震记录的分析问题1907年，Herglog提出了地震走时数据的反演1909年，A.Mohorovicic发现了莫霍面1912年，Beno Gutenbeg发现了古登堡面1935年，Lehmann发现了地球外核和内核的分界面这些工作都对地球物理反演学术思想的形成和发展起到了巨大的推动作用。,21,但在第一台数字计算机诞生之前，反问题的发展非常缓慢，反演方法只有选择法和量版法1967-1970年，美国地球物理学家Backus和应用数学家Gilbert连续发表
10、了三篇关于平均核法的文章，奠定了反演理论的基础Tikhonov（吉洪诺夫）20世纪40年代，提出了正则化方法（1977，Solutions of ill-posed problems,美国。中译本，1979）70年代初，英国学者G.Honsfield研制出了第一台医用机以及他和美国学者A.M.Cormack共同获得了1979年度生理性和医学诺贝尔奖，大大推动了有关不可见物体层析成像的研究热潮，也极大地推动了反问题数学理论、数值方法以及应用的发展,22,现代反问题开始于70年代末、80年代初，蓬勃发展至今，40多年的时间。广泛应用于石油勘探、工程物探、无损探伤、航空航天、地下找水、光学、电子、控
11、制等等领域，可以说无处不在。国际上四种反问题杂志：Inverse Problems,Inverse Problems and Imaging,Inverse Problems in Science and Engineering,Journal of inverse and ill-posed problems我国反问题的研究最早由计算数学家冯康倡导（1982）。他把反问题列为计算数学四大问题之一（正问题、反问题、逼近问题和代数问题）,23,科学史上的著名的案例,1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后，法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料，包括了1
12、781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天体力学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现象：用全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新数据相比误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据重新计算轨道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究竟是因为旧的观测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对这颗行星的干扰？我将这个谜留待将来去揭示。”,24,首先，Bouvard 等天文学家核查了1750 年以后英国格林尼治天文台对各个行星所作的全部观测记录。结果发现，除天王星以外，对于其它行星的观测记录与理论计算结果都
13、符合得相当好。似乎没有理由怀疑旧的天文观测唯独对天王星失准。既然如此，天文学家就需要对天王星的不规律运动作出科学的解释。摆在天文学家面前的有两条路：第一条路是质疑牛顿力学的普适性，或许万有引力定律不适用于距离太阳遥远的天王星，需要对之进行修正；第二条路是寻找Bouvard所猜测的“未知因素”。于是人们提出了“彗星撞击”、“未知卫星”和“未知行星”等多种可能。,25,1841 年的暑期，还是英国剑桥大学二年级学生的Adams 就定下计划，不仅要确认天王星的轨道异常是否来自未知行星的引力作用，还要尽可能地确认这颗新行星的轨道，以便通过观测来发现之。这不仅是一个新问题，而且是一个反问题。因为过去总是
14、已知一颗行星的质量和轨道，根据万有引力定律计算出它对另一颗行星产生的轨道摄动。而现在则相反，Adams 要假定已知天王星轨道的摄动，来计算出产生这一摄动的未知行星的质量和轨道。由于未知因素很多，实际计算起来是相当复杂和困难的。Adams 于1845 年彻底解决了这个反问题。他所运用的方法在当时是空前新颖的。令人遗憾的是，英国天文学家Airy 先入为主地认为天王星的轨道问题是引力定律不再适用的结果，没有重视Adams 向他提交的新行星的轨道计算结果。,26,几乎与此同时，法国人Le Verrier 独立地解决了同样的反问题。1846 年9 月23 日，柏林天文台的Galle 按照Le Verri
15、er 提交的计算轨道着手观测，当晚就在偏离预言位置不到1 度的地方发现了一颗新的八等星。连续观测的数据都与Le Verrier 的预测结果吻合得很好，证实这是一颗新行星。这时英国天文台才想起了Adams 的工作，悔之晚矣。案子破了。干扰天王星正常运行的那颗神秘天体正是太阳系的第8 颗大行星海王星！不仅长期困扰天文界的天王星轨道异常问题在牛顿力学框架内得到了完满解释，而且海王星的发现进一步验证了牛顿力学的正确性。,27,28,正问题-“知易行难”反问题的研究重在探测和发现-“知之非艰、行之惟艰”。反问题的求解往往违背了事物发展过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。更何况我们搜集到
16、的资料经常是真伪交杂、缺失含混的，这就更增加了求解的困难。尽管如此，解决反问题仍然像破案猜谜一样引人入胜。,29,30,。,31,按系统科学观点正问题：由因求果反问题：由果求因，或由因果求关系数学物理反问题：从工程物理中提出的各类反问题，都有明确的数学形式和定量要求，故称之为数学物理反问题。微分方程反问题：由微分方程描述的反问题,32,33,例如k，需要提供一些可测量的信息，例如：（物体的外界接触表面上的各点流量已知），称为附加条件，就构成了热传导方程反问题模型。,34,35,按问题分类：,(1)Computerized tomography(CT)(2)Inverse scattering(
17、3)Inverse heat conduction problems(4)Geophysical inverse problems(5)Inverse problems in imaging(6)Identification of parameters in differential equations,36,3.非线性与不适定性(1)反问题通常是非线性的，而且常常是highly nonlinear，即使相应的正问题是线性的。(2)反问题一般来说是不适定的（ill-posed）。适定与不适定的概念，最初是从研究数学物理方程定解问题提出的。20世纪20年代，法国数学家Hadamard（阿达玛）对
18、数学物理方程定解问题提出了如下适定性定义，即定解问题是适定的，是指它具备如下三个条件：问题的解存在；问题的解唯一；解连续依赖于定解条件，即定解条件（数据）改变很小时，相应的解也改变很小，也就是解具有稳定性。不满足上述三个条件之一的问题称为不适定问题。,37,粗略地说，凡是解不连续地依赖数据的一切数学问题都称为不适定的，不仅限于定解问题。符合适定性的数学物理问题很多如：Laplace方程的Dirichlet问题；波动方程的空间Cauchy问题；热传导方程的初值问题。,38,39,40,41,42,而方程组的解是,43,44,45,取其解 称为原方程组的正则化解，称为正则化参数，它在稳定性与精度之
19、间进行调节。,例 积分方程,是唯一可解的，当,，解,用梯形公式近似积分得,其中，,从而得到线性系统,的近似。,下表表明在,时，真解,和近似解,的误差。,表 真解与近似解的误差,从表中可以看出，近似解与真解没有关系。而且离散的程度越好，得到的结果越差。,59,4.反问题应用举例 尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果
20、，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。,60,现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、科学研究的各个领域。简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个大概的了解。,61,物性探测 给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管内的截面半径。理论计算与实验结果吻合得很好。不要小看了这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探
21、测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地”才能解决问题。,62,比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息（地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。这很象在夏天人们挑西瓜，把瓜放在耳边拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不
22、熟，不需要切开来看，不会破坏西瓜的完整。,63,类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物做出了贡献。,64,扫描成像本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形貌的方法。据此Mohobo
23、vic（1909年）发现了地壳与地幔之间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如，通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形状。,65,成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的
24、X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图像供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。,66,逆时反演 在科学研究中，我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史的本来面目。”这往往可以提为逆时反问题。当然，反问题研究不是历史学，它所研究的对象一般要满足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的某次爆炸产生的辐射波，如何
25、确定爆炸的位置和初始能量？这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能否确定过去某个时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆时反问题。,67,孤立子的发现,一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作用：反散射问题是量子物理学研究中的一个问题，通过谱和谱函数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger（薛定鄂）方程的位势函数。它由前苏联数学家Gelfand和Levitan（1955年）一举解决。在此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名的是利用这个结果Lax（1968年）得到了关于KDV方程的巧妙解法，从而发现了非线性方程中的孤立子现象。这是近代非线性科学研究的重要事件。,68,其
26、它问题,飞行器外形设计公路、桥梁、水坝等工程质量检测问题沙漠找水钢炉检测,69,前面介绍了反问题的几种类型，它们在研究和应用上经常是相互联系的，分门别类只是为了叙述方便。另外，反问题与其它数学学科之间并没有一个严格的界限，而是互为补充，互相促进。反问题的研究起源于数理方程，其反演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多思想和技巧。另一方面，反问题的研究也促进了人们对世界的认识，使得研究更全面、深化。,70,5.反问题研究的难点及对策 与正问题相比，反问题的研究起步较晚，发展还远不成熟。从本质上来说，反问题的研究的难度一般比相应的正问题要大。这是因为反问题的求解往往违背了物
27、理过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。这种现象在许多学科的研究中都是普遍存在的。比如说：曹雪芹创作了古典名著红楼梦，这是人所共知的，但是要从现存的史料和文物“碎片”来恢复这位伟大作家的人生经历和创作历程则是一件万分艰辛的事情，更何况这些“碎片”信息真伪交杂，且时有含混。反问题的研究也经常遇到类似的困难，这些困难体现在：,71,1.存在性：我们要求的反问题的解很可能不存在！无解的原因多种多样，可能是在定向设计中问题的提法不合理，也可能是探测时接收到的响应中含有假信息（噪音），将求解引入歧途。2.唯一性：有的反问题的解虽然存在，却不唯一，有几个甚至无穷多个。这是因为收集到的信息不
28、够，不足以确定解的性态。对大多数反问题（比如探测问题）来说，真正的解只有一个，这就要从许多解当中进行挑选，去伪存真，颇费周折。,72,3.稳定性：利用计算手段，由接收信息来反演物质的结构和特性是反问题研究的重要内容。可是实际的接收响应中不可避免地含有噪音，计算过程也有累积误差。这种微小的误差会不会导致反演结果面目全非？研究表明，相当多的反问题正是具有这样的病态性质！热传导方程的逆时反问题就是一个例子。热力学第二定律告诉我们，热传导是一个不可逆过程，它的反问题求解是高度病态的。为了解决温度的逆时反演，就不得不冒这种“差之毫厘，谬以千里”的危险。,73,存在性、唯一性和稳定性，三者之一不满足就称为
29、不适定性问题。用传统的眼光来看，这样的问题是不值得研究的。正是反问题的研究开阔了人们的视野，认识到这样的问题是大量存在的，而且有着重要的研究和应用价值。,74,如果一个问题的解不存在、不唯一、不稳定，那么求解得到的结果可信吗？这是反演工作者必须面对的问题。解决的办法是有的！奠基性工作是由前苏联Tikhonov等学者提出的解决线性不适定问题的正则化方法。方法的主要思想是：利用对解和数据误差的先验估计可以将问题的求解限定在某个较小范围内，对问题的提法进行适当的改造后，原本不适定的问题就可以转化为适定的最优化问题求解，而且先验估计表明在一定精度下用正则化方法求得的解是合理的。这比如猜谜：“后，打一人
30、名”，无从猜起。如果限定“打红楼梦中一人名”，范围缩小了，可以用书中601个人物（有的书中没有交代姓名）逐一比较，最后选出最优的答案“王夫人”。,75,充分利用各种合理的先验信息对问题作适当形式的转换，是反问题求解的重要方法，在实际生产中经常要用到。拿地震波勘探为例，限于技术原因，地面接收的信号噪音很大，信息残缺不全，完全的反演是很困难的。为了满足生产的要求，必须尽最大可能恢复出地下的结构形态。这时，多种反演方法并用是一个可行的办法；如果在目的地有一口油井，那么可以把井下的信息作为局部约束来校正反演结果；为了计算的稳定性还必须使用一些特殊的数学技巧。这样得到的反演结果与资料解释人员的经验结合起
31、来，可以对油田的决策与发展提供参考依据。,76,除了前面提到的不适定性以外，反问题的研究与应用还经常面临非线性的困扰。即使正问题是线性的，它的反问题也往往表现为非线性，这为反演的研究和计算带来了很多麻烦。为了求解非线性反问题，通常要线性化后反复进行正、反演迭代，在高维情况下将导致十分巨大的计算量。我们知道，一个效率低下的算法在生产应用中将导致时间和人力、物力的极大浪费。所以反问题的计算效率也是一个非常重要的课题。它要求计算数学工作者从实际应用出发，充分研究问题的性质和特点，构造出精巧、快速的算法以适应生产的需要。反演问题有着特殊的困难，它向我们提出了许多在认识论、方法论中富有挑战性的课题，深化
32、了对客观现象的理解。反问题的研究确有它独立的价值。,77,6.发展与展望 反问题研究的兴起不过是近几十年的事情，它主要的研究对象是涉及与探测、识别和设计有关的应用问题。实际生产的迫切需求是推动这一学科迅速发展的原动力。1987年，以“反问题、反演方法和数据反演计算”为主要内容的专题杂志Inverse Problems创刊，标志着反问题的研究走向独立和成熟。世界上每年都举行各种形式的反问题研讨会，得到了数学、物理、工程技术等多方面专家的响应。需要指出的是，在国外对反问题研究的资助不仅来自于科研和工业部门，还得到了国防部门的有力支持。,78,我国的反问题研究自八十年代初由冯康先生首倡，在实际问题的
33、推动下，先后在中国科学院、哈尔滨工业大学、山东大学、中山大学、南京大学以及石油等工业部门多家单位取得相当数量的理论和实际应用成果。近四十年来计算技术的飞速发展大大增强了数学工作者在自然科学、社会科学和工程技术等广阔领域的参与能力，反问题正是在这样的背景下应运而生的交叉性学科。它的生命力源于实际应用的迫切需求和反演工作者卓有成效的工作。反问题的出现为传统数理方程的研究开辟了新的疆域，也为数学家参与实际生活提供了新的切入点。应该看到，反问题的开展程度与工业和国防的现代化、科学技术在产品中的含量有着密切的关系。我们期待着这一新兴学科在国内能够健康地发展起来，为国家的经济建设做出它应有的贡献。,79,趣味题1：小水流喷射问题,将一个容器充满水，然后在侧壁上凿一个洞，会发生什么现象？,水会从洞中喷出，循着一条弧线溅落到远处。,喷射的距离由两个因素决定：洞的位置、水从洞中喷出的速度。其中速度大小取决于洞口所处水平面的压力，而压力大小取决于水头，也就是洞口以上水柱的高度。,80,忽略空气阻力，并且假定洞口喷出的每一滴水仅受到恒定的重力的作用。假设容器置于水平面上，设置坐标轴如图。,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,
