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1、1,利用(3.1)得到,则有,若记,考虑 时的.,（3.2）,2,为单位下三角阵，其元素的绝对值不超过1.,记,由(3.2)得到,其中 为排列矩阵，为单位下三角阵，为上三角阵.,其中,3,这说明对(2.1)应用列主元素消去法相当于对 先进行一系列行交换后对 再应用高斯消去法.,定理8,如果 为非奇异矩阵，,则存在排列矩阵 使,其中 为单位下三角阵，为上三角阵.,编程时，元素存放在数组 的下三角部分，元素存放在 上三角部分，由记录主行的整型数组 可知 的情况.,而在实际计算中只能在计算过程中做行的交换.,(列主元素的三角分解定理),4,5.3.2 高斯-若当消去法,高斯消去法中，若同时消去对角线
2、下方和上方的元素，,设用高斯-若当消去法已完成 步，化为等价,方程组，其中,这种方法称为高斯-若当(Gauss-Jordan)消去法.,5,在第 步计算时 对上述矩阵第 行的上、下都进行消元.,1.按列选主元素，即确定 使,2.换行(当 时)交换 第 行与第 行元素.,3.计算乘数,(可保存在存放 的单元中).,6,5.计算主行,上述过程结束后有,4.消元计算,7,用高斯-若当方法将 约化为单位矩阵，计算解就在常数项位置得到，用不着回代求解，计算量大约需要 次乘除法，比高斯消去法大，但用高斯-若当方法求矩阵的逆矩阵还是比较合适的.,定理9,设 为非奇异矩阵，,方程组 的增广矩阵为.,如果对 应
3、,用高斯-若当方法化为，,则.,事实上，求 的逆矩阵，即求 阶矩阵，,其中 为单位矩阵.,(高斯-若当法求逆矩阵),使,8,于是求解 等价于求解 个方程组,可用高斯-若当方法求解,将 按列分块,9,例4,的逆矩阵.,解,用高斯-若当方法求,10,且,11,为了节省内存单元，可不必存放单位矩阵，,存放在 的第二列位置，,存放在 的,经消元计算，最后再调整一下列就可在 的位置得到.,注意第 步消元时，由 的第 列,计算,且冲掉,存放在,的第1列，,第3列.,12,在 位置最后得到矩阵(其中 为排列阵)的逆矩阵，,于是,13,5.4 矩阵三角分解法,5.4.1 直接三角分解法,将高斯消去法改写为紧凑
4、形式，可以直接从矩阵 的元素得到计算 元素的递推公式，而不需任何中间步骤，,一旦实现了矩阵 的 分解，那么求解 的问题就等价于求解两个三角形方程组,求,求,这就是直接三角分解法.,14,1.不选主元的三角分解法,设 为非奇异矩阵，且有分解式,（4.1）,其中 为单位下三角阵，为上三角阵，即,的元素可以由 步直接计算定出，其中第 步定出 的第 行和 的第 列元素.,15,设已经定出 的第1行到第 行元素与 的第1列到第 列元素.,由(4.1)有：,由(4.1)，利用等式两边元素比较及当 时，,有,故,16,又由(4.1)有,用直接三角分解法解(要求 的所有顺序主子式都不为零)的计算公式.,计算
5、的第 行和 的第 列元素,17,求解 的计算公式；,（4.4）,（4.5）,18,例5,解,用直接三角分解法解,用分解公式(4.2)(4.3)计算,19,按(4.4)求解,从而,得,求解,得,20,当 计算好后 就不用了，故可将 仍存放在 的相应位置.,例如,最后在存放 的数组中得到 的元素.,直接分解法大约需要 次乘除法，和高斯消去法计算量基本相同.,再考虑存储问题,21,如果已经有了 的 分解，则求解具有相同系数的方程组 是相当方便的，每解一个方程组 仅需要增加 次乘除法运算.,矩阵 的分解公式(4.2)，(4.3)又称为杜利特尔分解.,2.选主元的三角分解法,从直接三角分解公式可看出当
6、时计算将中断，,或者当 绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍入误差的累积.,如果 非奇异，可通过交换 的行实现矩阵 的 分解.,22,采用与列主元消去法类似的方法，将直接三角分解法修改为(部分)选主元的三角分解法.,设第 步分解已完成，这时有,23,第 步分解需用到(4.2)及(4.3)式，,为了避免用小的数 作,于是有,除数，,引进量,取 交换 的 行与 行元素，,将 调到,位置(将 位置的新元素仍记为 及，,于是有,由此再进行第 步分解计算.,24,算法4,设，其中 为,1.对于,(1)计算,(2)选主元,(选主元的三角分解法),非奇异矩阵.,(4)计算 的第 行元素，的第 列元素,(3
7、)交换 的 行与 行元素,25,求解,2.对于,(1),(2)如果 则转(3),26,(3)(继续循环),3.,4.,利用算法4的结果 可以计算 的逆矩阵,步骤：,(1)计算上三角矩阵的逆阵,(2)计算,27,上述方法求 大约需要 次乘法运算.,(3)交换 列(利用 最后记录).,28,5.4.2 平方根法,平方根法是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法.,设 为对称矩阵，且 的所有顺序主子式均不为零，,定理7知，可唯一分解为,为了利用 的对称性，将 再分解为,29,其中 为对角阵，为单位上三角阵.,（4.6）,又,于是,由分解的唯一性,得,代入(4.6)得到对称
8、矩阵 的分解式,30,定理10,设 为 阶对称阵，,且 的所有顺序主子式均不为零，,则 可唯一分解为,其中 为对角阵，为单位下三角阵.,设 为对称正定矩阵，则在分解式 中，的对角元素 均为正数.,事实上，由 的对称正定性，有,于是,(对称阵的三角分解定理),31,由定理6得到,其中 为下三角矩阵.,32,定理11,如果 为 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵,当限定 的对角元素为正时，这种,可以用直接分解方法来确定计算 元素的递推公式.,(对称正定矩阵的三角分解或Cholesky分解),使,分解是唯一的.,因为,33,其中,于是得到解对称正定方程组 的平方根法计算公式：,对于,由矩阵
9、乘法及,按等式两边对应元素相等，得,2.,34,求解 即求解两个三角形方程组：,4.,由计算公式1知,所以,35,于是,这个结果说明，分解过程中元素 的数量级不会增长,且对角元素 恒为正数.,当求出 的第 列元素时，的第 行元素亦算出.,所以平方根法约需 次乘除法，大约为一般直接分解法计算量的一半.,于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法.,36,由于 为对称阵，因此在计算机实现时只需存储 的下三角部分.,下三角部分共需存储 个元素，可按行主序用一维数组存放，,即,矩阵元素 在一维数组中表示为 的元素存放在 的相应位置.,用平方根法解对称正定方程组时，需要用到开方运算.,为了避免开方，用
10、定理10的分解式,37,即,由矩阵乘法，,并注意 得,38,于是得到计算 的元素及 的对角元素公式：,对于,2.,为避免重复计算，引进,由(4.9)得到按行计算 元素的公式：,39,对于,1.,2.,3.,计算出 的第 行元素 后，,存放在 的第 行相应位置，,然后再计算 的第 行元素，,存放在 的第 行.,的对角元素存放在 的相应位置.,40,对称正定矩阵 按 分解和按 分解计算量差不多，但 分解不需要开方计算.,例如,41,5.,计算公式(4.10)，(4.11)称为改进的平方根法.,求解 计算公式,42,5.4.3 追赶法,实际问题中，通常要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组,（4.
11、12）,简记为,其中，当,43,利用矩阵的直接三角分解法推导解三对角线方程组（4.12)的计算公式.,其中 为下三角矩阵，为单位上三角矩阵.,由系数阵 的特点，可以将 分解为两个三角阵的乘积，,即,44,设,（4.13）,其中 为待定系数.,45,比较(4.13)两边得,（4.14）,用归纳法可以证明,（4.15）,即,由,得,从而由(4.14)可求出,46,时(4.15)是成立的.,现设(4.15)对 成立，求证对 亦成立.,由归纳法假设 又由(4.15)及 的对角占优条件，有,也就是,由(4.14)得到,47,确定了，就实现了 的 分解.,求解 等价于求解两个三角形方程组：,解三对角线方程组的追赶法公式：,1.计算 的递推公式,48,2.解,3.解,称计算系数 及,称计算方程组的解 的过程为赶的过程.,的过程为追的过程.,49,定理12,设有三对角线方程组,其中 满足条件,(a)，(b)，(c)，则 为非奇异矩阵且追赶法计算公式中的,2,满足：,1,追赶法公式实际上就是把高斯消去法用到求解三对角线方程组上去的结果.,50,计算机实现时只需用三个一维数组分别存储 的三条线元素，此外再用两组工作单元保存 或,由于 特别简单，因此求解的计算公式也非常简单，计算量也很小.,
