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1、1,2.1 LTI连续系统的响应,一.微分方程的经典解法n阶常系数线性微分方程,微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成 y(t)=yh(t)+yp(t)齐次解齐次解由齐次微分方程求得 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0,2,y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0 齐次解是形如Cet函数的线性组合。将Cet代入上式并整理后可得 n+an1n1+a0=0上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程的特征根。yh(t)的函数形式完全由n个特征根i(i=1,2,n)决定。i可为单根或重根。i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共轭复数的
2、形式出现。,3,若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解,r重共轭复根,4,特解特解的函数形式与f(t)的形式有关，以及f(t)与特征根的形式是否相同有关。,5,f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域0，)。全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、y(n1)(0)确定。例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=2et，t0；y(0)=2，y(0)=1时的全解。解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根为2、3，微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当f(t)
3、=2et(t0)时，特解为 yp(t)=Pet,6,将yp(t)、yp(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得 Pet+5(Pet)+6Pet=2et所以P=1，则特解为yp(t)=Pet=et微分方程的全解 y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3tet令t=0，并代入初始值y(0)=2、y(0)=1得 y(0)=C1+C2+1=2 y(0)=2C13C21=1解得C1=3、C2=2，由此得 y(t)=3e2t2e3t+et t0,7,线性常系数微分方程求解过程：,8,例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(
4、t)。求：当f(t)=e2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当f(t)=e2t(t0)，其特解为 yp(t)=P1te2t+P0e2t将yp(t)、yp(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。则特解为 yp(t)=te2t+P0e2t微分方程的全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t=C1e2t+C2e3t+te2t,9,其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3t+e2t2te2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y(0
5、)=0得 y(0)=C1+C2=1 y(0)=2C13C2+1=0解得C1=2、C2=1，由此得 y(t)=2e2te3t+te2t t0例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当f(t)=10cost(t0)，其特解形式为 yp(t)=Pcost+Qsint,10,将yp(t)、yp(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解 yp(t)=cost+sint最后可得全解为 y(t)=2e2te3t+cost+sint t0若f(t)=ejt
6、=cost+jsint，微分方程解为yp(t)，则根据线性性质，当f(t)=cost时，解为Reyp(t)。上例中，可令f(t)=10ejt，得解为 yp(t)=(1j)ejt=cost+sint+j(sintcost)求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。解的形式根据表21和表22确定，待定系数由初始条件求出。,11,用算子方法求微分方程,12,二.关于0与0+的初始值,用微分方程表达动态系统时，则f(t)为系统输入，y(t)为系统输出。将时间轴分成两段，以t=0为界，左段的右端点记为0，右段的左端点记为0+。解微分方程时，确定解的待定系数需要一组初始条件y(j)(0+)(j=0,1,
7、2,n1)。y(j)(0)(j=0,1,2,n1)反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态。0与0+的引入是由于系统输出不连续，引起y(j)(0+)和y(j)(0)产生差异。表现为系统中出现(t)函数。,13,例：微分方程为 y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)+2f(t)，已知y(0)=1，y(0)=1；f(t)=(t)。求y(0+)和y(0+)。解：将输入f(t)代入微分方程得 y(t)+2y(t)+y(t)=(t)+2(t)(1)由上式可设 y(t)=a(t)+r0(t)(2)y(t)=a(t)+b(t)+r1(t)(3)y(t)=a(t)+b(t)+c(t)+r2(t)
8、(4)将式(2)、(3)、(4)代入式(1)，由方程左右系数相等可得到a=1，b=2，c=5。即 y(t)=(t)+r0(t),14,y(t)=(t)2(t)+r1(t)y(t)=(t)2(t)+5(t)+r2(t)对y(t)等式两边从0到0+积分,得 y(0+)=y(0)2=1同理，对y(t)等式两边从0到0+积分,得 y(0+)=y(0)+5=4对比y(0)=1，y(0)=1。,15,三.零输入响应和零状态响应,零输入响应yzi(t)：激励f(t)=0，仅由初始条件y(j)(0+)(j=0,1,2,n1)所引起的响应。零状态响应yzs(t)：初始状态y(j)(0)=0，仅由输入信号f(t)
9、所引起的响应。LTI系统的全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t)yzi(t)为齐次方程的解，yzs(t)为非齐次方程的解。当特征根为单根时，用经典解法求解分别有,则全响应为,16,初始状态和初始条件之间关系:全响应的各阶导数为 y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)(j=0,1,2,n1)分别令t=0和t=0+代入上式得 y(j)(0)=yzi(j)(0)+yzs(j)(0)y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)对于因果系统：yzs(j)(0)=0对于连续系统：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0)因此 y(j)(0)=yzi(j)(0)=yzi
10、(j)(0+)y(j)(0+)=y(j)(0)+yzs(j)(0+)当输入是在t=t0时刻接入，则把式中0换为t0。,17,系统的全响应为,强迫响应：由激励信号确定的响应形式,当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应可分解为瞬态响应和稳态响应。,18,例：微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)；初始状态y(0)=2，y(0)=1；输入函数f(t)=(t)。求零输入响应和零状态响应。解：(1)零输入响应yzi(t)零输入响应满足齐次方程 y(t)+3y(t)+2y(t)=0 输入为0，则有yzi(0+)=y(0)=2，yzi(0+)=y(0)=1。特征
11、根为1，2，则零输入响应为 yzi(t)=Czi1et+Czi2e2t代入初始值解得Czi1=5，Czi2=3，所以系统的零输入响应为 yzi(t)=5et3e2t,19,(2)零状态响应yzs(t)当f(t)=(t)时，系统零状态响应满足方程 yzs(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)yzs(0)=yzs(0)=0t=0处，yzs(t)含有(t)，yzs(t)有跃变，yzs(t)应连续。对方程两边从0到0+积分得 yzs(0+)yzs(0)+3yzs(0+)yzs(0)=2所以 yzs(0+)=0，yzs(0+)=2在t0的区间，方程应为 yzs(t)+3yzs(t)+
12、2yzs(t)=6显然有 yzs(t)=Czs1et+Czs2e2t+3 t0,20,代入初始值可求得Czs1=4，Czs2=1，系统的零状态响应为 yzs(t)=(4et+e2t+3)(t)可应用LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性求系统零状态响应：微分方程 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)先求方程 yzs1(t)+3yzs1(t)+2yzs1(t)=f(t)初值 yzs1(0)=yzs1(0)=0得yzs1(t)=et+0.5e2t+0.5，则 yzs(t)=2yzs1(t)+6yzs1(t)=(4et+e2t+3)(t),21,(3)全响应y(t)全响应为 y
13、(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求 y(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)y(0)=2，y(0)=1对方程两边从0到0+积分得 y(0+)y(0)+3y(0+)y(0)=2所以 y(0+)=2，y(0+)=3方程的解为 y(t)=C1et+C2e2t+3 t0代入初始值可求得C1=1，C2=2，系统的全响应为 y(t)=(et2e2t+3)(t),22,2.2 冲激响应和阶跃响应,定义系统的冲激响应 h(t)=T0，(t)设n阶微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=f(t)则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程 h(n)(t)+an1h
14、(n1)(t)+a0h(t)=(t)h(j)(0)=0，j=0，1，2，n1 对方程从0到0+积分，可得,一.冲激响应,23,h(j)(0+)h(j)(0)=0，(j=0,1,2,n2)h(n1)(0+)h(n1)(0)=1 即 h(j)(0+)=0，(j=0,1,2,n2)h(n1)(0+)=1系统冲激响应可看作在上述初始条件下方程 h(n)(t)+an1h(n1)(t)+a0h(t)=0(t0)的零输入响应。将冲激输入转换成初始条件。如果微分方程的特征根均为单根，则其冲激响应,24,例：微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求系统的冲激响应也就是求如下微分方程的解 h(t)+
15、5h(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h(0+)=1齐次方程的解为h(t)=(C1e2t+C2e3t)(t)，代入初始条件得 h(t)=(e2te3t)(t)一般地，微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+b0f(t)设 y1(n)(t)+an1y1(n1)(t)+a0y1(t)=f(t)令上式的冲激响应为h1(t)，根据LTI系统的微分特性,25,得系统的冲激响应 h(t)=bmh1(m)(t)+bm1h1(m1)(t)+b0h1(t)例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)+2f(t)+3f(t)先求方程 h1(t)+5
16、h1(t)+6h1(t)=(t)h1(t)已求得为 h1(t)=(e2te3t)(t)则系统的冲激响应为 h(t)=h1(t)+2h1(t)+3h1(t)=(t)+(3e2t6e3t)(t)式中 h1(t)=(2e2t+3e3t)(t)+(e2te3t)(t)=(2e2t+3e3t)(t)对h1(t)求导可得h1(t)。,26,二.阶跃响应,定义系统的阶跃响应 g(t)=T0，(t)设n阶微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=f(t)则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程 g(n)(t)+an1g(n1)(t)+a0g(t)=(t)g(j)(0)=0，j=0，
17、1，2，n1 由于等号右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其直到n1阶导数均连续，即有初始条件,27,g(j)(0+)=g(j)(0)=0，j=0，1，2，n1 若微分方程的特征根均为单根，则阶跃响应,式中1/a0为特解。Ci由初始值确定。单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为,根据LTI系统的微积分特性，阶跃响应与冲激响应的关系为,28,例：求图示系统的阶跃响应。,解：可直接写出系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+2f(t)先求方程 g1(t)+3g1(t)+2g1(t)=(t)g1(0+)=g1(0+)=0解得 g1(t)=(et+0.5e2t+0.5)(
18、t)由此得 g(t)=g1(t)+2g1(t)=(3et+2e2t+1)(t),29,=0,初值问题,30,2.3 卷积积分,一.卷积积分 面积为1的函数序列pn(t)，当趋于极限时成为单位冲激函数,幅值f(k),将任意激励信号f(t)用脉冲序列代替，每段宽度为=2/n，其k段的幅值用f(k)表示。,f(t)可近似表示为,31,设LTI系统在pn(t)作用下的零状态响应为hn(t)，则在激励f(t)作用下的零状态响应为,在0的极限情况下，求和成为积分,上式的积分形式称为卷积积分。信号与系统分析的基本方法：f(t)f()d(t)f()dh(t)yzs(t),32,一般地，如有两个函数f1(t)和
19、f2(t)，卷积积分定义为,简记为 f(t)=f1(t)*f2(t)卷积的存在性：若两个函数均为有始可积函数，即 若tt1，f1(t)=0，tt2，f2(t)=0，则两者的卷积存在。例1：求(t)*(t)的卷积积分。解：,例2：求(t)*et(t)的卷积积分。解：,33,例3：求et(t)*et(t)的卷积积分。解：,常用信号的卷积积分见附录一。任意信号 f(t)=f(t)*(t)零状态响应 yzs(t)=h(t)*f(t),34,二.卷积的图示给定信号：f1(t)=(t)(t3)，f2(t)=et(t)，求y(t)=f1(t)*f2(t)。,35,36,2.4 卷积积分的性质,一.卷积的代数
20、运算 交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)分配律f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),结合律f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),yzs(t)=f(t)*h1(t)+h2(t)=f(t)*h(t),yzs(t)=f(t)*h1(t)*h2(t)=f(t)*h(t),37,二.函数与冲激函数的卷积,根据卷积的定义,推广得 f(t)*(tt1)=(tt1)*f(t)=f(tt1)(tt1)*(tt2)=(tt2)*(tt1)=(tt1t2)f(tt1)*(tt2)=f(tt2)*(tt1)=f(tt1t
21、2)波形的平移：,38,若f(t)=f1(t)*f2(t)则f1(tt1)*f2(tt2)=f1(tt2)*f2(tt1)=f(tt1t2)证：f1(tt1)*f2(tt2)=f1(t)*(tt1)*f2(t)*(tt2)=f1(t)*(tt2)*f2(t)*(tt1)=f1(tt2)*f2(tt1)f1(tt1)*f2(tt2)=f1(t)*(tt1)*f2(t)*(tt2)=f1(t)*f2(t)*(tt1)*(tt2)=f(t)*(tt1t2)=f(tt1t2),39,例(1)：求(t+3)*(t5)。因为(t)*(t)=t(t)所以(t+3)*(t5)=(t+35)(t+35)=(t2
22、)(t2)例(2)：求e2t(t+3)*(t5)。因为,40,定义梳状函数为,梳状函数与f0(t)的卷积为,f0(t)*T(T)是以T为周期的周期函数。,41,三.卷积的微分与积分,利用卷积 的交换律可得另一等式。,卷积的微分若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的微分性质 f(1)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)证：,微积分的表示,42,卷积的积分若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的积分性质 f(1)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)证：,同理可得另一等式。,43,L
23、TI系统的微分和积分特性正是卷积的微分和积分特性 yzs(t)=h(t)*f(t)yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t)yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t)卷积的微积分,所以,因为,44,应用卷积的积分性质，则有,同理可得,45,则有卷积的微积分,卷积的微积分成立的条件：a)被求导的函数f1(t)（或f2(t)）在t=处为零值；b)或被积分的函数f2(t)（或f1(t)）在(，)区间上的积分值为零。当f1(t)和f2(t)都为有始信号时，总是满足条件。,当f1(t)和f2(t)满足,46,例：求卷积1+(t)*et(t)。解：直接应用定义求,应用卷积的微积分求,47,根据卷积的微
24、分和积分运算，可得杜阿密尔积分,其实质是将信号分解成一系列阶跃函数之和：,卷积的微分和积分推广可得 f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(ij)(t),48,LTI系统在激励f(t)作用下的零状态响应为,在0的极限情况下，可得,49,例2.44：求图示函数的卷积。,50,例：求t(t1)*(t2)。解：t(t1)*(t2)=(t1)+(t1)(t1)*(t2)(t)*(t)=(t)*(t)=(t)*(t)=(t)t(t)*(t)=(t)*(t)*(t)=(t)*(t)*(t)=(t)t(t1)*(t2)=(t1)*(t2)+(t1)(t1)*(t2)=(t3)+(t3),51,例：LTI连续
25、系统如图所示，已知ha(t)=0.5e4t(t)，gb(t)=(1et)(t)，gc(t)=2e3t(t)，f(t)=(t)(t2)，求系统的冲激响应和零状态响应。,解：hb(t)=gb(t)=et(t)+(1et)(t)=et(t)hc(t)=gc(t)=6e3t(t)+2e3t(t)=2(t)6e3t(t)系统的冲激响应为,52,h(t)=(t)*ha(t)+hb(t)*hc(t)=0.5e4t(t)+et(t)*2(t)6e3t(t),系统的阶跃响应为,输入为f(t)=(t)(t2)时零状态响应 yzs(t)=g(t)g(t2)=(ete4t)(t)e(t2)e4(t2)(t2),53,
26、也可直接列出阶跃输入时系统运算关系式 g(t)=(t)*ha(t)+(t)*gb(t)*gc(t)=ha(t)*gc(t)+gb(t)*gc(t)=0.5e4t(t)*2e3t(t)+et(t)*2e3t(t)=(e3te4t)(t)+(ete3t)(t)=(ete4t)(t),54,四.相关函数,为两信号间的时间差。R12()与R21()一般不相等，但有 R12()=R21()自相关函数定义为,能量有限实信号f1(t)与f2(t)的互相关函数定义为,相关函数描述两信号f1(t)与f2(t)的相似程度。=0时称为相关系数描述两信号f1(t)与f2(t)的相似程度。,55,两者之间的关系为 R1
27、2()=f1(t)*f2(t)若f1(t)、f2(t)都为实偶函数，则两者相同。例：求信号f(t)=(t)(t2)的自相关函数。解：按自相关函数定义,相关函数表示成,与卷积函数比较,56,上式可表示成,由此可得 R()=0(2),2,2,02,20,57,由此可得 R12()=0(2),例:f1(t)=(t)(t2),f2(t)=t(t)(t2),求互相关函数。解：由互相关函数定义,由R21()=R12()可得 R21()=0.52+2+2(20)R21()=20.52(02),58,题 2.15,解：先求系统y(t)+2y(t)=f(t)的冲激响应h1(t)。,解微分方程得 h1(t)=Ce
28、2t(t)令t=0+代入得 h1(t)=e2t(t)由此得系统冲激响应 h(t)=h1(t)=e2t(t)=(t)2(t)+4e2t(t)阶跃响应为,59,题2.16,60,题2.22,解：输入为f(t)时，响应为,输入为(t)时，冲激响应则为,61,题2.29,解：y(t)=f(t)*(t)+ha(t)+ha(t)*ha(t)*hb(t)h(t)=(t)+(t1)+(t1)*(t1)*(t)(t3)=(t)(t3)+(t1)(t4)+(t2)(t5)=(t)+(t1)+(t2)(t3)(t4)(t5),62,习 题 2.2(2),(4);2.4(2),(3);2.12 2.17(4),(7),(10);2.19(2),(3);2.23 2.27;2.28;2.30,
