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1、,3.随机过程的线性变换,3.1 线性系统的基本理论,3.2 随机过程通过线性系统分析,3.3 随机序列通过离散线性系统分析,3.5 最佳线性滤波器,3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布,3.4 白噪声通过线性系统与等效噪声带宽,1.线性系统,3.1线性系统的基本理论,时不变性：,L.,分类：连续时间系统、离散时间系统 因果系统、非因果系统 线性系统、非线性系统,线性：,线性放大器,线性滤波器,平方律检波,全波线性检波,1.线性系统,3.1线性系统的基本理论,3.1变换的基本概念和基本定理,2.连续时不变线性系统,L.,3.1变换的基本概念和基本定理,3.离散时不变线性系统,L.,L,X(
2、t),Y(t),3.2随机过程通过线性系统分析,问题：给定输入和线性系统的特性，求输出。,求解：输出的统计特征。,h(t),X(t),Y(t),系统的输出：,1.冲击响应法,3.2随机过程通过线性系统分析,h(t),X(t),Y(t),均值,1.冲击响应法,3.2随机过程通过线性系统分析,h(t),X(t),Y(t),1.冲击响应法,3.2随机过程通过线性系统分析,互相关函数,h(t),X(t),Y(t),1.冲击响应法,3.2随机过程通过线性系统分析,自相关函数,h(t),X(t),Y(t),1.冲击响应法,3.2随机过程通过线性系统分析,对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从-
3、加入(双侧随机信号),3.2随机过程通过线性系统分析,平稳性讨论,则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；,对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从-加入(双侧随机信号),3.2随机过程通过线性系统分析,平稳性讨论,则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；,3.2随机过程通过线性系统分析,平稳性讨论,对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从0时刻加入(单侧随机信号),则输出Y(t)非平稳。,3.2随机过程通过线性系统分析,2.频谱法,只适用于平稳随机过程的分析,输入输出相关函数关系图,3.2随机过程通过线性系统分析,例1 如图所示的RC电路，输入为双侧平稳随机过程,均值
4、为mx,求输出Y(t)的均值。,3.2随机过程通过线性系统分析,例1 如图所示的RC电路，输入为白噪声信号,求输出Y(t)的自相关函数，输出的平均功率和输入输出的自相关函数。,3.2随机过程通过线性系统分析,3.2随机过程通过线性系统分析,3.2随机过程通过线性系统分析,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,1.白噪声通过线性系统,平稳随机信号的产生,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,白噪声通过线性系统,3.限带白噪声,低通型限
5、带白噪声,|H()|,1,-c,c,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,输出功率谱：,输出功率：,低通型限带白噪声,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,低通型限带白噪声的相关函数,p,w,c,-,0,p,w,c,t,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,随机过程的采样定理：当采样频率等于或大于2倍带宽时，一个限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。,3.限带白噪声,带通型限带白噪声,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,输出功率谱：,相关函数：,输出功率：,3.限带白噪声,带通型限带白噪声,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,带通型限带白噪声,3.4白噪声通过线性系统与
6、噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,白噪声过线性系统和噪声等效带宽,白噪声过线性系统,平稳随机信号的产生,白噪声通过线性系统,在一般线性系统中，通常都是以半功率点的通频带（即3dB带宽）来表示该系统对确定信号频谱的选择性，而这里则以等效噪声带宽来表示该系统对输入白噪声功率谱的选择性，它们都是由系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的形式和级数确定之后，两者也被确定，有着确定的关系。级数越高，两者越接近。,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,2.等效噪声带宽,用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。,2.等效噪声带宽,等效噪声带宽：理想系统的带宽，用 来表示。,3.
7、4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下的输出平均功率相等，且理想系统的增益为实际系统的最大增益。,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,2.等效噪声带宽,0,等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下的输出平均功率相等，且理想系统的增益为实际系统的最大增益。,性质：噪声等效通带只能由线性系统特性确定；,对于带通系统，输出平均功率,对于低通系统，输出平均功率,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,例3.7 白噪声通过如图RC电路，求系统的噪声等效带宽。,3.4白噪声通过线性系统与噪声等效带宽,噪声等效带宽
8、：,3.3随机序列通过离散线性系统分析,系统输出,系统描述,均值:,3.3随机序列通过离散线性系统分析,相关函数:,1.冲击响应法,3.3随机序列通过离散线性系统分析,假定输入X(n)平稳,若输入从-加入(双侧随机信号),平稳性讨论,则输出Y(n)平稳，且与X(n)联合平稳；,功率谱密度：,若用z变换表示,3.3随机序列通过离散线性系统分析,2.频谱法(平稳随机序列),例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为，线性系统的单位冲激响应是求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。,解,例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为，线性系统的单位冲激响应是求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度
9、。,解,随机信号过线性系统分析,冲激响应法,h(t),X(t),Y(t),随机信号过线性系统分析,频谱法,只适用于平稳随机过程的分析,课后作业：3.10，3.18,例4 设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=aX(n-1)+W(n)系统如图所示，其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，模型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。,3.3随机序列通过离散线性系统分析,自回归模型（Autoregressive）,常用时间序列模型,式中X(n)为零均值、方差为2的平稳白噪声，模型称为自回归滑动平均模型，用ARMA(N,r)表示。,许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激
10、励一个线性系统所产生的，一般表示式为：,3.3随机序列通过离散线性系统分析,当系数 均为零时，,模型称为自回归模型（Autoregressive），用AR(N)表示。,3.3随机序列通过离散线性系统分析,当系数 均为零时，,模型称为滑动平均模型(Moving Average)，用MA(r)表示。,例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=b0W(n)+b1W(n-1)其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，模型所产生的随机过程称为MA过程，求一阶MA过程的自相关函数和功率谱。,单位延迟,X(n,),W(n,),b,1,b,单位延迟,X(n,),W(n,),b,1,b,0,习题：3.29，
11、3.33（1）,3.3随机序列通过离散线性系统分析,滑动平均模型(Moving Average),一.输出信噪比最大的线性滤波器,二.匹配滤波器,三.广义匹配滤波器,3.5最佳线性滤波器,一.输出信噪比最大的线性滤波器,A型显示器,3.5最佳线性滤波器,一.输出信噪比最大的线性滤波器,确知信号,零均值平稳随机过程，功率谱Gn().,信噪比最大,信噪比：输出端信号在t=t0时的瞬时功率与噪声的平均功率之比,3.5最佳线性滤波器,输出噪声功率为:,3.5最佳线性滤波器,最佳滤波器:,幅频特性为:,相频特性为:,3.5最佳线性滤波器,滤波器物理意义分析:,相频特性为:,3.5最佳线性滤波器,当:,最
12、大输出信噪比为:,3.5最佳线性滤波器,二.匹配滤波器及其性质,确知信号,白噪声,信噪比最大,匹配滤波器,3.5最佳线性滤波器,匹配滤波器冲激响应:,即匹配滤波器的冲激响应为信号的共轭镜像。,如果c=1,h(t)与s(t)对于t0/2点呈偶对称关系.,对于实信号,有:,3.5最佳线性滤波器,t,t0/2,s(t)h(t),h(t),s(-t),0,s(t),实信号及其匹配滤波器的冲激响应,3.5最佳线性滤波器,匹配滤波器性质:最大 输出信噪比dm与信号s(t)波形无关;,输出最大信噪比只与信号能量有关,而与信号波形无关。,其中,3.5最佳线性滤波器,t0时刻应当选在信号s(t)结束之后;,物理
13、可实现的滤波器满足:,3.5最佳线性滤波器,匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性；,匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。,3.5最佳线性滤波器,例1:单个矩形脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形.,t,a,0,s(t),3.5最佳线性滤波器,例1:单个矩形脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形.,h(t)=cs(t),匹配滤波器的输出信号,矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图,匹配滤波器的实现,思考1:单个矩形中频脉冲信号其中求其匹配滤波器的传输函数及输出信噪比。,思考2:单个线性调频矩形中频脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信噪比。,3.5最佳线性滤波器,矩形脉冲串信号的匹配
14、滤波器,信号的频谱,s(t)的匹配滤波器,取t0=(M-1)T+,匹配滤波器可表示为 H()=H1()H2(),子脉冲匹配滤波器,相参积累器,输出的最大信噪比,脉冲串信号匹配滤波实现的结构,三.广义匹配滤波器,假定噪声具有有理的功率谱,3.5最佳线性滤波器,对于物理可实现的系统,噪声通过H1()后变成了白噪声，这是因为,例2,白化滤波器,谱分解,信号的拉普拉斯变换,解,取物理可实现部分,对应的传递函数为,s(t)的广义匹配滤波器为,1、正态随机信号通过线性系统,正态随机信号通过线性系统输出服从正态分布,h(t),3.6线性系统输出端随机过程的概率分布,H(),输出信号分布,若X(t)均值为零：,3.6线性系统输出端随机过程的概率分布,2、随机过程正态化中心极限定理：大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。,白噪声通过有限带宽线性系统 宽带随机信号通过窄带线性系统,习题：3.39，3.42,3.6线性系统输出端随机过程的概率分布,
