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1、Waves,傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.,窗口傅立叶变换（Gabor变换）：,窗口傅立叶变换的定义：假设 f(t)L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：,窗口傅立叶变换的物理意义：若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(,b)给出的是f(t)在局部时间范围b-Dt/2,b+Dt/2内的频谱信息。有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。,连续小波变换：,连续小波变换的定义：假设信号 f(t)L2(R)，则它的连续小波变换定义为：,尺度伸缩参数,时间平移参数,归一化因子,连续小波变换的逆变换,尺度和时移参数的离散化：,离散化后的小波变换：,怎
2、样选择小波函数才能够重构信号：小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。,尺度和时移参数的离散化：,重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：对任意的 f(t)L2(R)，称j,k为一个框架，如果存在正参数A和B（0 A B），使得：,分析小波,合成小波,标准正交小波基：,标准正交小波基的优点：变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。标准正交小波基与它的对偶相同。计算简单：,多分辨分析,空间,一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 Mallat算法 一维双
3、正交多分辨分析,一维正交多分辨分析,常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基,MRA,(非正交)尺度函数,正交尺度函数,低通滤波器,高通滤波器,小波函数,Mallat算法,正交化,两尺度方程,小波方程,MRA,令,中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：,，,1)单调性：,，,2)逼近性：,，,3)伸缩性：,4)平移不变性：,5)Riesz 基存在性：,存在函数,使,，,构成,的一个Riesz基（不一定是正交的）。,称为尺度函数。,多分辨分析。,MRA（续）,两个重要的完备的内积空间,线性空间:集合+代数运算（加法与数乘）内积空间:线性空间+内积
4、运算 完备的内积空间:内积空间+对limit运算封闭,泛函分析基础,Banach空间 Hilbert空间空间的基底 广义函数 线性算子,代数,集上的运算(集X上)内部运算 是XXX的一个映射 外部运算 是AXX的一个映射(A是另一集),距离空间,矩离空间是一个集合X连同一个满足下述条件的一个映射d:XXR(1)正性d(x,y)0,且d(x,y)0如且仅如 x y(2)对称性 d(x,y)d(y,x)(3)三角不等式 d(x,z)d(x,y)d(y,z)同一个集合,可以引入不同的距离,距离空间中相关概念,Cauchy序列 在距离空间X中,对于 的序列,如果 则称序列 是Cauchy 序列 极限点
5、 Cauchy序列 的极限点稠密 A是X的子集,如A的闭包是X,称A在X稠密空间可分 如果空间X 有一个稠密子集,距离空间中相关概念(续),空间完备 一个空间X 称为是完备的,如果在这个空间中的每个Cauchy序列都收敛于X 中的点。线性无关 线性空间X 一个子集A称为是线性无关的,如果A 的每个非空子集 关系 推出 对所有 成立。,线性赋范空间,线性赋范空间 设X 是数域K 上的线性空间,如果对于每个元素xX,相应一个实数x,对于x,yX,aK,有:(1)x0,如且仅如x0(2)ax ax(3)xyxy则称x是x的范数,又称线性空间X按范数构成线性赋范空间。,线性赋范空间相关问题,由范数导出
6、距离 在线性赋范空间中，能由范数导出距离 d(x.y)xy 这时线性赋范空间也是距离空间。按范数收敛 线性赋范空间X 中的序列收敛 是指 即按范数收敛。距离空间不必是赋范空间 距离可不由范数引入。,Banach空间,Banach空间 一个完备的线性赋范空间称为Banach空间。例1 空间(1p)是满足 的实(复)数序列a 的集合，范数定义为例2 空间(1p)是R上满足下述条件的可测函数类 范数为,空间 的重要不等式,Minkovski 不等式 是Holder 不等式 对于p1,q1,是CauchySchwarz 不等式(p=q=2特殊情形)是,卷 积,卷积(函数卷积)两个函数f,g 的卷积定义
7、 为性质1 如果f,g,那么f(x-y)g(y)对于所有x R,关于y是可积的。进而,可积,且,还有下述不等式成立性质2 如果f 是可积函数,g 是有界的局部可积函数,则卷积 是连续函数。,卷积性质(续),性质3 如果f,g,h,那么下列性质成立:(1)(可交换)(2)(可结合)(3)(可分配),内 积,内积 设X 为K(实或复)上的线性空间。在X上定义了内积是指，对于X 中每一对元素f，g，都对应一个确定的复数，记为 并满足下述性质:(1)对称性(2)线性(3)正性，且 如且仅如 其中 表示a 的复共轭。,Hilbert空间,内积空间 引入了内积的线性空间称为内积空间。内积空间是线性赋范空间
8、 在内积空间中,对每个，由内积导入范数，定义为 则X 就变成了一个线性赋范空间。Hilbert空间 一个完备的内积空间称为Hilbert空间。,Hilbert空间的例子与两向量正交,例1 空间是Hilbert空间，内积定义 为例2 空间是Hilbert空间，内积 定义 为 两向量正交 内积空间中的两向量x 与y 称为是正交的，如果 这时常写。,内积空间性质,Schwarz不等式 则平行四边形等式 则勾股定理，x与y 正交，则,正交(向量)组,正交组 X 是一个内积空间,在X中的一个非零向量的集合S，如果S中任意两个不同元素x与y正交，则称S是X中的一个正交向量组。如果还有|x|=1对S中的所有
9、x成立，则称S是规范正交(向量)组。规范正交序列 形成规范正交组的一个有限或无限的序列称为规范正交序列。内积空间任一线性无关向量序列，都能使用Gram-Schmidt规范正交化过程，得到规范正交序列。,规范正交基,完全规范正交序列 在内积空间X 中的一个规范正交序列 称为是完全的，如果对于每个，有规范正交基 在内积空间X 中的一个规范正交组S称为是规范正交基，如果对于每个X中的元素x 都有唯一表示 其中 是S中不同元素。内积空间X 中的一个完全规范正交序列是X中的一个规范正交基。,规范正交基的相关结论,在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,如且仅如,对于所有 推出Parseval
10、公式 在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,iff 对于每个 成立。可分Hilbert空间 一个Hilbert空间是可分的，如果它包含一个完全规范正交序列。在可分Hilbert空间中的每个正交集都是可数的。,空间的基底,研究Hilbert空间或Banach空间基底时，只考虑可分空间(即基底是可数的)。Schauder基 设X 是可分的Banach空间，对于，如果对于所有,存在唯一 使 则称 构成X 的一个Schauder基。无约束基 一个基称为是无约束基,如果除了满足上述Schauder条件外,还满足:(1)由 能推出(2)if 且 则可分Hilbert空间中,一个无约束基还称R
11、iesz基。,Hilbert空间的Riesz基,一个Riesz基还能用下述等价要求特征化:存在 使对于所有，有 成立。上述条件加上 线性无关才是Riesz基.规范正交基是A=B=1的Riesz基。对于Riesz基，计算是数值稳定的。Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基。,广义函数(Dirac函数),Dirac函数(x)(x)有下述 的 性 质要找到通常意义下的函数满足上式是不可能的，但能找到通常意义下的函数序列，序列的极限满足上式。例子 Gauss函数序列 则 有(x)称为广义函数。,广义函数(x)的基本性质,函数f 在点x=u连续，则 有上面结论可写成卷积形式 为引入Gauss函数族 为重要结果 令，在f 的每个连续点有,函数支撑,函数支撑(支集)函数 f:RC，集 S=x:f(x)0 的闭包 称为函数 f 的支撑，记为 supp f。有限支撑 如果存在实数a,b使suppf(a,b)则称函数f 具有有限支撑。紧支撑 如果支撑suppf 是闭的，且是有限的，则称函数f 具有紧支撑。,
