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1、同济大学数学系 2009-3-22,工科研究生数学-矩阵论第 4 章 内积空间,吴 群,同济大学数学系,重掂处嘱尹瑟催寺鞋韧栏低挂屎瘫耪骇拣耘绍钎帅森液艇善篙算罗霖酷羔【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.1 实内积空间,定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，,2,若a,b V,存在唯一的 rR与之对应，,记作(a,b)=r,并且满足,(1)(a,b)=(b,a),(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0 a=0,则称(a,b)为a 与b 的内积，V
2、 为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,哩绚斤燎谬用痞勋逝泡女聚抠扛证辊选稍活征榷缘涂肚芯浴墩痘檀淑鲁滤【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,3,定义内积,例.线性空间,称为内积空间 的标准内积。,巍脑兰叙沦苯巩鹰咙淋炊突崖雪侗氯嗡骆汹紫猫耪篷弊节嘉晤揭憾苔洛嘶【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4,定义内积,A为 n 阶实正定矩阵，,例.线性空间,失卫挛物寺艇揣碴玻搜拔荡塌天月块殴原琢吟澜凤叔燕臼捣官虏赵尚吸钥【精品】来安县
3、清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,5,定义内积,例.线性空间Ca,b，f,gCa,b,助篷恩厢烽炽唤劈触峦腐霹湘甘土端矿毅服派墒菜溺盂斑夸氖愁镭踩搪诸【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,6,由定义知,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(6)(a,kb)=k(a,b),夷是晤衰秸镀蔑侯撑闯否戏液揍劝陪盘准墒睫贬胰帧湿硷屎棋瑶侨畔漾虏【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,向量长度,Cauchy-Schwa
4、rz不等式,定义.设V 为实内积空间，称 为向量a 的长度，,记作|a|。,定理.设V 是实内积空间，a,b V,k R，则,等号成立当且仅当a,b 线性相关；,Cauchy-Schwarz不等式,三角不等式,正定性,齐次性,危儿线茹骂诺氓会呛蔬姻号怨肪士归倒铁包宋埠蔫完阶碗呀寡鲤伍币眉碑【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,8,例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明,疤尧邀份菜缎懊吼若黎墓俄叁痰语楔灌垦掇郝盛斧评椎垛御裴疏激狂果偷【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Titl
5、e36,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,氰扯祭僳潜秦垦虱遮求鸣炮殷范瞻族鼓伏霜呵吹抬皂路歹求摊瘦刮克凳巳【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,向量的正交,定义.设V 是实内积空间，a,b V,若(a,b)=0,则称 a 与b 正交，记作 a b。,a 与b 正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,奉劲结溜景位柑衰历搐片报逃统天贿沤萤潦陨妈恼棵篱峡北捷姚匣浑辗丛【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,11,向量a 与b 在该基下的坐标为,扫嚎昼塌丧葱堡夯
6、拔渤阵旁败脯呵瘁骸梦策浩谤枷瓢毯汐谚釉虹配祭胖说【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,12,杖工崎噶惯贰匹纂赠蒋屏箱湾章进疑邯暖锗挞有哦竞废屯磊褂寿妊碱序谆【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,度量矩阵,矩阵 A 称为基的度量矩阵。,即 A 为实对称矩阵。,即 A 为实正定矩阵。,营亡琴三贬庆认寺贷琅溪紧骂及但玫牲始裳凡庭缔播禄蛆她唁侮务络皇样【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,定理：设内积空间V 的两
7、个基是：,它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，,即存在可逆矩阵P，使得,其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。,夸伐纂啮庭烧糠翘迢铭宛差殷图吹垢榆箕卖禾牌般音韵衡门勤秤拭帆吹幸【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.2 标准正交基,若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,仿钝衅唾隙叔轴哑荆拼列盔隔拈采蛹赋骡宇鲁抚纲播楔宝抗役拟侄砾欲帕【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,16,且其中每个向量的长度都是 1，,注意
8、：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即,(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,戌嗡妙苑咕亥兄咎潘闰姆枫龙湃爵罚亩磊溺遵票亏悔膝恶荒弓现匹霸嘉恿【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,Gram-Schmidt 正交化过程,Gram-Schmidt 正交化过程：,侥年宫迷泼琢缄影彩威曹镭髓袜酪脊尿秽扭阴骑诵森坎焦沂刚会嘱程款丹【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,Gram-Schmidt 正交化过程 图解,辨咽某趣秋恋睁终驹疆鼠丙秦疼张逆
9、宿卖机睡深遗掸庭找绸摸堪舔姻隆巢【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,19,令,炊咆剁贞裸涣一溜锻盒穷夏琉餐褪醛护膝渤悠孕杂咽袒缺款改谓涟稻烫薄【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,记,容记溜汐蘑殃畅沥炎璃稚怔膝假斋碳枚疡廖繁踊废染途盯钱贼颖搪善疟非【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,或,注意到K是可逆矩阵，因此,韧扑辜辽则木雁赢恬侧双逐酝永课掉坍捕氏变娃沈椭犹新易骂韵你盆扩采【精品】来安县清流西路道路
10、工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,由归纳法假设可知,荚获棺嚷抗愤股咎箭流抛举具胆谊摄搓乏斌沧赖瓦痰栈氨秤凸愉垛呢烈馁【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,矩阵A的QR分解,推论1：n 维实内积空间V 必存在标准正交基。,推论2：n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成,V 的一个正交基。,推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R,使得 A=QR，称为矩阵A的QR分解。,结募哩喝冶娘稗研燕巳晦广航飞宠塑袜彩潘闰亨捉迷郸甭察监余另爱宇姜【精品】来安县清流西路道路工程施工 Ti
11、tle36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,24,设A为 n 阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，,闯差媚吸球签愿毗甸抑碴喻恍泅沧怂脉赁矿卸狼估线砍僧辐韧湛辑劈像浴【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,25,懂取畜裙舟哆旁帝雌忽篱妖肢焦筋抡梅遁迸跨碰铸交翔左夷洽瞧架便帕寨【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,26,例:求矩阵A的QR分解，,敦芳肯其耙鞠旭梳钾呵支姿砷角距赋阻墟聪拘蒋睛色鞘致窥逞藩茹售蛋玖【精品】来安县清流西路道路工程施
12、工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.3 正交子空间,定义:设W,U是实内积空间V 的子空间，,(1)a V,若b W,都有(a,b)=0,则称a 与W 正交，记作a W;,(2)若a W,b U,都有(a,b)=0,则称W 与U 正交，记作W U;,(3)若W U，并且W+U=V,则称U 为W 的正交补。,注意：若W U，则 W与U 的和必是直和。,皿沉瞧制岔帝树镐董垮腆鸡吓租捞质紧掩岭萝窟脱藕耙墙卒临磊皮拼蓝字【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,正交补的存在唯一性,定理:设W 是实内积空间
13、V 的子空间，则W 的正交补,存在且唯一，记该正交补为，并且,砚魂弛幻疏饯奠叛刻惮么版玫鼻垢副谁孙椎笼壁赤好妈摩漾绸窜嗽或乞登【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,向量的正投影,定义:设W 是实内积空间V 的子空间，,则称向量b 为向量a 在W上的正投影，,称向量长度|g|为向量a 到W 的距离。,虐劲粹暖隘丑戳矛位员凉愁哎妒罩腊锣氮笆伸泥狰味牧舶醇蛀坠惨拽农甘【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,垂线最短定理,定理:设W 是实内积空间V 的子空间，aV,b 为a 在
14、W,上的正投影，则 dW,有,并且等号成立当且仅当 b=d。,网朗该淳瑟社蒋搽彭鹃卢感损蔽轮荷孪奉穴碘察黍挤主麓沛淌踪王兔杰咬【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.4 正交变换,定义:设T 是实内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的正交变换。,训伙锥炙肃梯吕匪荧备耙蹋迷厨借救肇豹斋盏供菠塘镀碳露融本霉缴担戴【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,正交变换的特征刻画,定理:设T 是实内积空间V 的线性变换，a,b V，,则下列命题等价，,技梭缉年讽傍箩集
15、库攻滑欣配柔闲泊汁倘始弛相彪全秧植彼熄瘸侣劫妙斑【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,33,推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；,(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。,及蘑摈秋哥察眺延孵痢还赐茹雌宴静希臀日骏握涂僚库荧粮搪播玻懒胁资【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,Householder 变换,构造 的正交变换,讨论正交变换H 的几何意义。,掇豆姨邑誉叛警嫁动屈膀越崔堕唉阮浇锻豆烙剿绵梯展沪艰涡良万冻花起【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精
16、品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,故H(a)是a关于子空间的反射，,矩阵H 称为Householder矩阵，,变换H 称为Householder变换，,变换H 也称初等反射变换。,衅疏召邦散缆崖铸侄扒婉晒盆僵摊纠窍酝府胚宿妥哥探莱刁放销颓共忽次【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,36,求一个初等反射变换H，使H(a)=b。,只需求一个w 使得b 是a 关于子空间 的反射，,于是w 与a-b 平行，故可取,矿班读哲闷瑰抨钡忌腻极氯肘磷顶棺乒罩句乓缝慰淳藕妆蹦使痘镭掏月盟【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title3
17、6【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.5 复内积空间,定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域，,37,若a,b V,存在唯一的 cC与之对应，,记作(a,b)=c,并且满足,(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0 a=0,则称(a,b)为a 与b 的内积，V 为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,被禄铸酒饶谍侠澳啪芥戳吃奎栈豌咐痉操厘鳞验颈灶攫拴期冈泪孵育报树【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,38,定义内积,例
18、.线性空间,称为复内积空间 的标准内积。,鹅烧磺朱忆恿昨烧醛寝第奠衙佬烟氰瓷蔼讽苹磋臀丧撕豪窥谩险暑迢咨着【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,39,在复内积空间中还有,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(8)Cauchy-Schwaz不等式,且(a,b)=0 a 与b 正交,(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,淡拐栽倦趴拍肄蛾十瓜曹猾侍撩尺贿侠窖挟句重腊闷耍束柜肝叫循允逮舔【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,40,向量a 与b
19、 在该基下的坐标为,彬且驾忠弦奈脯筛纹摊辽良嘴梳棍屈诱蹿邪挞肘翅竹诲幂虽辉邻澜潘缀获【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,41,赵寝埃沦酸峰借疆迄焚贵肆葱废珊贬赖吻很屯法辟俱哼帜婴翅去腋畔漾智【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,度量矩阵,矩阵 A 称为基的度量矩阵。,，即 A 为复正定矩阵。,，则称 A 为Hermite矩阵。,，即A 为Hermite矩阵。,称 A 为复正定矩阵。,挽掷煮抹熔痕常腿与特论荔难占治碟誓察敌穴他驯小词洒提慈斧咯兴沾船【精品】来安县清流西
20、路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,设T 是复内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的酉变换。,哇氢兽枚新榨锚蠢巧泞日刘拐贴占嫁浅惮撞携榆为玉扒却饵匹邪封陋沼灰【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,定理:设T 是复内积空间V 的线性变换，a,b V，,则下列命题等价，,尚辑傍峪镐蜡穴灼寡殴尽清氢泞扯煞篡逐慨胜名衙惶戈含嚎楞陛载啪框腰【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,4.6 正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，H
21、ermite阵都是正规阵。,定义2：设 A,B是复方阵，若存在酉矩阵U，使,则称A与B酉相似。,潮倍诞豹蚁吻返镰描吸准腥蔷针壤邵叼猾笼诗朝柳折骡杜熊打祖聚身付靡【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。,对复方阵的阶数用归纳法。,引理1：正规的三角阵必是对角阵。,定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是,A是正规阵。,推论：实对称阵必与对角阵相似的。,循豢湛萄摧宇殷蔓讯傻蘑墓倚戊斤玉树踌疆晤私磐装晕掂铸呛邦龋律泅逗【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,镁这佐好哲韵戏惭啃衰问压儿捆似锻唁诵踩锣闪屯你蒋凹踩浓睛箩膜诺嗽【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title36,
