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1、2023/3/16,1,第五节 函数的微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一.微分的概念,二.微分的几何意义及函数的线性化,三.微分的运算法则,四.微分在近似计算中的应用,2023/3/16,2,教学目标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.深刻理解微分的概念和几何意义.掌握一元函数在一点可微与可导的关系.熟练应用微分的基本公式与运算法则求解初等 函数的微分.灵活应用一元函数一阶微分形式不变性求解复 合函数和隐函数的导数及微分.5.会用微分的定义求解微分,了解函数的线性化,会用微分作近似计算.,2023/3/16,3,一.微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当函数 y=(
2、x)的自变量 x 在其定义区间 I 内一点 x0 处取得改变量x,且 x0+xI 时,函数有相应的改变量y=f(x0+x)f(x0).,一般而言,y 是关于x 的一个较复杂的表达式,处理起来往往较困难.因此,有必要找到一个近似表示y 的方法,并且满足两个要求:一是计算简便,二是容易估计近似误差.这便是函数的微分要解决的问题.,很小时y,在经济应用与分析中,我们经常需要计算当,的值,2023/3/16,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为了了解函数的改变量对自变量的改变量的依赖关系,我们首先考察下面的引例.,引例:如图所示,若正方形的边长为 x0,则它的面积 S=x0 2是x0的函数,若其
3、边长由 x0 变到,x0+x 时,其面积改变多少?,面积的改变量为,2023/3/16,5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,S可分成两部分:,(1)2x0 x:是x 的线性函数,且为S 的主要部分;,(2)(x)2:是当x 0时比x高阶的无穷小,即(x)2=o(x).当x 很小时,可以忽略不计.,关于x 的线性主部,故,y可分成两部分:(1)3x02x是x 的线性函数,为y的主,再如:函数 y=x3 在点 x0 处的改变量为,2023/3/16,6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,要部分;(2)3x0(x)2+(x)3 当 x 0 时比 x 高阶的无穷小,可以忽略不计.,问题:引例中的
4、线性函数(即改变量的主要部分)是否是所有函数的改变量都含有呢?它是什么?如何求?将上述问题进行数学抽象,便可引出函数微分的定义.,定义5 设函数 y=(x)在某区间 I 内有定义,且 x0,x0+xI,如果函数的改变量 y=f(x0+x)f(x0)可表为,其中 A 是仅与 x0 有关而与x 无关的一个常数,o(x)是当x0 时比x高阶的无穷小.则称(x)在点 x0 处可微(diff-,2023/3/16,7,erentiable);称y 的线性(当 A 0 时称为线性主要)部分 Ax 为函数 y=(x)在点 x0 处的微分(differential).记为,或,即,即可微函数的改变量可分为两部
5、分:一部分是微分 dy=Ax.它是x 的线性函数,是函数改变量y的主要部分,故把第一项称为y的线性主部(linear part);另一部分是当x0 时比,由定义可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/3/16,8,x高阶的无穷小,它的具体表达式往往是复杂的,但当|x|很小时,在近似计算y 时可以忽略不计,现在的问题是:函数在点 x0 处可微的条件是什么?如果可微,常数 A为何值?下面的定理不但解决了这两个问题,而且还给出了函数在一点可微与可导的关系,定理5(可微的条件)函数 y=(x)在点 x0 处可微的充要条件是函数 y=(x)在点 x0 处可导,且 A=f(x0),从而有 d
6、y=f(x)x.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/3/16,9,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数 y=(x)在点 x0 处可微.,证 充分性.如果函数(x)在点 x0 处可导,即,有极限存在与无穷小的关系,有,则,即,2023/3/16,10,其中A 与x 无关.上式两端同除以x,并令x0,得,必要性.设函数(x)在点 x0 处可微,即,上式说明函数(x)在点 x0 处可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1 导数与微分都讨论了x 与y 的关系,所以导数与微分之间应有内在的联系,定理5揭示了这种联系.由定理5可知：一元函数在一点可导与可微是等价的.从而求函数
7、在一点的微分,可先计算函数在这一点的导数,然后再,2023/3/16,11,但是,导数与微分是两个不同的概念.导数 f(x0)是函数(x)在点 x0 处的瞬变化率,而微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,乘以自变量的改变量,即,处改变量y 的线性主部;导数的值只与 x0 有关,而微分的值既与x0 有关,还与 x 有关.,是函数(x)在点 x0,例1 设函数(x)=x22x,求当自变量 x 从 1 变到 1.01 时,函数的改变量y与函数的微分 dy.,解 由题意知,x0=1,x=0.01.则,2023/3/16,12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,即,而,注2,2023/3/16
8、,13,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果函数 y=(x)在区间 I 内的每一点都可微,则称函数(x)为区间 I 内的的可微函数,即对任意的 x I,有,特别地,当 y=x 时,y=x,且,从而,由此说明,若 x 为自变量,则,即自变量x的改变量x 就是自变量的微分dx.所以函数(x)的微分可以写成,2023/3/16,14,从而,注3 记号,作为一个整体用来表示导数,此记号可以理解,为函数的微分与自变量的微分之商,因此导数也可称为微商(derivative).由此可知,由函数的微分可直接求得函数的导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因导数即为微商,则由参数方程,(3.4.1),
9、所确定的函数 y=f(x)如果在,都可微,且,时,则其导数为,2023/3/16,15,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 因为,注4 求导数与求微分的方法都叫做微分法.,这正是由参数方程所确定的函数的求导公式(3.4.2).,2023/3/16,16,二.微分的几何意义及函数的线性化,1.微分的几何意义,为了对微分有比较直观的了解,下面我们来探讨微分的几何意义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,M0T是函数曲线 L:y=(x)在点M0处的切线,2023/3/16,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,M0T是函数曲线 L:y=(x)在点M0处的切线,当点M0
10、的横坐标 x0 有一个改变量x时,曲线相应的纵坐标的改变量为,N K=M N tan,而M0 N=dx,则切线相应的纵坐标的改变量为,2023/3/16,18,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由近似公式(3.5.1)知,函数 y=(x)在点 M0 处的微分 dy的几何意义是:当自变量 x 在点 x0 处取得改变量x 时,微分dy就是曲线 y=(x)在点 M0 处的切线的纵坐标的改变量,微分的几何意义：,2023/3/16,19,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*2.函数的线性化,定义6 若函数 y=(x)在点 x=x0 处可导,则称其在点 x=x0 处的切线 P1(x)=f(x0)+f
11、(x0)(xx0)是函数y=(x)在 x=x0 点的线性化(linearization);若用 P1(x)去逼近(x),即 f(x)P1(x).则称 P1(x)为(x)的线性逼近(linear approximation),称点x=x0 为逼近的中心,2023/3/16,20,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 因为,例2 求函数(x)=ex1 在 x=0 处的线性化,所以(x)=ex1,如图所示,(x)=ex1 在 x=0 处的线性逼近为xex1.,在 x=0 处的线性化为,2023/3/16,21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注5 教材p96的表给出了(x)=ex1 在 x=0
12、 附近的几个函数值、逼近值及误差.从此表中可清楚地看到:用P1(x)=x 去逼近(x)=ex1 时,在 x=0 附近的x值,精度是非常高的,由微分的几何意义知：微分 dy 就是曲线 y=(x)在点 M0 处的切线的纵坐标的改变量,也就是其线性逼近函数的改变量.换句话说,在曲线 y=(x)某点的邻域内与曲线非常接近的那条直线就是曲线 y=(x)在该点的切线,即函数y=(x)在 x=x0 处的线性化函数曲线,2023/3/16,22,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注6 对于可微函数y=(x)而言,当y 是曲线 y=(x)上的点的纵坐标的改变量时,dy 就是该曲线的切线上相应点的纵坐标的相应改
13、变量.当|x|很小时,其误差|y dy|=MK 比|x|小得多(见例1).,故当|x|0时,可“以直代曲”总可以用切线段 M0 K 去代替曲线弧 M0 M,用函数微分 NK=dy 去近似代替函数改变量 NM=y.,2023/3/16,23,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此在相应点 M0 的附近,我们可以用切线段近似地代替曲线段,即用 dy 代替y,这正是以直代曲 在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数,在几何上就是局部用切线段代替曲线段.这在数学上称为非线性函数的局部线性化,这是微分学的基本思想方法之一这种方法是在自然科学、工程问题、经济管理问题的研究中经常采用的一种技术手段,202
14、3/3/16,24,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三.微分的运算法则,1.基本初等函数的微分公式,依据导数与微分的关系,利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,便可得到相应的微分公式和微分运算法则,2023/3/16,25,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/3/16,26,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/3/16,27,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.微分的四则运算法则,设函数 u(x)和 v(x)都是 x 的可微函数,则,(C为常数),(v0),(1),(2),(3),证 只证(3),其余请读者自行证明.,2023/3/16,28,机动 目录 上页
15、 下页 返回 结束,由微分与导数之间的关系,有,2023/3/16,29,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.复合函数的微分法则,的微分为,微分形式不变,注7 无论 u 是中间变量还是自变量的可微函数,微分dy=f(u)du 都保持不变,这一性质称为一元函数的一阶微分形式不变性(invariance differential forms).,2023/3/16,30,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一阶微分形式的不变性,使得我们在计算函数的微分时不必考虑是对自变量的微分,还是对中间变量的微分,这给微分运算带来极大的方便,解法一(复合函数的求导法则)由于,所以,2023/3/16,31,
16、机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法二(一阶微分形式不变性)由于,解 由乘积的微分法则,得,2023/3/16,32,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 求由方程 y=x arctan(y2x)所确定的隐函数 y=f(x)的微分.,解 方程两端微分,得,即,解出 dy,得,2023/3/16,33,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7 将适当的函数填入下列括号内,使等式成立.,注8 例7是微分的反问题,是第五章不定积分要研究的内容.数学中的反问题往往出现多值性,例如:由于,则,22=(),4,2023/3/16,34,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四.微分在近似计算中的应用
17、,则当 f(x0)0 时,有,则当x0时,dy与y 是等价无穷小,即 dyy.故当|x|很小时有近似公式,由于,(3.5.1),近似公式(3.5.1)满足两个要求:一是计算简便,二是近似程度好.由此,我们可以得到如下两个近似计算公式:,2023/3/16,35,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用公式(1)可近似计算函数在点 x0 附近的近似值:在点 x0 处,当|x|很小时,用 f(x0)+f(x0)x近似计算函数值 f(x0+x);利用公式(2)可近似计算函数的改变量:在点 x0 处,当|x|很小时,用 f(x0)x 近似计算函数的改变量 y=f(x0+x)f(x0).,若令 x=x0
18、+x,则x=x x0,近似公式(1)变为,(3.5.2),2023/3/16,36,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式(3.5.2)使用原则:1)f(x0),f(x0)都好算;2)x 与 x0 充分接近,特别地,取x0=0,且|x|很小时,公式(3.5.2)又变为,(3.5.3),当|x|很小时,用公式(3.5.3)可以推得以下几个常用的近似公式(同学们也可以从等价无穷小可相互替代的角度去解释这些近似公式)：,(x 用弧度作单位来表示);,(即|x0 x|很小),2023/3/16,37,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证 只证(v),其余请读者自行证明.,应用公式(3.5.3),即
19、得,例8 求下列各数的近似值:,解 这是求函数值的近似问题.,(1)sin29o 可以看成是函数 sinx 在点,处,的函数值.令,(|x|较小);,2023/3/16,38,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的函数值.令,(|x|较小);,可以看成是函数 ex 在点,则,2023/3/16,39,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 现有一笔钱 P 存入银行,年复利为 i%,问大约存入多少年后可使这笔钱为 P 的 e 倍?,解 令 r=i%,按年复利计算,则 t 年后在银行的存款为P(1 r)t.则有,即,上式两边取对数,得,由于当|r|很小时,ln(1+r)r,则,2023/3
20、/16,40,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式表明了:当 i(不妨设 i10)很小时,约需,年,存款可,以变为 P 的 e 倍,2023/3/16,41,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.微分的概念,微分的定义,可微,可导,2.微分的几何意义及函数的线性化,微分的几何意义,函数的线性化,3.微分的运算法则,微分公式,微分的四则运算法则,复合函数的微分法则,2023/3/16,42,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数的一阶微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),4.微分在近似计算中的应用,当|x|很小时,两个近似计算公式:,(x 用弧度作单位来表示);,特
21、别地,当|x|很小时,有,2023/3/16,43,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考练习,解(一阶微分形式不变性),2023/3/16,44,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,解,2023/3/16,45,作业：P100 1,2(单或双),4,5,6,7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/3/16,46,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.正确使用导数及微分公式和法则,2.熟练掌握求导方法和技巧,(1)求分段函数的导数:,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等,(2)隐函数求导法,对数微分法,(3)参数方程求导法,极坐标方程求导,(4)复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5)高阶导数的求法,逐次求导归纳;,间接求导法;,利用莱布尼茨公式.,微分法:,(可利用微分形式不变性),
