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1、第二章 动量与角动量守恒,2.1.1 动量 冲量和质点动量定理,根据牛顿第二定律,改写为,冲量,2.1 动量定理 动量守恒定律,当作用时间为，合外力的冲量为,即,质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。质点动量定理,（1）冲力、平均冲力,当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力称为冲力。,平均冲力,说明：,（2）只适用于惯性系。（3）SI制中，冲量的单位 动量的单位是,2.1.2 质点系的动量定理,n 个质点质点系，第 i 个质点受合外力为，受合内力为。,根据质点动量定理，对第 i 个质点，有,对所有质点求和，得,因为,系统所受合外力的
2、冲量等于系统总动量的增量。质点系动量定理,2.1.3 动量守恒定律,则有,当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。动量守恒定律,如果,（2）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；,（3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观和微观领域。,说明：,例 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。,证,假定 t 时刻，已落到桌面上的绳长为 x，质量为 m=M x/l，以此为研究对象。受力如图所示：,如图建立坐标系,求 T
3、：取 dt 内落至桌面的 dx 为研究对象，受力如图所示：,将（2）式代入（1）式得,2.2 角动量定理 角动量守恒,2.2.1 质点的角动量,质点对惯性参考系中某一固定点O 的角动量。,单位：,2.2.2 力矩,定义：,2.2.3 质点角动量定理,质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。,由于,于是得,2.2.4 质点系角动量定理,质点系对某点的角动量对时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的矢量和。质点系角动量定理,质点系角动量守恒,例1 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直平面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A
4、点，该点在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时对环心的角动量和角速度。,解 小球受到重力和圆环对其支撑力,但支撑力对圆心的力矩为零.选圆心为参考点,由质点角动量定理,小球对环心的角动量为,代入上式可得,两边积分,例2 证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时间内扫过相同的面积。,证,太阳位于行星轨道的一个焦点上.如图所示.,取太阳为参考点,由于太阳与行星之间的引力为有心力,所以角动量守恒,即,当行星转过,角度时扫过的面积为,因为行星质量为常量,所以单位时间扫过的面积,也为常量.,例3 用绳系小物块使之在光滑水平面上作圆周运动（如图），圆半径为
5、r0，速率为v0。今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆半径至 r 时，小物块的速率v是多大？,解 滑块受到绳子的拉力通过圆心,对圆心而言,滑块所受合力矩为零,故角动量守恒,即,于是,2.2.5 刚体绕固定轴的转动,刚体模型：在受力和运动时形状和大小不变，内部质点间没有相对运动。,刚体的运动 刚体运动:平动+转动。（1）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动中始终保持方向不变。可用质心代表整个刚体的运动。（2）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线（转轴）作圆周运动。,转轴位置不变，刚体上的每个质元都以同样的角速度 和角加速度绕定轴作圆周运动。,距轴 r 处的质元,速度,切向加速度,法
6、向加速度,刚体定轴转动定律,（1）定轴角动量：,刚体上质元 i相对于转轴的角动量为,质元 i对于O点的角动量为,但我们感兴趣的是研究定轴转动，即要研究,转动惯量,整个刚体定轴角动量为,（2）转动惯量的计算转动惯量的普遍表达式为,平行轴定理：,与质心平行的转轴，其相应的转动惯量I与质心轴的转动惯量Ic之间的关系,定轴转动定律,根据质点系的角动量定律,合外力对于轴的合力矩,质点系对某点的角动量对时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的矢量和。,转动惯量,整个刚体定轴角动量为,例1 求长为l，质量为m的均匀细杆绕中心轴的转动惯量，和绕端点的转动惯量。,解,取杆上长为dx的一段,绕端点的
7、转动惯量,同理,绕中心轴的转动惯量,例2 求 圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量，设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解,设圆盘厚度为h,将圆板分成一系列的同心细圆环，半径为r,宽度为dr的细圆环的质量为：,例3 一质量为m半径为R的匀质圆球，求通过任一直径为轴的转动惯量。,解 选用球坐标,质元为,考虑到,得,2.2.6 角动量守恒定律,如果对于某一定点O 质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。质点角动量守恒定律,在有心力场中，如万有引力场、静电引力场中，角动量守恒。,绕某定轴 z 转动的刚体，如果在 z 轴上所受的合外力矩为零，刚体相对于 z 轴的角动量不变。角动量守恒定律,例4 AB是放在光滑水平面上的匀质细杆，其长度为l，质量为M，B端固定于竖直轴O上，使它可绕轴自由转动。一质量为m的子弹在水平面内沿与杆相垂直的方向，以速率v射入A端，子弹击穿A后速率减为v/2，其运动方向不变。求细杆的角速度。,解 选杆与子弹为系统,外力相对于轴O的合力矩为零,故角动量守恒.,由上式可得杆的角速度为,
