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1、一、债券定价原理,1962年，麦尔奇(Malkiel)最早提出 定理1 债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升。,例：某5年期的债券A，面值为1000美元，每年支付利息89美元，即息票率为8。A.如果现在的市场价格等于面值，意味着它的收益率等于息票率，8B.如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为5.76，低于息票率8C.如果市场价格下降到900美元，它的收益率上升到10.98，高于息票率8。,定理2,当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格波动幅度之间
2、成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。或债券价格的折扣或升水随着到期日的临近而减少，债券的价格日益接近面值。,例：某5年期的债券B，面值为1000美元，每年支付利息60美元，即息票率为6。如果它的发行价格低于面值，为883.31美元，意味着收益率为9，高于息票率；如果一年后，该债券的收益率仍维持在9不变，他的价格为902.81美元。883.3160/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09)5902.8160/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09)4,说明在维持收益率不变的条
3、件下，随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度从116.69美元（1000883.31）减小到97.119（1000902.81）美元，两者的差额为19.5美元，占面值的1.95,定理3,随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度见效，并且是以递增的速度减小；反之，到期时间长，债券价格波动幅度增大，并且是以递增的速度增大,例：某5年期的债券B，面值为1000美元，每年支付利息60美元，即息票率为6。如果它的发行价格低于面值，为883.31美元，意味着收益率为9，高于息票率；如果一年后，该债券的收益率仍维持在9不变，他的价格为902.81美元，如果两年后，该债券的收益率仍维持在9不变，他的价格
4、为924.06美元883.3160/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09)5902.8160/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09)4924.0660/(1+0.09)+.+60/(1+0.09)3+1000/(1+0.09)3,债券价格的波动幅度由116.69美元减小到97.119美元，又减小到75.94美元，第二年与第三年的差额为21.25美元，占面值的比率为2.125。所以，第一年与第二年的市场价格的波动幅度小于第二年与第三年的市场价格波动幅度。,定理4,对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同
5、等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。,例：某5年期的债券C，面值为1000美元，息票率为7。假定发行价格等于面值，那么，它的收益率为7。当收益率变动一个百分点，收益将如何变动？,（1）当收益率上升一个百分点，变为8 债券的价格：960.07 70/(1+0.08)+.+70/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5 价格波动幅度：1000960.0739.93美元（2）当收益率下降一个百分点，变为6 债券的价格：1042.1270/(1+0.06)+.+70/(1+0.06)5+10
6、00/(1+0.06)5 价格的波动幅度：1042.12100042.12美元 42.12美元39.93美元所以，收益率下降导致的债券价格上升幅度大于收益率上升导致的债券价格下降幅度。,定理5,对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小。,例：某5年期的债券C，面值为1000美元，息票率为7。另一5年期的债券D，面值为1000美元，息票率为9。（1）如果债券C与债券D 的收益率都是7 债券C的市场价格：1000美元 100070/(1+0.07)+.+70/(1+0.07)5+1000/(1+0.07)5 债券D的市场价
7、格：1082美元 108290/(1+0.07)+.+90/(1+0.07)5+1000/(1+0.07)5,（2）如果两种债券的收益率都上升到8 债券C的市场价格：960.07美元 960.0770/(1+0.08)+.+70/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5 债券D的市场价格：1039.93美元 1039.9390/(1+0.08)+.+90/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5,（3）两种债券价格的下降幅度 债券C的下降幅度：（1000960.07）/1000=3.993%债券D的下降幅度：（10821039.93）/1082=3.889%债券D的价格波动幅度
8、小于债券C的价格波动幅度,二、久期duration,（一）久期的定义和计算 1.久期的定义 一个债券的价格取决于现金流和当前的利率。由于债券的现金流是事先决定的，利率的波动是债券价格变化的主要风险来源。利率的变化导致人们对要求的收益率的变化，也导致债券价格的变化。如果以P表示债券的价格，y表示债券的收益率，债券价格的利率风险可以简单地表示为P/y，它表示收益率的单位变化导致价格变化的数量。负号表示普通债券的收益率变化与价格变化方向相反。,普通债券的收益率变化与价格变化方向相反例：假定一个10年期的债券，面值为100，息票率为8，在不同的收益率下，债券的价格如下：,债券价格的变化和收益率的变化近
9、似有：其中，P表示债券价格的变化，y表示收益率的变化。等式两边除以价格P，则得到债券的价格变化率：若以D表示久期，则久期定义为：反映了收益率的单位变化导致价格的变化率则 P/PDy，债券价格变化的百分比久期收益率的变化或者PPDy，债券价格的变化久期价格收益率的变化,2久期的计算,假定一个债券的面值为1，年息票率是c，到期日前还有N次利息支付，利息半年支付一次，收益率为y（半年计算一次时的年收益率）。现在离下一次支付还有6个月，久期的计算公司推导如下：债券的价格为：,求价格对收益率的导数：其中tkk/2,它是现在离第k个付息日的时间长度,久期为：DdP/dy/P 在不考虑1/(1+y/2)的条
10、件下，久期可以这样来理解：久期是现金流到达时间tk的加权平均，权数是单位现金流的现值。,例：一个10年期，面值为100，息票率为6的债券，每年付息一次，投资者要求的收益率也是6，即它是一个平价债券，计算它的久期。D=7.44,如果利率发生变化，投资者对这个债券的收益率增加0.5，即y0.005则P=7.441000.0053.72价格下降到P+P=1003.7296.28利用久期计算的价格变化相当于泰勒展开式的一阶近似，所以96.28只是一个近似值。收益率变化越小，近似效果越好，反之，效果越差。,3.麦考利久期,（1）定义相对于麦考利久期，前面定义的久期为调整的久期（modified dura
11、tion）当采用的收益率为半年复利一次的名义年收益率，麦考利久期（1y/2）调整的久期；当采用的是一年复利一次的名义年收益率，麦考利久期（1y）调整的久期。,（2）麦考利久期的直观解释,A.一个证券的麦考利久期是其现金流的平均到达时间对于一个付息债券，半年期息票率为6，半年付息一次，面值是100，10年后到底，现价是100，它的现金流的平均到达时间7.66年,B.麦考利久期是债券价格关于其收益率的弹性。如果采用的收益率是一年复利一次的年收益率，麦考利久期的计算公式为：MD=(dP/dy)(1+y)/p=(dP/P)/dy/(1+y)=(dP/P)/d(1+y)/(1+y),（二）久期与风险管理
12、,资产免疫管理是指通过适当的方式，来避免利率的非预期波动对资产价值的影响。根据久期的定义 dP/P=Ddy 则，Var(dP/P)=Var(Ddy)=D2Var(dy)波动率即标准差为 Vol(dP/P)=DVol(dy)即在收益率的微小变动下，债券价格变化率的标准差是收益率标准差的D倍。,1资产组合的久期,（1）定义对于单个资产，久期这个概念并不是很重要，因为他的现金流比较清晰。但作为价格风险的度量对于一个资产组合来说，其优越性就显现出来了。一个资产组合的久期的标准定义为：资产组合的久期等于组成资产组合的各个资产的久期的加权平均。与资产组合的久期的定义相对应的是资产组合的收益率。资产组合的收
13、益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到期收益率。,（2）推导,以两个资产的资产组合为例，资产组合P由N1份债券B1，N2份债券B2组成，债券组合、债券的现价仍分别记为P，B1，B2，则资产组合的价格为PN1B1N2B2,（3）实例分析,一个资产组合由B1和B2组成，它们所占的份额均为0.5，它的价格，收益率，久期分别是B1=100，y1=7%，D1=0.483092，B2=100,y2=8.8%,D2=1.797968则资产组合的价格：0.51000.5100100资产组合的久期：(0.5100)/1000.483092(0.5100)/1001.7979681.14053也可以讲
14、资产组合看成一个证券，通过久期的定义计算出资产组合的久期。,2久期的匹配,我们在进行风险管理时，有时需要构造一个资产组合，其价值与某个债券或者债券组合相同，并且在利率发生波动的情况下，两者的价值变动也相同。如果一个是多头，一个是空头，两者的风险就可以对冲。久期可以帮助构造这样一个资产组合，只要求两者的现价相同，两者的久期也相同就可以近似地做到这一点。,例：假定持有一个债券，10年后到期，息票率是6，投资者要求的收益率也是6，它是一个平价债券。该债券的久期为7.4378。如果市场利率上升，债券价格有下降的风险。投资者可以采取持有其他债券的空头来对冲他的利率风险，假定可供选择的债券有两个，其价格和久期为：,确定持有的x和y的数量，使构造的资产组合能够对冲10年期债券的利率风险。这个资产组合应该满足两个条件：现价应该等于10年期平价债券的现价，久期应该等于该债券的久期，即 94.2596x100y=100 0.970994.2596x+13.8378100y=7.4378100则x=0.5276 y=0.5027,
