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1、一般利率期限结构模型,林海（厦门大学金融系，361005）,内容提要,主要利用一般资产定价中随机贴现因子的概念对利率的变动情况进行理论上的分析。通过这种分析方法，就可以将不同种类的利率期限结构模型归纳到一个统一的框架中来。本文的思想主要来源于Cochrane(2000)、Dai and Singleton(2002)等。本文主要分为几个部分：第一部分是理论框架的提出；第二部分是对不同的利率期限结构模型进行归纳、总结。,随机贴现因子（stochastic discount factor）,由于债券，包括无违约风险（default free）债券，属于资产的一种。因此，对债券的分析可以用一般资产的
2、定价理论来进行分析和研究。这个一般资产定价理论是在一个代表性投资者为实现自身效用函数最大化的条件下所进行的投资决策而导致的某种资产收益之间的均衡关系。原来有关一般资产定价的原理有CAPM、APT等，Cochrane(2000)用一个随即贴现因子的概念将这些理论统一到一个定价模型框架之中，从而形成一个最一般化的资产定价模型。,一般化模型设置,最大化：约束条件：这是一个秉赋经济状态，投资者除了投资收益之外，没有其他收入，如工资收入等。这个问题涉及到多期优化，因此必须用动态优化的方法进行求解。动态优化的方法可以参考蒋中一（1999）、斯托基和卢卡斯（1999）。,动态优化求解,构建贝尔曼动态方程：一
3、阶条件为：包络条件为,计算结果：,对零息债券（无违约风险）而言，,收益率等于利率。在某个时点t,利率水平是确定的，因此它和随机贴现因子之间的协方差为0。因此，所以，随机贴现因子的期望值和利率水平之间存在着一一对应的关系，我们可以通过对随机贴现因子的分析来分析利率水平。我们可以通过对贴现因子的一些简化假设来进行分析。随机贴现因子的条件方差可能有两种假设：一种是同方差，一种是异方差。,同方差：条件对数正态分布,在这个条件下，因此，我们必须研究和分析贴现因子对数的条件期望和方差。因为它和连续复利利率相反，所以可以对贴现因子对数的相反数进行分析。,假设条件：,但是这种方法认为，只会影响利率的水平，不会
4、影响利率的形状，所以可以把他剔除掉。但是笔者认为，这种方法是不合适的。因为，这会使得对创新项的方差估计发生错误，从而对利率水平的估计也会产生偏误，并最终导致对债券定价的偏误。即使只是水平移动，但是也会对债券定价产生影响，因为和债券定价相关的是利率水平而不是利率的形状。,分析：,在原有的假设条件下，但在新的假设条件下，二者不相等。推论：如果仅仅因为只影响利率水平而不影响形状就可以把 却掉，那么也可以对 采取同样操作，因为它也是常数，只影响水平，不影响形状。,因此，更为合理的模型安排是：,不要对随机因子进行太多的假设，比如，条件正态分布架设、无关因子剔除等。通过一个一般化的模型假设，既首先假设市场
5、存在的波动源的个数，然后将所有的因子都和这些波动源联系起来进行分析。在上述问题中，可以假设市场存在两个不确定性源，其中一个只对随机贴现因子产生影响，另一个同时对随机贴现因子和状态变量产生影响。此时关系仍然是一个线形关系，但是是以矩阵形式表现出来的线形。这方面的思想和工作直接得益于Dai and Singleton(2002)。在他们的文献中，直接应用了多因子的贴现因子的连续动态变化过程，而不是随机贴现因子的对数。,Dai and Singleton(2002),直接假设：其中，为瞬时利率。是N个独立的布朗运动变量。代表风险的市场价格。而且，这就是一个最一般化的模型，可以包括N个不确定源对利率的
6、影响。,一个简单的证明：,时刻t本身的贴现因子为1，时刻t+1的贴现因子为 所以一般化的式子就是,在存在n个不确定性源的条件下，,因此，由于不确定性源同随机贴现因子的协方差（用比例表示）与不确定性源同瞬时利率的协方差相反，因此可以表示为：可以表示不确定源对利率的影响程度，因此可以用表示风险的市场价格。最后，结论成立。,偏微分方程（PDE）：,经过风险价格的调整，,利率期限结构和固定收益证券定价,对一个固定收益证券而言，期末收益为X(T),则现在的价格为：通过对随机贴现因子的假设（在布朗运动下，是一个联合对数正态分布）以及期末收益的规定，就可以计算固定收益证券的价格。,利率期限结构模型,从理论上
7、分析,最一般化的模型是对随机贴现因子遵循的过程直接进行规定并在此基础上进行定价。这是一种非参数的研究方法，具体的有Backus and Zin(1994),Brandt and Yaron(2001),Lu and Wu(2000)等，但数量不多。但是，这种方法存在着缺陷。定价核的参数很难从债券收益率数据中进行判别。一般的做法都是通过对状态变量的参数模型设置进行分析和研究。主要有四种类型：仿射线形模型、二次高斯模型、非线性的随机波动率模型以及可违约的结构模型。本文主要分析前三种模型。,仿射（affine）线性模型,在风险中性世界中，,如果状态变量只有一个：利率本身,在这条件下，这就是单因子的一
8、般化CIR模型。如果放宽状态变量的数量，就可以变为多因子的CIR模型。如果 就变成Vasicek 模型。,通过对状态变量和风险价格的假设：,我们就可以将各种各样的线性期限机构模型包括进来。缺陷，由于 的符号不会发生变化，因此风险的价格不会随着时间的变化而变化。在某个状态下的风险价格也不会发生变化。这就在很大程度上限制了模型的适用性。因此，我们必须放宽对风险价格的假设，使之能够考虑风险价格的变化问题，同时保证在风险中性世界中，状态变量的飘移率还是一个线性关系，就可以直接利用有关线性关系的结论。,Duarte(2001),假设：在这条件下，风险价格就可以随着时间的变化而变化。同时，因此，虽然状态变
9、量在风险中性中是线性的，他在现实世界中的表现却可能是非线性的。这就大大的扩大了线性模型的适用范围。因为在计算金融衍生产品价格时，关系的风险中性世界，所以现实世界的线性和非线性与定价无关。这样我们就可以放宽飘移率的假设，使之能够考虑更多的利率期限结构模型，比如Ait and Sahalia(1996),等。在这些模型中，飘移率和利率水平之间是一种非线性关系。,（二）二次高斯模型,假设：,在这条件下，,状态变量在风险中性世界中是服从高斯过程。对现实世界中没有做出任何假设，因此，可以对它做出任何假设，只要能够保证状态变量在现实世界中是线性的。在Ahh,Dittmar and Gallant(2002
10、)中，假设在风险中性世界和现实世界中都是高斯过程。,当只有一个状态变量时，,利率满足方程：在满足有根的条件下，存在两个可能的解。如果我们根据市场上的利率水平对状态变量进行估计，就会可能产生两个解。因此，在二次高斯模型中，不存在状态变量和利率水平的一一对应。这就使得模型变得十分复杂。Constantinides(1992)是这种模型的一个特例。他假设风险因子互相独立，而且对风险价格的系数也进行了假定。,（三）非线性随机波动模型,假设：状态变量的波动率为非线性；风险的市场价格为非线性；状态变量的飘移率也是非线性。一个例子：Anderson and Lund(1997,1998),另一个简单例子：,
11、CIR(1980),Ahn and Gao(1999),非布朗运动下的利率期限结构模型,上面的分析都是建立在随机贴现因子以及状态变量的影响因子服从布朗运动的条件之上的，他没有考虑到其他的运动形式，比如说，由于政策变化而带来的因子的突然跳跃，这种变化不是布朗运动，而是服从一个泊松分布（poission distribution）。此外，我们应该还要考虑由于整个体制的变化而对参数造成的影响。因此，就在原有的布朗运动基础之上引入了存在跳跃行为的利率期限结构模型和体制变化的利率期限结构模型。,存在跳跃行为的利率期限结构模型,假设：代表跳跃风险的市场价格，代表现实世界中跳跃行为的条件均值,存在体制转换的
12、利率期限结构模型,假设：其中，代表体制转化的风险价格。因此，如果没有发生体制转换，则风险价格为0，而且，在两个体制中互相转换的风险价格的绝对数额应该相等。因此，如果存在S+1个可能体制，就有1/2S(S+1)体制转换的风险价格。,利率期限结构模型的实证检验,存在两个利率的实证结果，因此，一个有效的模型必须能够比较好的拟合这几个实证结果：1、利率期限结构的斜率，与未来的利率变化水平负相关，期限越长，这种负相关越明显（LPY）。2、利率的条件波动率随着时间变化，而且是高度持续的。而且不同期限的利率的无条件波动率是一种驼峰或者驼背形（HUMP）的，这一般发生在期限为2年或三年的利率水平上。（CVY）
13、,（一）LPY的实证方法：,第一种，直接对和之间的相关关系，比较好的模型能够得出向下的曲线。第二种：计算和之间的相关关系，得出的系数应该都等于，与期限无关。,实证结果：,结论：,CIR模型（上图中的（）无法有效的拟合LPT。线性高斯模型（上图中的（）的表现要超过平方根模型。对二次高斯模型而言，因为它属于高斯模型，所以也可以对LPY进行估计和拟合。体制转换模型也可以比较好的拟合。,（二）实证检验：,在单因子的线性模型或者二次模型中，条件波动率都是线性的，因此无法表现波动率的变化，应该用多因子模型进行分析。在多因子模型中，波动率的驼峰或者驼背可以通过状态变量之间的负相关或者状态变量与利率至今映射的
14、非线性关系获得。实证结果表明，两因子模型也是一个最合适的模型。而且，美国的数据表明，不同时期的波动率形状会发生差异，年之前是驼背状，年之后是驼峰状。这可能反映出投资者受政策的影响而对状态变量反映发生了变化。,美国的利率波动率和期限对应图,总结：,对利率期限结构模型，选择的标准是能够同时有效的预测LPY和CVY。对一般利率期限结构模型而言，在LPV和CVY之间存在着一个互相制约的问题。在大多数使用的利率其结构模型中，存在着LPY和CVP之间的互相权衡。复杂的利率期限结构模型，比如体制转换模型等，对提高LPV的拟合程度没有太大帮助，但是能够提高对CVY的拟合程度。这就证实了利率飘移率假设的放宽对模型本身没有太大影响，影响比较大的是波动率的结论。总的来说，同时包括布朗运动和其他运动形式的利率期限结构模型是今后模型的一个发展方向。在政府整体政策比较稳定的情况下，可以用跳跃性运动来表示整体性的影响因子，在政府决策经常发生变动的情况下，用体制转换模型来表示整体性的影响。,
