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1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.1 圆,1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）3.初步了解点与圆的位置关系.,学习目标,导入新课,观察与思考,观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.,骑车运动,看了此画,你有何想法?,思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？,车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）,情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？,讲授新课,甲,丙,乙,丁,为了使游戏
2、公平，,在目标周围围成一个圆排队，,因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.,r,O,A,圆的旋转定义,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.,有关概念,固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示,问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？,视频：画圆实际操作演示,一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小,同心圆,等圆,半径相同，圆心不同,圆心相同，半径不同,确定一个圆的要素,圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.,满足什么条件的？,有间隙吗？,圆也可以看成是由多个点组成的,到定
3、点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？,（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于（2）到定点的距离等于定长的点都在,圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合,O,A,C,E,r,r,r,r,r,D,定长r,同一个圆上,圆的集合定义,想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？,o,同圆半径相等.,（本页为FLASH动画，播放模式下点击）,例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.,证明：四边形ABCD是矩形，,AO=OC，OB=OD.,又AC=BD，OA=OB=OC=OD.,A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
4、,弦:,连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,O,A,B,O,A,B,探索：圆中最长的弦是什么？为什么？,【发现】直径是最长的弦,弧:,C,O,A,B,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,劣弧与优弧,C,O,A,B,半圆,等圆:,能够重合的两个圆叫做等圆.,容易看出：等圆是两个半径相等的圆.,等弧:,在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.,结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.,可见这两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同,“等弧”要区别于“长度相等的弧”,如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调
5、整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？,D,C,A,B,想一想：长度相等的弧是等弧吗？,例2 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.,弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.,（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.,答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是.,劣弧：,优弧：,1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”2.直径是圆中最长的弦.,附图解释：,连接OC,在AOC中，根据三角形三边关系有AO+OCAC,而AB=2OA,AO=OC,所以ABAC.,例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN
6、上，求证：OB=OC.,连OA,OD即可，同圆的半径相等.,10,？,x,2x,在RtABO中，,算一算：设在例3中，O的半径为10，则正方形ABCD的边长为.,x,x,x,x,变式：如图，在扇形MON中，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.,解：连结OA.,ABCD为正方形,DC=CO,设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x,又OA=OM=10,在RtABO中,1.填空：（1）_是圆中最长的弦，它是_的2倍（2）图中有 条直径，条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条,直径,半径,一,二,四,四,2.一点和
7、O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是.,7cm或3cm,当堂练习,3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(4)过圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长的弦；,(7)长度相等的弧是等弧.,5 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域,5m,圆,定义,旋转定义,要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径,集合定义,同圆半径相等,有关概念,弦（直径）,直径是圆中最长的弦,弧,半圆是特殊的弧,劣弧,半圆,优弧,同心圆,等圆,同圆,等弧,能够互相重合的两段弧
8、,课堂小结,24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径,1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）,学习目标,折一折：,你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,导入新课,讲授新课,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,（2）你是怎么得出结论的？,圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.,用折叠的方法,
9、说一说,问题：如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?,线段:AE=BE,O,A,B,D,E,C,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CD是直径，CDAB，,AE=BE,推导格式：,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,归纳总结,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形：,归纳总结,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命
10、题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,举例证明其中一种组合方法已知:求证：,CD是直径,CDAB，垂足为E,AE=BE,证明猜想,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？（2）,O,A,B,C,D,E,AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？,（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），,AEO=BEO=90，,CDAB.,证明举例,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且
11、平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,特别说明：圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.,解析：连接OA，OEAB，,AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.,解：连接OA，CEAB于D，,设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得,解得 x=5，,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2，,证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD,解决有关弦的问题
12、，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,归纳总结,试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.,AB=37m，CD=7.23m.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,=18.52+(R-7.23)2,AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则
13、弓形的高为_.,2cm或12cm,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,归纳总结,视频：垂径定理微课讲解,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.,5cm,2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.,3.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.,14cm或2cm,当
14、堂练习,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即 ACBD.,注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD
15、上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理，得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图
16、形及变式图形,课堂小结,24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.3 弧、弦、圆心角,1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）,学习目标,熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？,情境引入,导入新课,所以圆是中心对称图形,观察：1.将圆绕圆心旋转180后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？,讲授新课,2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？,圆是旋转对称图形，具有旋转不变性,观察在O中，这些角有什
17、么共同特点？,顶点在圆心上,A,B,M,1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如AOB.,3.圆心角 AOB所对的弦为AB.,任意给圆心角，对应出现三个量：,圆心角,弧,弦,概念学习,判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.,圆内角,圆外角,圆周角（后面会学到）,圆心角,在同圆中探究,C,O,A,B,如图，在等圆中，如果AOBCO D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？,O,C,D,在等圆中探究,在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等,AOB=COD,AB=CD,弧、弦与圆心角的关系定理,想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
18、也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？,不可以，如图.,在同圆或等圆中,题设,结论,在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等,弧、弦与圆心角关系定理的推论,在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等,抢答题,1.等弦所对的弧相等.（）,2.等弧所对的弦相等.（）,3.圆心角相等，所对的弦相等.(）,4.如图，AB 是O 的直径，BC=CD=DE，COD=35，AOE=,75,典例精析,证明：,AB=ACABC是等腰三角形.,又ACB=60，,ABC是等边三角形,AB=BC=CA.,AOBBOCAOC.,例2 如图，在O中，AB=AC
19、,ACB=60,求证：AOB=BOC=AOC.,温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.,填一填：如图，AB、CD是O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_,AB=CD,AB=CD,AOB=COD,AOB=COD,（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？,解：OE=OF.,理由如下：,D,60,当堂练习,A,4.如图，已知AB、CD为O的两条弦，求证:ABCD.,圆心角,弦、弧、圆心角的关系定理,在同圆或等圆中,概念：顶点在圆心的角,应用提醒,要注意前提条件；要灵活转化.,课堂小
20、结,24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.4 圆周角,学习目标,1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.,导入新课,问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?,A,BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.,复习引入,思考：图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位
21、置射门更有利？,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.,（2）,（1）,（3）,（5）,（6）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边AC没有和圆相交,如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.,测量与猜测,圆心O 在BAC的 内部,圆心O在BAC的一边上,圆心O在BAC的外部,推导与论证,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）,OA=OC,A=C,BOC=A+C,圆心O
22、在BAC的内部,圆心O在BAC的外部,圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；,要点归纳,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,互动探究,BAC=BDC,相等,问题2 如图，若 A与B相等吗？,相等,想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？,(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？,同弧或等弧所对的圆周角相等.,知识要点,试一试：1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.,(1)BOC=，理由是;(2)BDC=，理由是.,70,35,同
23、弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,(1)完成下列填空：1=.2=.3=.5=.,2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.,4,8,6,7,想一想,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？,解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形.,OAC=OCA，OBC=OCB.,又 OAC+OBC+ACB=180.,ACB=OCA+OCB=1802=90.,圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.,知识要点,典例精析,例
24、1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.,解：AB是O的直径，ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）,ABC=180-A-ACB=180-90-80=10.,例2 如图，分别求出图中x的大小.,60,x,30,20,x,解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.,A,D,B,E,C,(2)连接BF，,F,同弧所对圆周角相等，,ABF=D=20，FBC=E=30.,x=ABF+FBC=50.,例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；,（2）若ADC的平分线交O于B,求AB、BC的长,B,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，,(2)AC是直径,ABC
25、=90.BD平分ADC,ADB=CDB.又ACB=ADB,BAC=BDC.BAC=ACB,AB=BC.,如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75,解析：BD是O的直径，BCD90.CBD30，D60，AD60.故选C.,方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,练一练,C,例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,ACD=60,ADC=70.求APC的度数.,解:连接BC,则ACB=90,DCBACBACD9060=30.,又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100.,如果一个多边形所有顶点都在同一
26、个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.,探究性质,猜想：A与C,B与D之间的关系为：,A+C=180，B+D=180,想一想：如何证明你的猜想呢？,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,证明猜想,归纳总结,推论：圆的内接四边形的对角互补.,C,O,D,B,A,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,E,延长BC到点E，有,BCDDCE180.,ADCE.,想一想,图中A与DCE的大小有何关系？,归纳总结,推论：圆的内接四边形的
27、任何一个外角都等于它的内对角.,C,O,D,B,A,E,1四边形ABCD是O的内接四边形，且A=110，B=80，则C=，D=.2O的内接四边形ABCD中，ABC=123，则D=.,70,100,90,练一练,例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G.求证：FGDADC.,证明：四边形ACDG内接于O，FGDACD.又AB为O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.,方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60,解析：BOD1
28、20，A60，C18060120，故选A.,练一练,A,解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，,例6 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.,四边形ABCD内接于圆，,A+C=B+D=180，,2x+6x=180，,x=22.5.,A=45，B=67.5，C=135，D=180-67.5=112.5.,1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）,当堂训练,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,ABC=47,则AOB=,166,3.如图，已知BD是O的直径，O的弦A
29、CBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60,A,【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.,4.如图，四边形ABCD内接于O,如果BOD=130,则BCD的度数是（）A 115 B 130 C 65 D 505.如图，等边三角形ABC内接于O，P是AB上的一点，则APB=.,C,120,6.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角ACB=，ADB=.,130,50,7.如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30，AB2，则O的半径是.,解：连接OA、OB,C=30，AOB=60,
30、又OA=OB，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2，即半径为2.,2,ACB=2BAC,证明：,8.如图，OA，OB，OC都是O的半径，AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC，,9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？,解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外），与两个灯塔的夹角小于“危险角”.,拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交A
31、C于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，BD=CD.,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.,解:BD=CD.理由是:连接AD,圆心角,类比,圆周角,圆周角定义,圆周角定理,课堂小结,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.,1.90的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形的对角互补.,1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）,圆周角与直线的关系,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等
32、于90（直角）.,24.2 点和圆、直线和圆的位置关系,24.2.1 点和圆的位置关系,第二十四章 圆,1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.,学习目标,导入新课,你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？,情境引入,问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？,.,C,.,.,.,.B,.,.A,.,点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.,问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不
33、同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？,点P在O内,点P在O上,点P在O外,d,d,d,r,P,d,d,P,r,d,r,r,=,r,反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？,1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在；点B在；点C在.,练一练：,圆内,圆上,圆外,2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外,D,数形结合：,位置关系,数量关系,例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.,（1）以A为圆心，4为半径作
34、A，则点B、C、D与A的位置关系如何？,解：AD=4=r，故D点在A上 AB=3r，故C点在A外,（2）若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求A的半径r的取值范围？（直接写出答案）,3r5,变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.,问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？,合作探究,以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.,A,问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？,A,B,作线段AB的垂直平分线
35、，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.,问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？,o,经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.,经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.,经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.,定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.,o,归纳总结,已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：O,使它经过点A、B、C.,作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆。所以O就是所求作的圆.,O,N,
36、M,F,E,A,B,C,练一练,问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法:1、在圆弧上任取三点A、B、C;2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.O即为所求.,A,B,C,O,某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？,B,A,C,针对训练,试一试：已知ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.,O,1.外接圆O叫做ABC的_，ABC叫做O的_.,到三角形三个顶点的距离相
37、等.,2.三角形的外心：定义：,O,外接圆,内接三角形,三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.,作图：,三角形三边中垂线的交点.,性质：,要点归纳,判一判：下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等(),画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
38、；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.,要点归纳,例2：如图，将AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，ABO60，若AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)(1)求DAO的度数；(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积,解：(1)ADOABO60，DOA90，DAO30；,典例精析,(2)求点A的坐标和AOB外接圆的面积,(2)点D的坐标是(0，3)，OD3.在直角AOD中，OAODtanADO，AD2OD6，点A的坐标是(，0)AOD90，AD是圆的直径，AOB外接圆的面积是9.,方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度,例3
39、 如图，在ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距离是5cm，求ABC的外接圆的半径,解：连接OB，过点O作ODBC.,D,则OD5cm，,在RtOBD中,即ABC的外接圆的半径为13cm.,思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？,l1,l2,如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1l，l2l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆,先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(
40、常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法,假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.,已知：ABC求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设，则。，即.这与矛盾假设不成立,ABC中没有一个内角小于或等于60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为180度,ABC中至少有一个内角小于或等于60.,A+B+C60+60+60=180,1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?,A,
41、B,C,O,当堂练习,2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A；点C在A；点D在A.,上,外,上,3.O的半径r为5，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与O的位置关系为（）A.在O内 B.在O上 C.在O外 D.在O上或O外,B,4.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）,5.已知：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=.,5,6.如图，ABC内接于O，若OAB20，则C的度数是_,70,7.如图
42、，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）,A点P B点Q C点R D点M,B,8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A第块 B第块 C第块 D第块,D,2cm,3cm,9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.,O,10.如图，已知 RtABC 中，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.,解：设RtABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.O是斜边AB 的中点.C=900，AC=12cm，BC=5cm
43、.AB=13cm，OA=6.5cm.故RtABC 的外接圆半径为6.5cm.,能力拓展：一个812米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个?怎样安装?请说明理由.,点与圆的位置关系,位置关系数量化,作圆,过一点可以作无数个圆,过两点可以作无数个圆,定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆,一个三角形的外接圆是唯一的.,注意：同一直线上的三个点不能作圆,课堂小结,24.2.2 直线和圆的位置关系,第1课时 直线和圆的位置关系,1.了解直线和圆的位置关系.2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆 的半径
44、r之间的数量关系.(重点）4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计 算.(难点）,学习目标,点和圆的位置关系有几种？,dr,d=r,dr,用数量关系如何来判断呢？,点在圆内,点在圆上,点在圆外,(令OP=d),导入新课,问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？,讲授新课,问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？,l,0,2,2个,交点,1个,切点,切线,0个,相离,相切,相交,位置关系,公共点
45、个数,填一填：,直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.,要点归纳,1.直线与圆最多有两个公共点.2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.3.若A是O上一点，则直线AB与O相切.4.若C为O外一点，则过点C的直线与O相交或相离.5.直线a 和O有公共点，则直线a与O相交.,判一判：,问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？,问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？,O,d,直线和圆相交,d r,直线和
46、圆相切,d=r,直线和圆相离,d r,数形结合：,位置关系,数量关系,（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）,o,o,o,公共点个数,要点归纳,相交,相切,相离,d 5cm,d=5cm,0cmd 5cm,2,1,0,练一练：,例1 在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm,分析：要了解AB与C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系已知r，只需求出C到AB的距离d.,典例精析,解：过C作CDAB，垂足为D.,在ABC中，,AB=,5.,根据三角形的
47、面积公式有,即圆心C到AB的距离d=2.4cm.,所以(1)当r=2cm时,有d r,因此C和AB相离.,d,记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.,（2）当r=2.4cm时,有d=r.,因此C和AB相切.,d,（3）当r=3cm时，有dr，,因此，C和AB相交.,d,A,B,C,A,D,4,5,3,变式题:1.RtABC,C=90AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？,当0cmr2.4cm或r4cm时,C与线段AB没有公共点.,2.RtABC,C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公
48、共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？,A,B,C,A,D,4,5,3,当r=2.4cm或3cmr4cm时,C与线段AB有一个公共点.,当2.4cmr3cm 时,C与线段AB有两公共点.,例2 如图，RtABC的斜边AB=10cm,A=30.,(1)以点C为圆心，当半径为多少时，AB与C相切？,(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？,解：(1)过点C作边AB上的高CD.,A=30，AB=10cm,在RtBCD中，有,当半径为 时，AB与C相切.,当堂练习,.O,.O,.O,.O,.O,1.看图判断直线l与O的位置关系？,(
49、1),(2),(3),(4),(5),相离,相交,相切,相交,?,注意：直线是可以无限延伸的,相交,2直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r 5 C.r=5 D.r 53.O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与O.4.O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与O的位置关系是（）A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切或相离 D.上三种情况都有可能,B,相离,A,解析：过点A作AQMN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQNQ，所以AQ2，ANr，NQ4r，利用勾股定理可以求出NQ1.5，所以N点坐标为(1，2)故选A.,5
50、.如图，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交A于M、N两点若点M的坐标是(4，2)，则点N的坐标为()A(1，2)B(1，2)C(1.5，2)D(1.5，2),A,拓展提升：已知O的半径r=7cm,直线l1/l2,且l1与O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.,解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2 cm,（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16 cm,课堂小结,直线与圆的位置关系,定义,性质,判定,相离,相切,相交,公共点的个数,d与r的数量关系,定义法,性质法,特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段,相离:0个相切：1个相交：2个,相
