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1、2023/3/17,22.2二次函数与一元二次方程,知识点一二次函数与一元二次方程的关系,1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标为x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.,2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根.上述关系如下表所示:,例1已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3,求:(1)k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;(2)k为何值时,抛物
2、线与x轴有唯一交点;(3)k为何值时,抛物线与x轴没有交点.,解析=(4k)2-42(k+1)(2k-3)=16k2-8(2k2-k-3)=8k+24.(1)当8k+240,且2(k+1)0,即k-3且k-1时,抛物线与x轴有两个交点.(2)当8k+24=0,且2(k+1)0,即k=-3时,抛物线与x轴有唯一交点.(3)当8k+240,且2(k+1)0,即k-3时,抛物线与x轴没有交点.点拨根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围,其方法是根据抛物线与x轴的交点个数,列出关于字母系数的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求解.,知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等
3、式,例2(2018江苏苏州太仓期中)如图22-2-1是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是.图22-2-1,解析二次函数图象与x轴的一个交点坐标是(5,0),对称轴是x=2,则与x轴的另一个交点的坐标是(-1,0).由图象看出,当x5时,图象在x轴下方,即不等式ax2+bx+c5.,答案x5温馨提示利用函数图象解不等式,当函数值y0时,图象上的点在x轴的上方;当函数值y0时,图象上的点在x轴的下方.,知识点三利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的近似解我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差,由图象求得
4、的解一般是近似的.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下:(1)作出二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象,由图象确定与x轴交点的个数,即方程解的个数;(2)观察图象与x轴的交点在哪两个数之间,即确定交点的横坐标的取值范围;(3)在两个数之间取值估计,并用计算器估算近似解.近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2,对应的y值出现y10,y20(或y10y2)时,则x1,x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|,若|y1|y2|,则x1是,方程的近似解;若|y1|y2|,则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的常用方法如下表:,
5、例3(2017安徽阜阳太和一中月考)已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在如图22-2-2所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;,(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).图22-2-2,解析(1)填表如下:,所画图象如图22-2-3:图22-2-3(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3-2之间和01之间.,题型一利用函数图象解不等式,解析(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,其图象的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(2)函数图象如图22-2-5:图22-2-5(3)由图象可知,
6、不等式x2-4x+30的解集为x3.,点拨不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)(a0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围.,题型二利用函数图象解一元二次方程,例2(2017江苏盐城东台期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象(如图22-2-6所示),且其图象的对称轴为x=-1,则由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=()图22-2-6A.-1.3B.-2.3C.-3.3D.-4.3,解析二次函数图象的对称轴为x=-1,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两
7、个根分别是x1,x2,=-1,又x1=1.3,=-1,解得x2=-3.3,故选C.,答案C点拨本题主要考查一元二次方程与二次函数的关系,二次函数的图象与x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的根,两者可相互转化,要充分运用这一点解题.,题型三二次函数与一元二次方程的综合应用,例3(2018河南洛阳洛龙期中)已知关于x的一元二次方程:x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,二次函数y=x2-(t-1)x+t-2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.,解析(1)证明:在方程x2-(t-1)x+t-2=0中,=-(t-1)2-41
8、(t-2)=t2-6t+9=(t-3)20,对于任意实数t,方程都有实数根.(2)令y=0,得到x2-(t-1)x+t-2=0,设方程的两根分别为m、n,由题意可知,方程的两个根互为相反数,m+n=t-1=0,解得t=1.当t=1时,方程的两个根互为相反数.,方法技巧在解决抛物线与x轴的交点问题时,常运用根与系数的关系将交点坐标与函数的系数联系起来.,易错点忽略隐含条件、考虑问题不周全有些函数解析式中含有字母参数,要求我们能够根据所提供的情况确定字母参数的取值范围,我们常因忽略隐含条件、考虑问题不周全而导致错误.,例若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k3B.
9、k3且k0C.k3D.k3且k0,解析当k=0时,函数y=-6x+3,此一次函数的图象与x轴有一个交点;当k0时,此函数为二次函数,当=36-12k0(k0),即k3且k0时,此二次函数图象与x轴有交点.综上所述,当k3时,函数图象与x轴有交点,故选C.,答案C,易错警示不要受思维定势的影响,认为所给函数一定是二次函数,因为题中没有明确函数是一次函数还是二次函数,所以要分k=0和k0两种情况进行讨论.,知识点一二次函数与一元二次方程的关系,1.(2017天津滨海新区期中)抛物线y=x2+6x+m与x轴有两个交点,其中一个交点的坐标为(-1,0),那么另一个交点的坐标为()A.(1,0)B.(-
10、5,0)C.(-2,0)D.(-4,0),答案B抛物线y=x2+6x+m与x轴的一个交点坐标是(-1,0),1-6+m=0,解得m=5,抛物线的解析式为y=x2+6x+5.令y=0,得x2+6x+5=0,解得x1=-1,x2=-5,另一个交点的坐标是(-5,0).故选B.,2.(2017安徽蚌埠实验学校月考)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为()A.0B.1C.2D.以上都不对,答案C当抛物线与x轴相交时,函数值为0,即0=-x2+2kx+2,=b2-4ac=4k2+80,方程有两个不相等的实数根,抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为2,故选C.,3.(2017江苏苏州张
11、家港一模)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为:x1=1,x2=-5,则二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=3C.直线x=-2D.y轴,答案C关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-5,二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为1和-5,对称轴为x=-2.故选C.,4.(2016江苏泰州姜堰四中月考)二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.,答案k3且k0,解析令y=0,则kx2-6x+3=0,二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点,=(-6)2-12k0且k0,
12、解得k3且k0.,知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等式,5.(2017黑龙江牡丹江中考)若将图22-2-1中的抛物线y=x2-2x+c向上平移,使它经过点(2,0),则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是.图22-2-1,答案0 x2,解析二次函数的解析式为y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,将抛物线向上平移,对称轴不变,平移后的抛物线过(2,0)这个点,其对称轴为x=1,其与x轴的另一个交点坐标为(0,0).抛物线开口向上,平移后的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围为0 x2.,6.(2018福建龙岩上杭月考)已知抛物线y=x2-x-1交x轴于点A,
13、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求出点A,B,C的坐标;(要写出求解的过程哦)(2)请你利用大致图象直接写出当y0时x的取值范围.,知识点三利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的近似解,7.(2017甘肃兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:,那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3,答案C由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2,故选C.,8.(2018辽宁抚顺新宾期中)根据表格中的对应值,判断ax2+bx+c
14、=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是.,答案3.24x3.25,解析当x=3.24时,y=-0.020,方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是3.24x3.25.,1.(2016山东滨州中考)抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.3,答案C因为=b2-4ac=(-2)2-421=0,所以抛物线与x轴有一个交点,因为c=1,所以抛物线与y轴相交于(0,1),故抛物线与坐标轴有2个交点,故选C.,2.(2017青海西宁城北月考)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a0)与一次函数y2=kx+m(k0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2
15、),如图所示,能使y1y2成立的x的取值范围是()A.x8 D.x8,答案D由图象看出当x8时,二次函数y1=ax2+bx+c(a0)的图象在一次函数y2=kx+m(k0)的图象的上方,能使y1y2成立的x的取值范围是x8.,3.(2017新疆乌鲁木齐天山自主招生)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为.,答案4,解析设抛物线y=ax2+bx+c(a0)和x轴交点横坐标为x1和x2,其对称轴为x=(x1+x2)=2,x1+x2=4,即方程ax2+bx+c=0的两根之和为4.,4.(2017重庆沙坪坝期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,自
16、变量x与函数值y的部分对应值如下表:,则当y0时,x的取值范围是.,答案-1x3,解析由题表可得x=0和x=2时,y=3,则此二次函数图象的对称轴为直线x=1.易知当x=-1,以及x=3时,y=0,且图象开口向下,故当y0时,x的取值范围是-1x3.,5.(2018安徽安庆桐城月考)若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m的取值范围是.,答案m,解析二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,m+50,-5,4(m+1)2-4(m+5)m.,1.(2017江苏苏州中考)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程
17、a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=0,答案A二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),对称轴是y轴,二次函数y=ax2+1的图象与x轴的另一个交点为(2,0).将二次函数y=ax2+1的图象向右平移2个单位长度可得到二次函数y=a(x-2)2+1的图象,二次函数y=a(x-2)2+1的图象与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(4,0),方程a(x-2)2+1=0的实数根分别为x1=0,x2=4.故选A.,2.(2015四川泸州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a0成立的x的取值范围是()A.x2
18、B.-4x2C.x-4或x2D.-4x2,答案D二次函数y=ax2+bx+c(a0成立的x的取值范围是-4x2,故选D.,3.(2015浙江宁波中考)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上方,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2,答案A抛物线y=a(x-4)2-4(a0)的对称轴为直线x=4,抛物线在6x7这一段位于x轴的上方,抛物线在1x2这一段位于x轴的上方.又抛物线在2x3这一段位于x轴的下方,抛物线过点(2,0),把(2,0)代入y=a(x-4)2-4(a0)得4a-4=0,解得a=1.故选A.,4.已知二次函数y=(
19、x-1)2-t2(t0),方程(x-1)2-t2-1=0的两根分别为m,n(mn),方程(x-1)2-t2-2=0的两根分别为p,q(pq),则m,n,p,q的大小关系是(用“”连接).,答案pmnq,解析二次函数y=(x-1)2-t2(t0)的图象如图:根据图象易知pmnq.,5.(2017湖北武汉中考)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.,答案a或-3a-2,解析y=ax2+(a2-1)x-a=(ax-1)(x+a),当y=0时,x1=,x2=-a,抛物线与x轴的交点坐标为和(-a,0).抛物线与x轴的一个
20、交点的坐标为(m,0)且20时,23,解得a;当a0时,2-a3,解得-3a-2.,1.(2018福建龙岩上杭期中)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k4且k3B.k4且k3C.k4 D.k4,答案D当k-3=0,即k=3时,此函数为一次函数,它的图象与x轴有交点;当k-30,即k3时,此函数为二次函数,若它的图象与x轴有交点,则=22-4(k-3)10,解得k4.综上,k的取值范围是k4.故选D.,2.若抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),则(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2
21、019)=.,答案2 019,解析抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),m2-2 018m+2 019=0,n2-2 018n+2 019=0,m+n=2 018,mn=2 019,(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=-m(-n)=mn=2 019.,3.(2017江苏苏州吴中一模)如图,二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,则四边形OCDA的面积的最大值是.,答案8,解析在y=-x2-x+2中,当x=0时,y=2,C(0,2),当y=
22、0时,有-x2-x+2=0,解得x=-4或x=1,点A(-4,0)、B(1,0),点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,D,过点D作DHx轴于点H,则DH=-m2-m+2,AH=m+4,HO=-m,S四边形OCDA=SADH+S四边形OCDH,S=(m+4)+(-m)=-m2-4m+4=-(m+2)2+8(-4m0),则m=-2时,S取得最大值,最大值为8.,4.如图,抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是.,答案(+1,+1),解析抛物线y=ax2-x-与
23、x轴正半轴交于点A(3,0),9a-3-=0.解得a=.以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,点B的坐标为(3,3),点D的纵坐标为3,将y=3代入y=x2-x-得,3=x2-x-.解得x1=1+,x2=1-(舍去).点D的坐标为(1+,3).BD=1+-3=-2.DE=-2.点E的纵坐标为-2+3=+1,横坐标为+1.点E的坐标为(+1,+1).,一、选择题1.(2018安徽亳州利辛月考,6,)抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点有()A.3个B.2个C.1个D.0个,答案B=(-2)2-411=0,抛物线与x轴有1个交点.易知抛物线与y轴有1个交点,与坐标轴的交点
24、共有2个.,答案A函数的顶点的纵坐标为3,直线y=3与函数图象只有一个交点.y=ax2+bx+c-2,也就是将函数y=ax2+bx+c的图象向下平移2个单位,则函数y=ax2+bx+c-2的图象与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c-2=0的根为两个不相等的实数根.由题图知y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标大于0,易知其图象向下平移2个单位后与x轴的交点的横坐标仍大于0,故选A.,二、填空题3.(2017天津南开期中,16,)如图22-2-3,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点是A(1,0),对称轴为直线x=-1,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解是.图22-
25、2-3,答案x1=1,x2=-3,解析抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0),对称轴为直线x=-1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(-3,0),一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解是x1=1,x2=-3.,1.(2017天津南开期中,11,)已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k-B.k-且k0C.k-D.k-且k0,答案B二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,=b2-4ac=25+20k0,且k0,解得k-,且k0.故选B.,2.(2017江苏泰州兴化顾庄学区期中,5,)根据下列表格的对应值:,判断方
26、程ax2+bx+c=0(a0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是()A.3.00 x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.26,答案C由题中表格知,当x=3.24时,y=-0.02;当x=3.25时,y=0.03,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24x3.25.故选C.,3.(2018湖北黄石下陆月考,14,)若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点,则整数k的最小值是.,答案2,解析由题意得-(2k+1)2-4(k2+2)0,解得k,故整数k的最小值是2.,一、选择题1.(2017江苏徐州中考,8,)若函数y=x2-2x+b的
27、图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1D.b1,答案A函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,解得b1且b0.故选A.,2.(2016江苏宿迁中考,8,)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1,答案C二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1,易得抛物线的对称轴为直线x=1,二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),方程ax
28、2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.,二、填空题3.(2017山东青岛中考,11,)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.,答案m9,解析抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,(-6)2-4m9.,三、解答题4.(2014广东佛山中考,23,)利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的根(精确到0.1).(8分),解析方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图象与x轴交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图象(如图).由图象可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.先求-1和0之间的根.当x=-0.4时,y=-0
29、.04;当x=-0.5时,y=0.25.因此,x=-0.4是方程的一个近似根.同理,x=2.4是方程的另一个近似根.,1.(2017辽宁朝阳中考,9,)若函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为()A.-2或3B.-2或-3C.1或-2或3D.1或-2或-3,答案C当m=1时,函数解析式为y=-6x+,是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点;当m1时,函数为二次函数,函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,(-6)2-4(m-1)m=0,解得m=-2或3,故选C.,2.(2014辽宁盘锦中考,8,)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与
30、x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或2,答案D分三种情况:点M的纵坐标小于1,即点M在直线y=1下方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是2;点M的纵坐标等于1,即点M在直线y=1上,则方程x2+bx+c=1的解的个数是1;点M的纵坐标大于1,即点M在直线y=1上方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0,1或2.故选D.,3.(2015甘肃兰州中考,14,)二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x10时,m
31、x2C.当n0时,mx1,答案C由已知得,函数图象开口向上,对称轴在y轴左侧,画出草图(如图),当n0时,mx2;当n0时,x1mx2.故选C.,4.(2017湖北咸宁中考,12,)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是.,答案x4,解析观察函数图象可知:当x4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式mx+nax2+bx+c的解集为x4.,5.(2015浙江宁波中考,23,)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两
32、个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.求该抛物线的函数解析式;把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?,1.坐标平面上,若移动二次函数y=-(x-2 019)(x-2 020)+2的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则移动方式可为()A.向上平移2个单位B.向下平移2个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位,答案B将二次函数y=-(x-2 019)(x-2 020)+2的图象向下平移2个单位,得y=-(x-2 019)(x-2 020)的图象,此时函数的图象与x轴的两交点为(2 019,0),(2 020,0),此两点的距离为
33、1.故选B.,2.(2015四川资阳中考)已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C,我们称以A为顶点且过点C,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.,答案y=x2-2x-3,解析抛物线y=x2+2x+1=(x+1)2,其顶点坐标为A(-1,0),当x2+2x+1=2x+2时,解得x1=-1,x2=1,把x2=1代入y=2x+2,得y=4,C(1,4),又点C与点C
34、关于x轴对称,C(1,-4),即原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,-4),设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,把A(-1,0)代入,得0=4a-4,解得a=1,y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.,3.(2016河南信阳新县一中模拟)如图22-2-4,已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为E,把这条抛物线向上平移,使得抛物线的顶点落在x轴上,那么两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图中阴影部分)为.图22-2-4,答案2,解析如图,连接EC、DF.y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与
35、y轴交于点C,顶点为E,点C的坐标为(0,3),点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),顶点E的坐标为(2,-1).抛物线向上平移,顶点落在x轴上,向上平移了1个单位,点F的坐标为(2,0),S阴=12=2.,1.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,a,b,c称为“抛物线三角形系数”,若抛物线三角形系数为-1,b,0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,则b的值为()A.2B.3C.2D.3,答案A抛物线三角形系数为-1,b,0,抛物线的解析式为y=-x2+bx=-+,顶点坐标为,令y=0,则-x2+bx=0,解得x1=0,x2=b,与x轴的交点坐标为(0,0),(b,0),“抛物线三角形”是等腰直角三角形,=|b|,b2=2b或b2=-2b,b=0或b=2或b=-2.当b=0时,抛物线与x轴只有一个交点(0,0),b=0不符合题意,b=2或b=-2,故选A.,
