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1、,知识梳理,1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质,相等,焦点,准线,知识梳理1.抛物线的概念相等焦点准线标准方程y22px(p,图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标,离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx,【知识拓展】,3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,【知识拓展】3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F,(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通
2、径是过焦点最短的弦.,(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.,(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(),题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()题组一,(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.(),1,2,3,4,5,6,(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直
3、线与抛物线一定相切.(,1,2,4,5,6,答案,解析,3,题组二教材改编2.P64A组T3过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6,解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.,12456答案解析3题组二教材改编解析抛物线y24x,1,2,4,5,6,答案,解析,3.P59T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,3,解析设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p
4、0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,y28x或x2y,12456答案解析3.P59T1已知抛物线的顶点是原点，,解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.,题组三易错自纠4.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4 B.6C.8 D.12,解析,1,2,4,5,6,3,答案,解析如图所示，题组三易错自纠解析124563答案,5.已知抛物线C与双曲线
5、x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是,解析,1,2,4,5,6,答案,3,5.已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在,6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,1 ，1,几何画板展示,解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.,6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l,题型分类深度剖
6、析,题型分类深度剖析,典例 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.,题型一抛物线的定义及应用,师生共研,答案,解析,4,几何画板展示,解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.,典例 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则,1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.,解答,几何画板展示,解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，,1.若将本例中的
7、B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.,与抛物线有关的最值问题，一般情
8、况下都与抛物线的定义有关.“看,跟踪训练 设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.,答案,解析,解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，,由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，,几何画板展示,跟踪训练 设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(,解析,答案,题型二抛物线的标准方程和几何性质,多维探究,命题点1求抛物线的标准方程典例 (2017深圳模拟
9、)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为,解析答案题型二抛物线的标准方程和几何性质多维探究命题点1,解析分别过点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F为线段AC的中点.,故抛物线的方程为y23x.,解析分别过点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分别为A,命题点2抛物线的几何性质典例 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F
10、，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：,证明,命题点2抛物线的几何性质证明,所以直线与抛物线必有两交点.则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.,所以直线与抛物线必有两交点.,证明,证明,证明,(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,证明设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,证明(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设AB的,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类
11、型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦,跟踪训练 (1)(2017广西三市调研)若抛物线y22px(p0)上的点A(x0， )到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于,答案,解析,0，p2.故选D.,跟踪训练 (1)(2017广西三市调研)若抛物线y22p,(2)(2017郑州二模)过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA| |AB|，则点A到抛物线C的焦
12、点的距离为,解析,答案,解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为点D，E.|PA| |AB|，,(2)(2017郑州二模)过点P(2,0)的直线与抛物线,命题点1直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若 0，则k_.,解析,题型三直线与抛物线的综合问题,多维探究,答案,2,命题点1直线与抛物线的交点问题解析题型三直线与抛物线的综,解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，则抛物线C与直线必有两个交
13、点.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，,y1y2k2x1x22(x1x2)416.,(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.,解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016全国)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；,证明,几何画板展示,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题证明几何画板展示,记过A，B两点的直
14、线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，,所以ARFQ.,记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)ya,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解答,几何画板展示,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨,解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，,所以x11，x10(舍去).设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，,解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，所,当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足
15、方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.,当AB与x轴垂直时，E与D重合，,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类,跟踪训练 (2018届武汉调研)已知
16、抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；,解答,跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C：x22py(,解可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.,则有p2.,解可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2,(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.,解答,(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解答,又N在yAN和yBN上，
17、,又N在yAN和yBN上，,N(pk，1).,故抛物线C的方程为x24y.,N(pk，1).故抛物线C的方程为x24y.,典例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,直线与圆锥曲线问题的求解策略,答题模板,规范解答,答题模板,思维点拨,典例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为
18、F,规范解答,消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0，,规范解答消去y得mx22x20，,平面解析几何抛物线课件,存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. 12分,存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.,答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过 曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式， 求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,答题模板,课时作业,课时作业,1.点M(5,3)到抛
19、物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1.点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,A.3 B.4 C.6 D.7,解析由已知B为AF的三等分点，作BHl于H，如图，,答案12345678910111213141516解析A.3,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,3.(2017皖北协作区联考)已知抛物线C：x22py(
20、p0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为 ，则抛物线C的方程为A.x28y B.x24yC.x22y D.x2y,即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，,故抛物线C的方程为x22y.,答案12345678910111213141516解析3.(,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2017赣州二模)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为A.1 B.2C.3 D.4,解析答案123456789101112131415164.(,1,2,
21、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析不妨设A(x0，y0)在第一象限，,2，故选B.,12345678910111213141516解析不妨设A,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018届新余市第一中学模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，则动点P的轨迹方程为A.y24x B.y28xC.x24y D.x28y,解析动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,
22、2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y，故选D.,解析答案123456789101112131415165.(,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x,解析答案12345678910111213141516A.x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，,消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，,即抛物线C的
23、方程为y28x.,12345678910111213141516解析由题意，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,7.(2017河北六校模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_.,y216x,解析设满足题意的圆的圆心为M(xM，yM).根据题意可知圆心M在抛物线上.又圆的面积为36，,抛物线方程为y216x.,解析答案12345678910111213141516解析7,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
24、,15,16,解析,8.已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线 y21的右焦点重合，若A为抛物线上x轴上方一点，且|AF|3，则直线AF的斜率等于_.,抛物线方程为y28x，p4.|AF|3，xA23，xA1，,答案12345678910111213141516解析8.已,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,9.(2017江西九校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.,解析12345678910111213141516答案9.(,解析,1,2,3,4,5,6,
25、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,10.(2017全国)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.,6,解析12345678910111213141516答案10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，,又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|
26、3，故|FN|2|MF|6.,12345678910111213141516解析如图，不,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018郑州模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；,与y22px联立，从而有4x25pxp20.,由题易知，方程必有两个不等实根.,所以p4，从而抛物线方程为y28x.,解答1234567891011121314151611.(2,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
27、14,15,16,解由于p4，则4x25pxp20，即x25x40，从而x11，x24，,整理得(21)241，解得0或2.,解答12345678910111213141516解由于p,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；,所以抛物线C的方程为y2x，,解答12345678910111213141516(1)求抛,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求证：A为线段BM的中点.,证明12345678910111213141516(2)求证,1,2
28、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明由题意知，直线l的斜率必存在.,l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).,因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).,12345678910111213141516证明由题意知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故A为线段BM的中点.,12345678910111213141516故A为线段BM,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,技能提升练1234567
29、8910111213141516解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则82px0，则px04， ,又|MA|ME|r，在RtMDE中，|DE|2|DM|2|ME|2，,12345678910111213141516则82px0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由，解得x02，p2(舍负)，,12345678910111213141516由，解得x,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,14.过点(0,3)的直线与抛物线y24x交于A，B两点，线段AB
30、的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则|AF|BF|的值为_.,6,解析12345678910111213141516答案14.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设AB的中点为H，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，设A，B，H在准线上的射影为A，B，H，,由抛物线的定义可得，|AF|AA|，|BF|BB|，|AF|BF|AA|BB|2|HH|.由题意知直线的斜率必存在，设为ykx3，与y24x联立得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，,12345678910111213141516解析设AB的,1,2,3,4
31、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则H(2，1)，|HH|213，则|AF|BF|AA|BB|2|HH|6.,12345678910111213141516则H(2，1,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,14,拓展冲刺练12345678910111213141516解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即为半圆M：(x8)2y249(y0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y24x的两个交点，由y24x与(x8)2y249(y0)联立方程组得x212x1
32、50，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2).所以|AB|AC|x11x2112214.,12345678910111213141516即为半圆M：(,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,16.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.,(2,4),12345678910111213141516解析答案16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,(y1y2)(y1y2)4(x1x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1x2，,又y1y22y0，所以y0k2.,12345678910111213141516解析如图，设,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上.将x3代入y24x，,所以4r216，即2r4.,12345678910111213141516即y0k5,
