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1、,5.3 三次样条插值,第5章 插值与逼近,多项式Lagrange插值:整体性强,光滑性好(无穷阶连续),但不一定收敛;,分段Lagrange多项式插值:局部性好,光滑性差(C0连续),收敛性保证;,分段 Hermite多项式插值:局部性好,满足一定光滑性,收敛性保证,但需要导数值信息;,插值:局部性好,满足一定光滑性,收敛性保证,只需要函数值信息。,样条插值：,（样条函数满足一定光滑性的分段多项式）。,?,?,?,以x1,x2,xn为节点的m次样条函数的全体记为：,（1）在每个区间(-，x1，xj,xj+1，(j=1,2,n-1)和,样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲,xn,
2、+)上，s(x)是一个次数不超过m的实系数代数多项式；,（2）s(x)在对区间(-，+)上具有直至m-1阶的连续导数，,则称y=s(x)为对应于分割的m次样条函数，,x1,x2,xn 称为,Sm(x1,x2,xn),定义5.3 对区间(-，+)的一个分割：,若分段函数s(x)满足条件：,线拟合等方面有着广泛的应用。,样条节点，,m=1时，样条函数是分段线性函数；,m=2时，是1阶连续可微的分段二次多项式；,显然,m次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。,问题:如何判断一个分段的多项式函数是样条函数?,设,光滑因子,即有,由m次样条函数的定义，可知,令,可知,即，xj是q(x)的 m重
3、零点，从而有,进一步可得，,s(x)是m次样条的充要条件应为,对于满足上述性质的如下形式的分段m次多项式s(x)，,易见,Cm-1(-,+)类的分段m次多项式。,为了便于表示分段信息,引进截断多项式：,(5-30),m次截断多项式,Cm-1(-,+)表示(-,+)上m-1次连续可微函数的集合。,定理5.5 任意s(x)Sm(x1,x2,xn)均可唯一地表示为,定理5.6 为使s(x)Sm(x1,x2,xn)，必须且只须存在pm(x)Pm,(4-31),其中pm(x)Pm，cj(j=1,2,n)为实数。,和n个实数c1,c2,cn，使得,结论,m次样条空间的维数：,例1 验证分片多项式是三次样条
4、函数。,解 利用上面的定理(光滑因子)验证,所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数,例，设,是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a=,b=,c=。,解：1）由,比较1,x,x2,x3的系数，可得,2）由连续性，应有,即，,即,由一阶导数连续性，应有,由二阶导数连续性，应有,即，,从而，,即，,有些实际问题中提出的插值问题，要求插值曲线具有较高的光滑性和几何光顺性。模线员用压铁压住弹性均匀的窄木条（样条）的两端，强迫样条通过一组已知离散的型值点。的形状后，再沿着样条画出所需的曲线。形下，该曲线可以由三次样条函数表示。插值不仅具有较好的收敛性和稳定性，而且其光滑性也较高，因此，样条函数成为了重
5、要的插值工具。,5.3.2 三次样条插值及其收敛性(简介，学生自学),例如，在船体放样时，,当样条取得合适,在小挠度的情,由于样条函数,其中应用较多的是三次样条插值。,设给定节点 a=x0 x1xn=b 及节点上的函数值 f(xi)=yi,三次样条插值问题就是构造,使,(5-33),插值问题：,三次样条插值问题实际上是一种特殊类型的分段三次多项式,1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个,边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比,分段Lagarnge插值更光滑。,2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有,插值节点处的函数值和导数值都已知
6、时才能使用，而且在内节点处,二阶导函数一般不连续。,样条节点为插值节点,下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。,一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x)，若用待定系数法，,其中 ai,bi,ci,di 为待定系数，共有4n个。,按定义s3(x)应满足：,（1）插值条件n+1个：,连续性条件n-1个：,可写成,（2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：,（3）在内节点二阶导数连续性条件n-1个：,共计个4n-2条件。,因此要确定4n个系数，尚需要另外附加2个条件。,第一种：固支条件（第一类边界条件）,通常有如下三种类型的附加条件，称为边界条件：,特别地，,已知 f(x0)=f(xn)
7、确定的周期函数。,第三种：周期条件,第二种：,例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间-1,1上的,三次自然样条插值多项式。,且,解：这里n=2区间-1,1分成两个子区间，故设,由插值条件和连续性条件：,由在内点一阶、二阶导数连续性条件：,以及由自然边界条件：,得到如下88阶线性方程组：,则 f(x)在区间-1,1上的三次自然样条插值多项式为：,待定系数法过于繁琐，当n较大时，计算量过大，不实用。,解之，,下面我们介绍一种构造三次样条（3-Spline）插值多项式的,因为s(x)在每一个子区间xk,xk+1上都是三次多项式，因此，,当xxk,xk+1时，,此方法
8、的特点是：只需求解一个不超过n+1,设,阶线性方程组，而且力学意义明显。,在x0,xn上可以将s(x)表示成分段两点三次Hermite插值多项式。,由5.2中的例6，,(5-34),三转角方程构造法。,即,(4-35),因此，求s(x)的关键在于确定n+1个常数m0,m1,mn。,为此，对s(x)求二阶导数，得,(4-36),n个方程n+1个未知量,在（5-36）中以k-1取代k，便得s(x)在xk-1,xk上的表达式，并求得,于是，对于,(5-37),(5-38),得,由,本节我们考虑下面三类边界条件。,(5-39),方程组（5-40）中含n-1个方程、n+1个未知数m0,m1,mn。,(5
9、-40),其中,(5-41),为了解出mk(k=0,1,n)，还应补充两个方程。,过在插值条件（5-33）上再附加两个边界条件来解决这个问题。,因此，我们通,n-1个方程n+1个未知量,一、第一类边界条件是,此时，化为n-1阶线性方程组,(5-42),即,(5-43),进一步,解出m1,m2,mn-1。,(5-44),三对角严格对角占优,n-1个方程n-1个未知量,二、第二类边界条件是,(5-45),从而边界方程可表示为并与（5-40）联立即得所需方程组：,(5-46),由（5-37），（5-38）边界条件可得,两端,两端,n+1个方程n+1个未知量,此时化为n+1阶线性方程组,解得m0,m2
10、,mn。,(5-47),其中g1,g2,gn-1 如（4-41）定义，而,(5-48),三对角严格对角占优,设 f(x)是以xn-x0为一个周期的函数，这时s(x)也应以xn-x0,由（5-37）和（5-38）得,从而得m0=mn，所以,三、第三类边界条件是周期性条件,于是s(x)在端点处满足条件,(5-49),为周期。,再注意到，,简写为,将（5-51）与（5-40）联立，并用mn取代m0，得n阶线性方程组,(5-50),其中,(5-51),得出m1,m2,mn。,(5-52),注意到，不论采用哪类边界条件，所得方程组的系数矩阵（见（5-44）、（5-47）和（5-52）都是严格对角占优阵，
11、所以非奇异，故方程组有唯一解。,严格对角占优,n个方程n个未知量,例 给定插值条件,用三转角方程构造法求 f(x)的三次自然样条插值多项式。,解：由（5-40）和（5-46）可得三转角方程：,其中,从而,即满足给定插值条件的 f(x)的三次自然样条插值多项式为：,解之，,代入（4-35），得,即,给定插值条件,以及第一类边界条件m0=1,m3=0,求三次样条插值函数。,所求方程组为,即,再由m0=1,m3=0,解得,代入（4-35），得,解,例2,用三次样条插值函数s(x)计算诸节点中点处的函数值，并,例3 已知正弦函数表,以及边界条件,解 利用在第二类边界条件，计算结果列表如下：,将计算结果与sinx在相应点处的函数值相比较。,设f(x)C2a,b,s(x)是以a=x0 x1xn=b为节点，,上述结果表明，三次样条插值的逼近效果较好。,下面的定理说明了三次样条插值函数的收敛性。,满足三种边界条件中的任何一种的三次样条插值函数，记,收敛于f(x)和,定理5.7,
