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1、第一章非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡第二节 阻尼振子第三节 相图方法第四节 受迫振荡,非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,由牛顿第二定律：非线性方程式中角频率：,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,数学表达式,线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,令代入方程得得特征方程：特征根：得通解为：式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件：将 写成指数形式后得：该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲
2、线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,使 得：一次积分后：式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为，振动过程是一个代表点沿圆周转动。,相图,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,相图,相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。能量方程右边第一项为系统动能K，第二项为系统势能
3、V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。当K=V=0时，E=0，有，这时摆处于静止状态，为静止平衡。当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆或椭圆。同一圆周或椭圆上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E=0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为椭圆点。,周期与摆角无关？看看实验结果：定性结论：1.周期随摆角增加而增加2.随摆角增加波形趋于矩形,单摆周期,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,对方程乘以 后积分其中 积分设t=0时，周期为 T，在
4、 时应有，故有：最后得：,单摆周期数学表达式,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,在倒立附近，取对铅垂的偏角f 表示摆角，代入单摆方程得方程利用 得方程积分得双曲方程：当E0时有这是在 处的双曲线的渐近线，这点称为双曲奇点，也称鞍点。相图上这点为的 点。,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,基本方程若取 后积分得左边第一项是单摆动能 K，左边第二项是势能 V右边积分常数E是单摆总能 势能曲线是余弦函数,势能曲线,1.坐标原点 附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道；2.平衡点 为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；3.从 到 或相反的
5、连线为分界线在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆能量E 超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动,单摆完整相图,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,相图横坐标是以2p为周期的，摆角 是同一个倒立位置，把相图上G点与G点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。,柱面上的单摆相轨线,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,第二节 阻尼振子1 阻尼单摆 不动点2 无驱杜芬方程3 非线性阻尼 范德玻耳方程,1.阻尼单摆 不动点,无阻尼时：设阻尼力与摆的速度成 正比：取 得：如果满足 就有：,数学
6、表达式,设解为得特征方程l 为待定常数，特征方程解：故有：通解为最后有：,小摆角阻尼单摆的解,1.阻尼单摆 不动点,对阻尼单摆解 微分坐标从 变换到u,v式中消去时间 t阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内旋转的对数螺旋线簇。在 平面内也与此类似。能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动点。,相轨线 吸引子,1.阻尼单摆 不动点,1.整相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域。2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似;3.鞍点的位置仍在处，,任意摆角下的相图,1.阻尼
7、单摆 不动点,运动 从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。轨线 从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。相流 所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左(-2p)和右(+2p)两侧。,2.杜芬方程,数学上将含有 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：实验中系数 由磁铁的吸力调整。弱磁吸力时，强磁吸力时。例：弱非线性单摆属Duffing方程：取：得：,杜芬方程,研究无驱无阻尼杜芬方程：（，）积分得：由系统能量 得：讨论：由 知：1.当 时有一个平衡点：2.当 时有三个平衡点：3.平衡点 为
8、两个能量最小点,势能曲线,2.杜芬方程,相图,2.杜芬方程,从杜芬方程势能曲线，画出(）平面上的相轨线。1.对于，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道;2.对于,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。3.对于,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。,相图,2.杜芬方程,有阻尼：1.所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。2.，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。3.，原点是鞍点，坐标()处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
9、隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。,阻尼方程相图,2.杜芬方程,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,小角度单摆方程 阻尼项系数 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：阻尼项系数是 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程,非线性阻尼振子,单摆运动与LC回路,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法 将范德玻耳方程写为仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：两次微分一起代入方程得：令方程两边同次谐波项系数相等得：,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法（续）忽略方程中的三次谐波项。因为：就有：就可
10、将范德玻耳方程化为线性化方程：其解为,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,方程解的讨论,线性化方程范德玻耳方程解其衰减系数 与频率 与振幅相关，由此得：1.当，系统作衰减振动，振动频率；2.当，系统作增幅振动，振动频率；3.当 时，系统作等幅振动，振动频率；4.整体上只要初振幅不等于零，振动总是趋向于稳定幅值。,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,当 时，系统作增幅振动，初始相点从内向外趋近于极限环；当 时，系统作减幅振动，初始相点从外向内逼近于极限环；,范德玻耳方程相图,方程解 的结论是振动趋于一个定常振幅的周期振荡。在相平面上是一条闭合轨线，称为极限环。极限环是另一类吸引子，它将环内与环外的相
11、点吸引到环上。,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,时的相轨线,1.相轨线2.平衡点的类型及其稳定性,第三节 相图方法,由单摆基本方程引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：利用第二式可得单摆相轨线方程积分得单摆的椭圆轨线方程：,单摆,1 相图方法,一个非线性微分方程：引进变数 y 后有或更一般的形式得相轨线方程：,一般情况,1 相图方法,系统的平衡点从下面推出：一般的形式平衡点坐标：,系统的平衡点,2 平衡点的类型及其稳定性,对平衡点的邻域进行泰勒展开引进新变数：,平衡点附近的轨线方程,2 平衡点的类型及其稳定性,得新方程：式中 研究平衡点的邻域的相轨线，可以忽略高阶项，得线性方程
12、组,研究平衡点的邻域线性方程组 微分 代入得二阶线性方程：通过求解这方程得各种平衡点类型,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,方程 代入特征方程引入符号特征方程解：由特征方程得：参数l取值不同,给出不同类型平衡点.,特征方程解的简化：由于每个变量 X,Y 中包含了两个参数 l，看不清平衡点的性质，于是进行坐标变换：在新坐标中有：其解分别只与一个参数有关：,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,平衡点类型,结点特征根式 的根号中，则解 为两个同号实根，其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分如果，结点为稳定的。如果，结点为不稳定。,2 平衡点的类型及其稳定性,鞍点 特征
13、根式 根号中，解 为异号实根。相轨线为双曲线，奇点为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外流离鞍点的两条是不稳定的。“鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点，是沿马脊梁的最低点。流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走。,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型,焦点 特征根式 根号中，解 为两个虚根。如阻尼单摆那样，相轨线是对数螺旋线，系统的平衡点为焦点。当实部为负值时，与阻尼单摆相同，平衡点是螺旋线簇的渐近点。当实部为正值时，相轨线从平衡点发散开来，焦点是不稳定的。,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型,中心点 如果，且两个虚根的实部 等于零。螺旋线矢径不随时间变化，围绕平衡点是封闭曲线族。平衡点是轨线族的中心，称为“中心点”。封闭椭圆曲线代表作周期运动。根据虚部的正负不同，相轨线上的相点可以是顺时或逆时方向转动。根据稳定性定义，周期运动满足稳定性条件，中心点是稳定平衡点。,p,q 平面上奇点分布,p,q 平面 在平面下半部分，,这个区域内的奇点是鞍点 平面上半部，由抛物线 分为四个区.,2 平衡点的类型及其稳定性,第一象限由抛物线划分成不稳定的结点(p24q)与不稳定的焦点(p24q)两个区；在正q 轴上,p=0,l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。,
