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1、1.2 收敛数列的性质,定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.,证,由定义,一、收敛数列的基本性质,故极限唯一.,教材P7 反证法,相应的,可以给出有下界的定义,定义2.1(数列有界的定义),若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,例如,有界,无界,一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.,定理2.2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）,推论 无界数列必定发散.,定理2.3,见教材P8图形,证明,注,定理2.4,二、极限的四则运算,证,说明,1 有+无=无，无+无=不定；,2,数学分析巩固与指导,例1:,解,例2,解,三、夹逼定理,证,
2、定理2.5,上两式同时成立,例3-1,解,由夹逼定理得,证,例4,例5.,则,证明：,由夹逼定理，,由不等式,(教材P12),四、子列极限,证,成立。,(教材P12),数列,收敛于,对于单调数列,有一收敛子列则原数列收敛.,对于单调数列,数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列.(证明在单调有界定理),或,结论1,结论2,五、无穷小,定义2.3,定理2.7,分析：,则所证结论转化为,证明：,（练习）（夹逼定理，调和平均几何平均 算术平均）,P14 7.证明,证明：,由例6,应记住的结果：,六、小结,1、收敛数列的性质:唯一性、有界性、不等式性质,2、极限的四则运算,5、无穷小,3、夹逼准则(两边夹法则),4、子列极限,
