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1、第,1,章,信号与系统的基本概念,第,1,章,信号与系统的基本概念,1.1,绪论,1.2,信号,1.3,信号的基本运算,1.4,阶跃信号和冲激信号,1.5,系统的描述,1.6,系统的特性和分析方法,第,1,章,信号与系统的基本概念,了解冲激函数的广义函数,理解信号的描述、分类，线性系统的数学模型,掌握信号的基本运算，阶跃信号与冲激信号的关系及,冲激信号的性质，系统的框图表示及性质（线性、时不,变性、因果性、稳定性）。,本章教学基本要求：,第,1,章,信号与系统的基本概念,信号分类,信号基本运算,第一讲,教学要点：,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.0-1,激励、系统与响应,系,统,输,
2、入信,号,（,激,励）,输,出信,号,（,响,应）,第,1,章,信号与系统的基本概念,信号分类,一、,信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化,的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量,的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电压、电流、电,荷或磁通等电信号可以理解为是时间,t,或其他变量的函数；在,气象观测中，由探空气球携带仪器测量得到的温度、,气压等,数据信号，可看成是随海拔高度,h,变化的函数；又如在图像处,理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，,可以表示为平面坐标位置,(x,y),的函数，等等。,第,1,章,信号与系统的基本概念,1.,连续信号与离散信
3、号,连续信号：,一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点,外都有定义，,就称该信号在此区间内为连续时间信号，,简称,连续信号。,这里“,连续,”一词是指在定义域内,(,除有限个间断,点外,),信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可,以是连续的，也可以是跳变的。,二、信号的分类,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.1-2,连续信号,0,1,2,1,2,A,A,f,1,(,t,),t,o,1,t,f,2,(,t,),o,A,t,f,3,(,t,),t,0,(,a,),(,b,),(,c,),图,1.1-2(,a,),是正弦信号，其表达式,),sin(,),(,1,t,A,t,f
4、,?,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.1-2(,b,),是单位阶跃信号，,通常记为,(t),，其表达式为,图,1.1-2(c),表示一个延时的单边指数信号，,其表达式为,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,0,),(,),(,0,0,),(,3,0,t,t,t,t,Ae,t,f,t,t,?,式中，,A,是常数，,0,。信号变量,t,在定义域,(-,),内连续变,化，信号,f,3,(,t,),在值域,0,，,A),上连续取值。注意，,f,3,(,t,),在,t,=,t,0,处,有间断点。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),0,(,0,),0,(,1,),(,),(
5、,2,t,t,t,t,f,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,极限,:,对于间断点处的信号值一般不作定义，这样做不会影响,分析结果。如有必要，,也可按高等数学规定，定义信号,f(t),在,间断点,t,0,处的信号值等于其左极限,f,(,t,0,-,),与右极限,f,(,t,0,+,),的算术平,均值，,即,第,1,章,信号与系统的基本概念,这样，图,1.1-2,中的信号,f,2,(,t,),和,f,3,(,t,),也可表示为,第,1,章,信号与系统的基本概念,离散信号：,仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信,号，简称,离散信号,。这里“离散”一词表示自变量只取离散,的数值，相邻离散时刻
6、点的间隔可以是相等的，也可以是不,相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域,可以是连续的，,也可以是不连续的。,定义在,等间隔,离散时刻点上的离散信号也称为序列，,通,常记为,f(k,),，其中,k,称为序号。与序号,m,相应的序列值,f(m),称为,信号的第,m,个样值。,例如：,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.1-3,离散信号,0,1,2,3,4,5,6,7,8,2,4,6,8,A,A,k,f,1,(,k,),1,3,1,0,2,4,1,3,1,0,2,3,4,1,1,3,2,f,2,(,k,),f,3,(,k,),k,k,5,6,A,(,a,),(,b,),(,c,
7、),?,?,?,?,?,?,?,k,A,k,f,4,sin,),(,1,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,随,k,的变化，序列值在值域,-,A,A,上连续取值。对于图,1.1-3(,b,),第,1,章,信号与系统的基本概念,在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为,模,拟信号,(,如图,1.1-,2(,a,),；把幅值可连续取值的离散信号称为,抽,样信号,(,如图,1.1-3(a),；而把幅值只能取某些规定数值的离散信,号称为,数字信号,(,如图,1.1-3(c),。,注意：,为方便起见，有时将信号,f,(,t,),或,f,(,k,),的自变量省略，简记,为,f,(,),，,表示信
8、号变量允许取连续变量或者离散变量，即用,f,(,),统一表示连续信号和离散信号。,第,1,章,信号与系统的基本概念,2.,一个连续信号,f(t,),，若对所有,t,均有,f(t)=f(t+mT),m,=0,1,2,则称,f(t),为,连续周期信号，满足上式的最小,T,值称为,f(t,),的周期。,一个离散信号,f(k),，若对所有,k,均有,f(k)=f(k+mN)m,=0,1,2,(1.1-7),就称,f(k),为离散周期信号或周期序列。满足式,(1.1-7),的最小,N,值称为,f(k),的周期。,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.1-4,周期信号,t,f,(,t,),A,A,2,
9、T,?,2,T,T,T,o,f,(,k),2,4,0,2,4,6,k,第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1,试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。,(1),f,1,(,t,)=sin 2,t,+cos 3,t,(2),f,2,(,t,)=cos 2,t,+sin,t,解,我们知道，如果两个周期信号,x(t),和,y(t),的周期具有公,倍数，则它们的和信号,f(t)=x(t)+y(t),仍然是一个周期信号，,其周期是,x(t),和,y(t),周期的最小公倍数。,第,1,章,信号与系统的基本概念,3.,若将信号,f(t,),设为电压或电流，则加载在,单位电阻,上产生,的瞬时功率为,
10、|,f,(,t,)|,2,，在一定的时间区间,内,会,消,耗,一,定的能量。,把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间,内的平均功率。现在将时间区间,无限扩展,，,定义信号,f(t),的能,量,E,为,?,?,?,?,?,?,?,2,2,?,?,dt,t,f,E,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,lim,?,?,?,dt,t,f,P,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,1,lim,?,?,?,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值,(,此时平均,功率,P,=0,),，,就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如,果在无限大时间区间内，信号的平
11、均功率为有限值,(,此时信号,能量,E,=,),，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号,离散信号,f(k),的能量定义为,?,?,?,?,?,k,k,f,E,2,),(,什么叫能量信号和功率信号？,第,1,章,信号与系统的基本概念,信号的基本运算,1,相加和相乘,两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号,在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻,的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。,设两个连续信号,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),，则其和信号,s,(,t,),与积信号,p(t),可,表示为,),(,),(,),(,),(,),(,),(,2,1,2,1
12、,t,f,t,f,t,P,t,f,t,f,t,s,?,?,?,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,同样，若有两个离散信号,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),，则其和信号,s,(,k,),与,积信号,p(k),可表示为,),(,),(,),(,),(,),(,),(,2,1,2,1,k,f,k,f,k,P,k,f,k,f,k,s,?,?,?,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1,.,3,-,1,连,续,信,号,的,相,加,和,相,乘,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1,.,3,-,2,离,散,信,号,的,相,加,和,相,乘,f,1,(,k,),0,1,2,3,4,5,6
13、,1,2,3,1,f,2,(,k,),0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,1,f,1,(,k,),f,2,(,k,),0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,1,2,0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,f,1,(,k,),f,2,(,k,),k,k,k,k,第,1,章,信号与系统的基本概念,2,翻转、平移和展缩,翻转,:,将信号,f,(,t,)(,或,f,(,k,),的自变量,t,(,或,k,),换成,-,t,(,或,-,k,),，得到另一,个信号,f,(-,t,)(,或,f,(-,k,),，,称这种变换为信号的,翻转,。它的几何意,义是将自变量轴“倒置”，,或者按照习惯，,自变量轴不
14、“倒,置”时，可将,f(t),或,f(k),的波形绕纵坐标轴翻转,180,，,即为,f(-,t),或,f(-k),的波形，,如图,1.3-3,所示。,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.3-3,信号的翻转,(a),f,(,t,),的翻转；,(b),f,(,k,),的翻转,第,1,章,信号与系统的基本概念,平移：,对于连续信号,f(t,），若有常数,t,0,0,，延时信号,f(t-t,0,),是,将原信号,f(t),沿,正,t,轴平移,t,0,时间，而,f(t+t,0,),是将原信号,沿,负,t,轴平移,t,0,时间。,对于离散信号,f(k),同上。,思考,：,f(t-t,0,),怎样移得
15、到,f(t),第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.3-4,信号的平移,0,2,2,f,(,t,),t,0,2,f,(,t,2),t,0,2,t,4,f,(,t,2),4,0,3,3,f,(,k,),k,f,(,k,2),f,(,k,2),0,2,2,k,0,2,2,k,4,6,4,6,4,(,a,),(,b,),第,1,章,信号与系统的基本概念,展缩：,若,a1,则信号,f(at),是将原信号,f(t),以原点为基准，沿,横轴,压缩,到原来的,1/a,若,0a1,则信号,f(at),是将原信号,f(t),以原点为基准，沿横轴,展宽,到原来的,1/a,倍。,第,1,章,信号与系统的基本概念
16、,图,1.3-5,连续信号的波形展缩,0,2,1,f,(,t,),t,1,2,1,0,2,1,f,(,2,t,),t,1,2,1,0,2,4,t,4,2,1,t),2,1,(,f,(,a,),(,b,),(,c,),第,1,章,信号与系统的基本概念,第,1,章,信号与系统的基本概念,第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1.3-1,已知信号,f(t),的波形如图,1.3-1,所示，试画出,f,(1-,2,t,),的波形。,例,1.3-1,图,第,1,章,信号与系统的基本概念,解,一,般,说,来,，,在,t,轴,尺,度,保,持,不,变,的,情,况,下,，,信,号,f,(,at,+,b,)(,a,
17、0),的波形可以通过对信号,f(t),波形的平移、翻转,(,若,a0),和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法,画出,f,(1-2,t,),的波形。,(1),按“翻转,-,展缩,-,平移”顺序。,首先将,f(t),的波形进行翻,转得到如图,1.3-6(,b,),所示的,f,(-,t,),波形。然后，以坐标原点为中心，,将,f(-t),波形沿,t,轴压缩,1/2,，得到,f,(-2,t,),波形如图,1.3-6(c),所示。由,于,f,(1-2,t,),可以改写为,，,所以只要将,f,(-2,t,),沿,t,轴右,移,1/2,个单位，即可得到,f,(1-2,t,),波形。信号的波形变
18、换过程如图,1.3-6,所示。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,t,f,第,1,章,信号与系统的基本概念,0,1,f,(,t,),t,1,0,2,1,f,(,2,t,),t,1,0,2,1,f,(,t,),t,1,2,1,1,1,1,1,1,0,f,(1,2,t,),t,1,1,1,2,1,?,2,1,(,a,),(,b,),(,c,),(,d,),图,1.3-6,例,1.3-1,用图之一,第,1,章,信号与系统的基本概念,(2),按“平移,-,翻转,-,展缩”顺序。先将,f,(,t,),沿,t,轴左移一个,单位得到,f,(,t,+1),波形。再将该波形绕纵
19、轴翻转,180,，得到,f,(-,t,+1),波形。最后，将,f,(-,t,+1),波形压缩,1/2,得到,f,(1-2,t,),的波形。,信号波形的变换过程如图,1.3-7,所示。,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.3-7,例,1.3-1,用图之二,0,1,f,(,t,1,),t,1,0,2,1,f,(,t,1,),t,1,0,2,1,f,(,t,),t,1,2,1,1,1,1,1,1,0,f,(1,2,t,),t,1,1,1,2,1,?,2,1,(,a,),(,b,),(,c,),(,d,),第,1,章,信号与系统的基本概念,(3),按“展缩,-,平移,-,翻转”顺序。先以坐标原点
20、为中心，,将,f,(,t,),的波形沿,t,轴压缩,，,得到,f,(2,t,),的波形。再将,f,(2,t,),的,波形沿,t,轴左移,1/2,个单位，,得到信号,的波形。,最后，,进行“翻转”操作，得到,f,(1-2,t,),的波形。信,号波形的变换过程如图,1.3-8,所示。,2,1,),1,2,(,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,f,t,f,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.3-8,例,1.3-1,用图之三,0,f,(2,t,),t,1,0,1,f,(2,t,1,),t,0,2,1,f,(,t,),t,1,1,1,1,1,1,1,0,f
21、,(1,2,t,),t,1,1,1,2,1,?,2,1,2,1,2,1,?,2,1,?,2,1,(,a,),(,b,),(,c,),(,d,),第,1,章,信号与系统的基本概念,总结规律：翻转和展缩,移位,第,1,章,信号与系统的基本概念,已知信号,f,（,3,2t,）的波形如图,1-1,所示，则,f(t),的波形为,:,f,（,3,2t,）,2 3 4 t,2,图,1-1,思考题：,第,1,章,信号与系统的基本概念,教学要点：,阶跃函数,冲激函数及其性质,第二讲,阶跃序列和脉冲序列,第,1,章,信号与系统的基本概念,阶跃函数和冲激函数,阶跃函数的定义,见,P12-13,第,1,章,信号与系统
22、的基本概念,1,连续时间阶跃函数,图,1.4-1,单位阶跃函数,t,t,t,1,1/n,1,1,t,0,(,a,),(,b,),(,c,),o,o,o,?,(,t,),n,(,t,),?,(,t,t,0,),?,-1/n,第,1,章,信号与系统的基本概念,设图,1.4-1(,a,),所示函数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,0,),(,t,t,n,?,n,t,n,t,n,n,t,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,),(,lim,),(,t,t,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,),(,t,?,0,0,?,?,t,t,图,1.4-1(,b,),所示
23、函数：,第,1,章,信号与系统的基本概念,单位阶跃信号时移,t,0,后可表示为,?,?,?,?,?,?,?,1,0,),(,0,t,t,?,0,0,t,t,t,t,?,?,注意：,信号,(t),在,t,=0,处和,(,t,-,t,0,),在,t,=,t,0,处都是不连续的。,图,1.4-1(,c,),所示函数：,第,1,章,信号与系统的基本概念,冲激函数,(,),b,),a,(,n,1,n,?1,t,o,p,n,(,t,),t,o,d,(,t,),(1),2,n,图,1.4-3,单位冲激函数,1,、冲激函数的定义：,第,1,章,信号与系统的基本概念,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,
24、),(,n,t,p,n,n,t,n,t,n,n,t,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,当,n,时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大，,而其面积仍等于,1,。我们将此函数定义为连续时间单位冲激函,数，,简称单位冲激函数或,函数，用,(t),表示，即,),(,lim,),(,t,p,t,n,n,?,?,?,d,第,1,章,信号与系统的基本概念,函数的另一种定义是：,?,?,?,?,?,?,?,?,0,),(,1,),(,2,1,t,dt,t,t,t,d,d,0,0,2,1,?,?,?,t,t,t,定义表明,函数除原点以外，处处为零，但其面积为,1,。,2,、,函数与,?,函数的关系：,;
25、,0,1,0,0,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,t,dt,x,t,t,d,?,),(,),(,t,dt,d,t,?,d,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,性质,1,函数与普通函数,f(t),见,P18,若将普通函数,f,(,t,),与广义函数,(,t,),的乘积看成是新的广义函,数，,则按广义函数定义和,函数的筛选性质，,有,dt,t,t,f,dt,t,t,f,f,dt,t,t,f,t,dt,t,t,f,t,),(,),(,),0,(,),(,),(,),0,(,),0,(,),0,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,?,d,?,d,?
26、,?,d,?,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),0,(,),(,),(,?,?,d,?,?,?,?,?,dt,t,t,3,函数的性质,第,1,章,信号与系统的基本概念,根据广义函数相等的定义，得到,),(,),0,(,),(,),(,t,f,t,t,f,d,d,?,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),0,(,),(,),0,(,),(,),(,0,0,0,0,0,t,f,dt,t,t,t,f,t,t,t,f,t,t,t,f,f,dt,t,f,dt,t,t,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?
27、,?,?,?,?,d,d,d,d,d,第,1,章,信号与系统的基本概念,在,性质,2,移位,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,dt,t,t,t,dt,t,t,t,),(,),(,),(,),(,1,1,?,d,?,d,?,?,?,?,?,),0,(,),(,),(,?,?,d,dt,t,t,中令,1,t,t,x,?,?,有,),(,),(,),(,),(,),(,1,1,1,t,dx,x,x,x,dt,t,t,t,?,?,d,?,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,经过变换可得在,),(,),(,),(,1,1,t,f,dt,t,t,t,f,?,?,?,?,?,?
28、,d,见,P19,的,(1.4-28),、,(1.4-30),第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1.4,1,试化简下列各信号的表达式。,第,1,章,信号与系统的基本概念,根据广义函数相等的定义，,可得到,),(,1,1,),(,),(,),(,t,a,a,at,n,n,n,d,d,?,?,当,n,=0,和,1,时，分别有,),(,1,),(,t,a,at,d,d,?,),(,1,1,),(,t,a,a,at,d,d,?,?,见,P21,的,(1.4-37b),性质,3,见,P21,的,(1.4-36),见,P21,的,(1.4-37a),第,1,章,信号与系统的基本概念,性质,4,奇偶性,
29、式,(1.4,37b),中，若取,a,=-1,，,则可得,),(,),1,(,),(,),(,),(,t,t,n,n,n,d,d,?,?,?,显然，,当,n,为偶数时，,有,),(,),(,),(,),(,t,t,n,n,d,d,?,?,?,4,2,0,?,n,当,n,为奇数时，有,),(,),(,),(,),(,t,t,n,n,d,d,?,?,?,?,5,3,1,?,n,第,1,章,信号与系统的基本概念,性质,5,函数的微分和积分,见,P16,),0,(,),(,),(,),1,(,),(,),(,?,?,d,?,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,dt,t,t,
30、dt,t,t,式中，,(0),是,(,t,),的一阶导数在,t,=0,时的值。通常称,(,t,),为单,位冲激偶，,用前面的图,1.4-4(d),所示图形符号表示。,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.4-4,单位冲激偶,(,t,),o,t,(1),(,1),d,(,t,),0,),(,?,?,?,?,?,dt,t,d,第,1,章,信号与系统的基本概念,教学要点：,系统数学模型,系统框图表示,系统的性质,第三讲,第,1,章,信号与系统的基本概念,1,系统的数学模型,数学模型的建立,：要分析一个系统，首先要建立描述该系统的,基本特性的数学模型，然后用数学的方法（或仿真）求出它的,解答，并对
31、结果赋予实际意义。,描述连续系统的数学模型是,微分方程,描述离散系统的数学模型是,差分方程,系统数学模型,第,1,章,信号与系统的基本概念,系统的分类,综上所述，我们可以从不同角度对系统进行分类。例如，,按系统工作时信号呈现的规律，可将系统分为确定性系统与,随机性系统；按信号变量的特性分为连续,(,时间,),系统与离散,(,时间,),系统；按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与,多输入多输出系统；按系统的不同特性分为瞬时与动态系统、,线性与非线性系统、时变与时不变系统、因果与非因果系统、,稳定与非稳定系统等等。,第,1,章,信号与系统的基本概念,如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为,单
32、输入单,输出系统,，如图,1.5-1,所示。如果含有多个输入、输出信号，,就,称为,多输入多输出系统,.,图,1.5-1,单输入单输出系统,单,输,入,单,输,出,系,统,y,(),f,(),第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.5-2,多输入多输出系统,多,输,入,多,输,出,系,统,y,1,(),f,1,(),f,2,(),f,p,(),y,2,(),y,q,(),第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.5-3,是一个电路系统。其中，,电压源,u,s1,(,t,),和,u,s2,(,t,),是电路的,激励。若设电感中电流,i,L,(,t,),为电路响应,，则由基尔霍夫定律列,出节点,
33、a,的支路电流方程为,参见,P23,的图,1.5-1,第,1,章,信号与系统的基本概念,),(,1,),(,),(,1,),(,1,),(,1,),(,2,2,1,t,u,L,t,u,t,u,RLC,t,i,LC,t,i,RC,t,i,s,s,s,L,L,L,?,?,?,?,?,如果描述连续系统输入输出关系的数学模型是,n,阶微分方,程，就称该系统为,n,阶连续系统,。当系统的数学模型为,n,阶线性,常系数微分方程时，写成一般形式有,?,?,?,?,?,n,i,m,j,j,j,i,i,t,f,b,t,y,a,0,0,),(,),(,),(,),(,式中，,f(t,),是系统的激励，,y(t),
34、为系统的响应，,a,n,=1,。方程中,，,。,若要求解,n,阶微分,方程，还需要给定,n,个初始条件,y,(0),，,y,(0),，,y,(,n,-1),(0),。,),(,),(,),(,t,f,dt,d,t,f,j,j,j,?,),(,),(,),(,t,y,dt,d,t,y,i,i,j,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.5-3,电路系统,u,C,(,t,),i,C,(,t,),R,i,1,(,t,),u,s1,(,t,),L,i,L,(,t,),u,s2,(,t,),a,l,C,第,1,章,信号与系统的基本概念,二、系统的框图表示,常用的系统基本运算单元,:,第,1,章,信
35、号与系统的基本概念,例,1.5-1,某连续系统的输入输出方程为,参见,P25,的例,1.5-1,y,(,t,)=-,a,1,y,(,t,)-,a,0,y,(,t,),f,(,t,),试画出该系统的框图表示。,解,将输入输出方程改写为,y,(,t,)+,a,1,y,(,t,)+,a,0,y,(,t,)=f(t),（,1.5-9,）,y,(,t,),),(,t,y,?,),(,t,y,?,?,a,1,a,0,f,(,t,),第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1.5-2,某连续系统的输入输出方程为,y,(,t,)+,a,1,y,(,t,)+,a,0,y,(,t,)=,b,1,f,(,t,)+,b
36、,0,f,(,t,),试画出该系统的框图表示。,解,该系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中除含有,输入信号,f(t),外，还包含有,f(t),的导函数。对于这类系统，可以,通过引用辅助函数的方法画出系统框图。设辅助函数,x(t,),满足,x,(,t,)+,a,1,x,(,t,)+,a,0,x,(,t,)=,f,(,t,),y,(,t,)=,b,1,x,(,t,)+,b,0,x,(,t,),(1.5-19),第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.5-6,式,(1.5-19),的系统框图,y,(,t,),),(,t,x,?,),(,t,x,?,?,f,(,t,),a,1,a,0,b,1,b
37、,0,x,(,t,),y,(,t,)+,a,1,y,(,t,)+,a,0,y,(,t,)=,b,1,f,(,t,)+,b,0,f,(,t,),x,(,t,)+,a,1,x,(,t,)+,a,0,x,(,t,)=,f,(,t,),y,(,t,)=,b,1,x,(,t,)+,b,0,x,(,t,),第,1,章,信号与系统的基本概念,如果已知系统的框图表示，同样可以采用辅助函数方法写,出系统的输入输出方程。以图,1.5-6,所示的框图为例，,设右边积,分器的输出为辅助函数,x,(,t,),，在两个积分器的输入端得到,x,(,t,),和,x,(,t,),，,再在两个加法器的输出端写出两个等效方程，即,
38、x,(,t,)=,f,(,t,)-,a,1,x,(,t,)-,a,0,x,(,t,),(1.5-22),y,(,t,)=,b,1,x,(,t,)+,b,0,x,(,t,),(1.5-23),因系统是二阶的，故输入输出方程应包括,y,(,t,),、,y,(,t,),项，,式,(1.5-23),可得,y,(,t,)=,b,1,x,(,t,)+,b,0,x,(,t,),(1.5-24),y,(,t,)=,b,1,x,(3),(,t,)+,b,0,x,(,t,),(1.5-25),第,1,章,信号与系统的基本概念,上式中的,x,(3),(,t),表达式由式,(1.5-22),求导函数得到，,即,x,(
39、3),(,t,)=,f,(,t,)-,a,1,x,(,t,)-,a,0,x,(,t,),(1.5-26),系统输入输出方程。具体过程是：,第,1,章,信号与系统的基本概念,将上述结论推广应用于,n,阶连续系统。设,n,阶系统输入输出方程为,f,b,f,b,f,b,f,b,y,a,y,a,y,a,y,m,m,m,m,n,n,n,0,1,),1,(,1,),(,0,1,),1,(,1,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,图,1.5-7,n,阶系统框图表示,y,f,a,1,a,0,b,1,x,?,?,x,?,x,a,n,1,x,(,n,1),x,b,m,(,n,),b
40、,0,第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1.5-3,某离散系统框图如图,1.5,-,8,所示。试写出描述该系统,输入输出关系的差分方程。,见,P26,图,1.5-8,二阶离散系统框图表示,第,1,章,信号与系统的基本概念,解,系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与,连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器,的输入端引入辅助函数,x(k,),，则该移位器的输出为,x(k,-1),，右边,移位器的输出为,x(k,-2),。,写出左边加法器的输出,),2,(,),1,(,),(,),(,0,1,?,?,?,?,?,k,x,a,k,x,a,k,f,k,x,),(,),2,(
41、,),1,(,),(,0,1,k,f,k,x,a,k,x,a,k,x,?,?,?,?,?,),2,(,),1,(,),(,0,1,?,?,?,?,k,x,b,k,x,b,k,y,第,1,章,信号与系统的基本概念,第,1,章,信号与系统的基本概念,系统的特性和分类,1,系统的基本作用是将输入信号,(,激励,),经过传输、变换或处,理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号,(,响应,),。这一,过程可表示为,式中，,y,(,),表示系统在激励,f,(,),单独作用时产生的响应。信号,变量用圆点标记，代表连续时间变量,t,或离散序号变量,k,。,y,()T,f,(,),第,1,章,信号与系统的基本
42、概念,如果系统的激励,f,(,),数乘,(,为任意常数,),，其响应,y,(,),也数,乘,，就称该系统具有,齐次性,。这一特性也可表述为,),(,),(,?,?,?,f,T,f,T,?,?,则系统具有齐次性。,第,1,章,信号与系统的基本概念,如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个,激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有,叠加性,。,或表述为,),(,),(,),(,),(,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,f,T,f,T,f,f,T,则系统具有叠加性。式中，,f,1,(,)+,f,2,(,),表示两个激励,f,1,(,),、,f,2,(,),共同作用于系统。,第,
43、1,章,信号与系统的基本概念,如果系统同时具有齐次性和叠加性，,就称系统具有线性特性。,或表述为,),(,),(,),(,),(,2,2,1,1,2,2,1,1,?,?,?,?,?,?,?,f,T,a,f,T,a,f,a,f,a,T,式中，,1,、,2,为任意常数，则系统具有,线性特性,，表示系,统响应与激励之间满足线性关系。,一个系统，如果它满足如下三个条件，,则称之为线性系,统，否则称为,非线性系统,。,第,1,章,信号与系统的基本概念,条件,1,响应,y,(,),可以分解为零输入响应,y,x,(,),和零状态响应,y,f,(,),之和，,即,y,(,)=,y,x,(,)+,y,f,(,)
44、,这一结论称为系统响应的,可分解性,，,简称,分解性,。通常也,称满足分解性条件的响应,y,(,),为完全响应。,条件,2,零输入线性,即零输入响应,y,x,(,),与初始状态,x,(0,-,),或,x,(0),之间满足线性特性。,P29,条件,3,零状态线性,，即零状态响应,y,f,(,),与激励,f,(,),之间满足,线性特性。,见,P29,第,1,章,信号与系统的基本概念,例,1,在下列系统中，,f(t),为激励，,y(t),为响应，,x,(0,-,),为初始,状态，试判定它们是否为线性系统。,(1),y,(,t,)=,x,(0,-,),f,(,t,),(2),y,(,t,)=,x,(0
45、,-,),2,+,f,(,t,),(3),y,(,t,)=2,x,(0,-,)+3|,f,(,t,)|,(4),y,(,t,)=,af,(,t,)+,b,第,1,章,信号与系统的基本概念,解,由于系统,(1),不满足分解性；,系统,(2),不满足零输入线性；,系统,(3),不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。,对于系统,(4),，,如果直接观察,y(t)f(t),关系，似乎系统既不满,足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令,f(t),=0,时，系统响应为常数,b,若把它看成是由初始状态引起的零,输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，,故系统,(4),是线,性系统。通
46、常，,以线性微分,(,差分,),方程作为输入输出描述方程,的系统都是线性系统,，,而以非线性微分,(,差分,),方程作为输入输,出描述方程的系统都是非线性系统。,第,1,章,信号与系统的基本概念,2,时不变特性,参数不随时间变化的系统,，称为,时不变系统,或,定常系统,，,否则称为,时变系统,。,一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入,输出关系也不会随时间变化。如果激励,f,(,),作用于系统产生的,零状态响应为,y,f,(,),，那么，当激励延迟,t,d,(,或,k,d,),接入时，其零状,态响应,也延迟相同的时间,，且响应的波形形状保持相同。也就,是说，,一个时不变系统，若,第
47、,1,章,信号与系统的基本概念,),(,),(,),(,),(,),(,),(,d,f,d,d,f,d,f,k,k,y,k,k,f,t,t,y,t,t,f,y,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则对连续系统有,对离散系统有,系统的这种性质称为时不变特性。,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,1.6-1,系统的时不变特性,o,T,1,t,f,(,t,),o,t,d,T,1,t,f,(,t,t,d,),t,d,时,不变,系,统,o,t,y,f,(,t,),o,t,y,f,(,t,t,d,),t,d,第,1,章,信号与系统的基本概念,例,2,试判断以下系统是否为时不变系统。,(1),y,f,
48、(,t,)=,a,cos,f,(,t,),t,0,(2),y,f,(,t,)=,f,(2,t,),t,0,输入输出方程中,f,(,t,),和,y,f,(,t,),分别表示系统的激励和零状,态响应，,a,为常数。,第,1,章,信号与系统的基本概念,解,(1),设,),(,),(,),(,cos,),(,cos,),(,),(,),(,),(,cos,),(,),(,1,1,1,1,d,f,f,d,f,d,f,t,t,y,t,y,t,t,f,a,t,f,a,t,y,t,t,f,t,f,t,f,a,t,y,t,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,t,t,?,则其零状态响应,故该系统是时不变系
49、统。,第,1,章,信号与系统的基本概念,(2),这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出,y,f,(,t,),的,波形是输入,f,(,t,),在时间上压缩,1/2,后得到的波形。,直观上看，任,何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。,所以，,这样的系统是时变的,。,设,),(,),(,1,d,t,t,f,t,f,?,?,d,t,t,?,相应的零状态响应为,),(,),(,),2,2,(,),(,2,),(,),2,(,),2,(,),(,1,1,1,d,f,f,d,d,d,f,d,f,t,t,y,t,y,t,t,f,t,t,f,t,t,y,t,t,f,t,f,t,y,?,?
50、,?,?,?,?,?,?,?,?,第,1,章,信号与系统的基本概念,图,2,例,2,图,2,0,2,1,f,(,t,),0,4,1,f,1,(,t,),f,(,t,2),1,0,1,1,y,f,(,t,),t,t,t,0,2,1,y,f1,(,t,),t,(,a,),(,b,),(,c,),(,d,),第,1,章,信号与系统的基本概念,3,因果性,一个系统，,如果激励在,t,t,0,(,或,k,k,0,),时为零，相应的零状态,响应在,t,t,0,(,或,k,k,0,),时也恒为零，,就称该系统具有,因果性,，并称,这样的系统为,因果系统,；否则，为,非因果系统,。,在因果系统中，原因决定结果
