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1、章末复习提升课,第三章,空间向量与立体几何,空间向量基本定理,问题展示,(,选修,2-,1,P97,习题,3.1A,组,T2),如图，平行六面,体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AC,与,BD,的交点为,M,.,设,A,1,B,1,a,，,A,1,D,1,b,，,A,1,A,c,，则下列向量中与,B,1,M,相等的向量是,(,),A.,1,2,a,1,2,b,c,B.,1,2,a,1,2,b,c,C.,1,2,a,1,2,b,c,D.,1,2,a,1,2,b,c,【解析】,B,1,M,B,1,B,BM,B,1,B,1,2,BD,B,1,B,1,2,(,BA,AD,),A,
2、1,A,1,2,A,1,B,1,1,2,A,1,D,1,1,2,a,1,2,b,c,.,故选,A.,【答案】,A,在平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,A,1,B,1,a,，,A,1,D,1,b,，,A,1,A,c,，若,B,1,M,1,2,a,1,2,b,c,，则,M,的位置为,(,),A,?,ADD,1,A,1,的对角线交点,B,?,ABCD,的对角线的交点,C,?,DCC,1,D,1,的对角线的交点,D,点,D,的位置,【解析】,因为,B,1,M,1,2,a,1,2,b,c,.,所以,A,1,M,A,1,B,1,B,1,M,a,1,2,a,1,2,b,c,1,
3、2,(,a,b,),c,1,2,A,1,C,1,c,A,1,C,1,C,1,C,1,2,A,1,C,1,A,1,C,1,2,CA,.,即,A,1,M,A,1,C,1,2,CA,，,所以,CM,1,2,CA,.,所以,M,为,CA,的中点,即,M,为,?,ABCD,的对角线的交点故选,B.,【答案】,B,平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AC,与,BD,的交点为,M,，,P,是直线,DD,1,上一点若,B,1,M,平面,A,1,CP,.,求,P,点的位置,【解】,取基底,AB,，,AD,，,AA,1,a,，,b,，,c,则,B,1,M,B,1,B,BM,AA,1,1
4、,2,(,BA,BC,),AA,1,1,2,AB,1,2,AD,1,2,a,1,2,b,c,.,设,DP,DD,1,c,.,所以,CP,CD,DP,a,c,.,CA,1,CB,BB,1,B,1,A,1,b,c,a,.,因为,B,1,M,平面,A,1,CP,，故存在,x,，,y,R,，,使,B,1,M,xCP,yCA,1,，,即,1,2,a,1,2,b,c,x,(,a,c,),y,(,b,c,a,),(,x,y,),a,yb,(,x,y,),c,.,所以,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,y,1,2,y,1,x,y,.,解得,x,1,，,y,1,2,，,1,2,.,所以当,P,在,D,1,
5、D,的延长线上，且,|,PD,|,1,2,|,DD,1,|,时，,B,1,M,平,面,A,1,CP,.,空间向量的运算,问题展示,(,选修,2-,1,P92,练习,T1),如图，在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，若,AB,2,BB,1,，则,AB,1,与,C,1,B,所成角的大,小为,(,),A,60,B,90,C,105,D,75,【解析】,法一：,(,基底法,),：取基底,BA,，,BC,，,BB,1,a,，,b,，,c,设,BB,1,1,，则,|,a,|,|,b,|,2,，,|,c,|,1.,a,，,b,60,，,c,a,，,c,b,.,AB,1,c,a,，,BC,1,
6、b,c,.,所以,AB,1,BC,1,(,c,a,),(,b,c,),c,b,c,2,a,b,a,c,0,1,2,2,2,cos 60,0,0.,所以,AB,1,BC,1,，即,AB,1,与,C,1,B,所成角的大小为,90,，选,B.,法二：,(,坐标法,),：,以,AB,的中点为坐标原点建立如图的空间直,角坐标系,且设,BB,1,2,，则,AB,2,2.,所以,A,(,2,，,0,，,0),，,B,(,2,，,0,，,0),，,B,1,(,2,，,0,，,2),，,C,1,(0,，,6,，,2),所以,AB,1,(2,2,，,0,，,2),，,BC,1,(,2,，,6,，,2),AB,1,
7、BC,1,2,2,(,2),0,6,2,2,0.,所以,AB,1,BC,1,，即,AB,1,与,C,1,B,所成角的大小为,90,，选,B.,【答案】,B,如图，,在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，,AB,1,BC,1,，,P,是,AA,1,中点,(1),求平面,PBC,1,将三棱柱分成的两部分的体,积之比；,(2),求平面,PBC,1,与平面,ABC,所成二面角的正切值,【解】,(1),以,AB,的中点,O,为坐标原点，,建,立如图的空间直角坐标系，设三棱柱的底面,边长为,a,，高为,b,，,则,A,?,?,?,?,?,?,a,2,，,0,，,0,，,B,?,?,?,?,?
8、,?,a,2,，,0,，,0,，,B,1,?,?,?,?,?,?,a,2,，,0,，,b,，,C,1,?,?,?,?,?,?,0,，,3,2,a,，,b,.,所以,AB,1,(,a,，,0,，,b,),，,BC,1,?,?,?,?,?,?,a,2,，,3,2,a,，,b,.,因为,AB,1,BC,1,，,所以,AB,1,BC,1,0.,即,a,2,2,b,2,0,，所以,a,2,b,.,又,B,到平面,ACC,1,P,的距离,d,3,2,a,，,P,是,AA,1,中点,所以,V,四棱锥,B,-,ACC,1,P,1,3,S,梯形,ACC,1,P,d,1,3,1,2,?,?,?,?,?,?,b,2
9、,b,a,3,2,a,3,8,a,2,b,，,则平面,PBC,1,分三棱柱另一部分几何体的体积为,V,V,三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,V,四棱锥,B,-,ACC,1,P,3,4,a,2,b,3,8,a,2,b,3,8,a,2,b,.,所以平面,PBC,1,将三棱柱分成两部分的体积之比为,1,1.,(2),由,(1),知,a,2,b,，令,b,2,，则,a,2,2.,所以,B,(,2,，,0,，,0),，,C,1,(0,，,6,，,2),，,P,(,2,，,0,，,1),所以,BP,(,2,2,，,0,，,1),，,BC,1,(,2,，,6,，,2),设平面,PBC,1,的法向量
10、为,n,1,(,x,，,y,，,z,),则,?,?,?,?,?,n,1,BP,0,n,1,BC,1,0,，即,?,?,?,?,?,2,2,x,z,0,2,x,6,y,2,z,0,.,令,x,1,，得,z,2,2,，,y,3.,所以,n,1,(1,，,3,，,2,2),取平面,ABC,的一个法向量为,n,2,(0,，,0,，,1),所以,cos,n,1,，,n,2,n,1,n,2,|,n,1,|,|,n,2,|,2,2,2,3,6,3,，,所以,sin,n,1,，,n,2,3,3,.,所以,tan,n,1,，,n,2,sin,n,1,，,n,2,cos,n,1,，,n,2,3,3,6,3,2,2
11、,.,即平面,PBC,1,与平面,ABC,所成角的正切值为,2,2,.,如图所示，正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,的所有棱长都为,2,，,D,为,CC,1,的中点,(1),求证：,AB,1,平面,A,1,BD,；,(2),求二面角,(,锐角,),B,-,A,1,D,-,C,的余弦,【解】,(1),证明：如图所示，取,BC,的中点,O,，,连接,AO,.,因为,ABC,为正三角形，,所以,AO,BC,.,因为在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，,平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，,所以,AO,平面,BCC,1,B,1,.,取,B,1,C,1,的中点,O,1,
12、，以,O,为原点，以,OB,，,OO,1,，,OA,为,x,轴，,y,轴，,z,轴的正方向建立空间直角坐标系，,则,B,(1,，,0,，,0),，,D,(,1,，,1,，,0),，,A,1,(0,，,2,，,3),，,A,(0,，,0,，,3),，,B,1,(1,，,2,，,0),BA,1,(,1,，,2,，,3),，,BD,(,2,，,1,，,0),设平面,A,1,BD,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,因为,n,BA,1,，,n,BD,，,故,?,?,?,?,?,n,BA,1,0,，,n,BD,0,?,?,?,?,?,?,x,2,y,3,z,0,，,2,x,y,0.,令,x,
13、1,，得,y,2,，,z,3,，,故,n,(1,，,2,，,3),为平面,A,1,BD,的一个法向量，,而,AB,1,(1,，,2,，,3),，所以,AB,1,n,，即,AB,1,平面,A,1,BD,.,(2),因为,A,(0,，,0,，,3),，,C,(,1,，,0,，,0),，,C,1,(,1,，,2,，,0),所以,CA,(1,，,0,，,3),，,CC,1,(0,，,2,，,0),设平面,ACC,1,A,1,的法向量为,m,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),则,?,?,?,?,?,m,CA,0,m,CC,1,0.,即,?,?,?,?,?,x,1,3,z,1,0,2,y,1,0,.
14、,令,z,1,1,，则,m,(,3,，,0,，,1),由,(1),知，平面,A,1,BD,的一个法向量为,n,(1,，,2,，,3),所以,cos,m,，,n,m,n,|,m,|,|,n,|,3,1,0,2,1,（,3,）,（,3,）,2,0,2,1,2,1,2,2,2,（,3,）,2,6,4,.,所以所求的二面角,(,锐角,B,-,A,1,D,-,C,),的余弦值为,6,4,.,空间向量的综合应用,问题展示,(,选修,2-,1 P119,复习参考题,B,组,T3),如图，在四,棱锥,S,-,ABCD,中，底面,ABCD,是直角梯形，,AB,垂直于,AD,和,BC,，侧棱,SA,底面,ABCD
15、,，且,SA,AB,BC,1,，,AD,0.5.,(1),求四棱锥,S,-,ABCD,的体积；,(2),求面,SCD,与面,SAB,所成二面角的余弦值,【解】,(1),V,S,-,ABCD,1,3,S,梯形,ABCD,SA,.,1,3,1,2,(0.5,1),1,1,1,4,.,(2),由题意可建立如图的空间直角坐标系，,由,SA,AB,BC,1.,AD,0.5,得,A,(0,，,0,，,0),，,B,(0,，,1,，,0),，,C,(1,，,1,，,0),，,D,?,?,?,?,?,?,1,2,，,0,，,0,，,S,(0,，,0,，,1),则平面,SAB,的一个法向量为,AD,?,?,?,
16、?,?,?,1,2,，,0,，,0,.,SD,?,?,?,?,?,?,1,2,，,0,，,1,，,SC,(1,，,1,，,1),设平面,SCD,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),由,?,?,?,?,?,n,SD,0,，,n,SC,0,得,?,?,?,?,?,1,2,x,z,0,x,y,z,0.,令,z,1,，得,x,2,，,y,1.,所以,n,(2,，,1,，,1),所以,cos,AD,，,n,AD,n,|,AD,|,|,n,|,1,2,2,0,（,1,）,0,1,1,2,6,6,3,.,即面,SCD,与面,SAB,所成二面角的余弦值为,6,3,.,如图,1,，在,Rt,ABC,中，
17、,C,90,，,AC,4,，,BC,2.,E,，,F,分别在,AC,和,AB,上，且,EF,CB,.,将它沿,EF,折起，且平面,AEF,平面,EFBC,.,且四棱锥,A,-,EFBC,的体积为,2.,(1),求,EF,的长；,(2),当,EF,的长度为整数时，,求,AC,与平面,ABF,所成角的正弦,值,【解】,(1),因为,EF,CB,，,C,90,，,所以,CE,EF,，,AE,EF,.,又平面,AEF,平面,EFBC,，,CE,?,平面,EFBC,.,所以,CE,平面,AEF,.,所以,CE,AE,.,又,CE,EF,E,.,CE,，,EF,?,平面,EFBC,.,所以,AE,平面,E
18、FBC,.,设,EF,x,，由于,EF,CB,，,AC,4,，,BC,2,，在图,1,中，,所以,AE,AC,EF,CB,.,即,AE,AC,EF,CB,4,x,2,2,x,.,V,A,-,EFBC,1,3,S,梯形,EFBC,AE,1,3,1,2,(,x,2)(4,2,x,),2,x,2,x,3,8,x,3,，,x,(0,，,2),由题意得,2,x,3,8,x,3,2,，即,x,3,4,x,3,0,，,即,(,x,1)(,x,2,x,3),0.,所以,x,1,或,x,1,13,2,，即,EF,1,或,EF,1,13,2,.,(2),当,EF,的长度为整数时，由,(1),知,EF,1,，建立如
19、图所示的,空间直角坐标系，,则,A,(0,，,0,，,2),，,B,(2,，,2,，,0),，,C,(0,，,2,，,0),，,F,(1,，,0,，,0),AC,(0,，,2,，,2),，,AB,(2,，,2,，,2),，,AF,(1,，,0,，,2),设平面,ABF,的法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,由,?,?,?,?,?,n,AB,0,，,n,AF,0,得,?,?,?,?,?,2,x,2,y,2,z,0,x,2,z,0,.,令,z,1,，则,x,2,，,y,1,，,所以,n,(2,，,1,，,1),，设,AC,与平面,ABF,所成的角为,，,则,sin,?,?,?,?,?,?,
20、?,?,|,AC,n,|,|,AC,|,|,n,|,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,2,（,1,）（,2,）,1,2,2,6,3,3,.,所以,AC,与平面,ABF,所成角的正弦值为,3,3,.,1.,已知正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，如图所示，,E,为上底面,A,1,C,1,的中心，,若,AE,AA,1,xAB,yAD,，,则,x,，,y,的值分别为,(,),A,x,y,1,B,x,1,，,y,1,2,C,x,y,1,2,D,x,1,2,，,y,1,解析：选,C.,由向量的三角形运算法则知,AE,AA,1,A,1,E,.,而,A,1,E,1,2,A,1,C,
21、1,，,A,1,C,1,AB,BC,，,又,AC,A,1,C,1,，,AD,BC,，所以,A,1,C,1,AB,AD,，,所以,AE,AA,1,1,2,AB,1,2,AD,，,所以,x,y,1,2,.,2.,如图，在空间直角坐标系中有直三棱,柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,，,CA,CC,1,2,CB,，则,直线,BC,1,与直线,AB,1,夹角的余弦值为,(,),A.,5,5,B.,5,3,C.,2,5,5,D.,3,5,解析：,选,A.,不妨设,CA,CC,1,2,CB,2,，,则,A,(2,，,0,，,0),，,B,(0,，,0,，,1),，,B,1,(0,，,2,，,1),，,
22、C,1,(0,，,2,，,0),，所以,AB,1,(,2,，,2,，,1),，,BC,1,(0,，,2,，,1),，从而,cos,AB,1,，,BC,1,AB,1,BC,1,|,AB,1,|,BC,1,|,（,2,）,0,2,2,1,（,1,）,9,5,5,5,，,所以直线,BC,1,与直线,AB,1,夹角的余弦值为,5,5,.,3,已知向量,e,1,，,e,2,，,e,3,是三个不共面的非零向量，且,a,2,e,1,e,2,e,3,，,b,e,1,4,e,2,2,e,3,，,c,11,e,1,5,e,2,e,3,，,若向量,a,，,b,，,c,共面，则,_,解析：因为,a,，,b,，,c,共
23、面，所以存在实数,m,，,n,，使得,c,ma,nb,，则,11,e,1,5,e,2,e,3,(2,m,n,),e,1,(,m,4,n,),e,2,(,m,2,n,),e,3,，则,?,?,?,?,?,2,m,n,11,m,4,n,5,m,2,n,，解得,?,?,?,?,?,m,7,n,3,1,.,答案：,1,4,如图，,四边形,ABCD,为正方形，,PD,平面,ABCD,，,DPC,30,，,AF,PC,于点,F,，,FE,CD,，交,PD,于点,E,.,(1),证明：,CF,平面,ADF,；,(2),求二面角,D,-,AF,-,E,的余弦值,解：,(1),证明：因为,PD,平面,ABCD,
24、，,AD,?,平面,ABCD,，,所以,PD,AD,.,又因为,CD,AD,，,PD,CD,D,，,所以,AD,平面,PCD,.,又因为,PC,?,平面,PCD,，所以,AD,PC,.,又因为,AF,PC,，,AD,AF,A,，,所以,PC,平面,ADF,，即,CF,平面,ADF,.,(2),设,AB,1.,在,Rt,PDC,中，,CD,1,，,DPC,30,，,所以,PC,2,，,PD,3,，,PCD,60,.,由,(1),知,CF,DF,，,所以,DF,CD,sin 60,3,2,，,CF,CD,cos 60,1,2,.,因为,FE,CD,，所以,DE,PD,CF,PC,1,4,，,所以,
25、DE,3,4,.,同理,EF,3,4,CD,3,4,.,如图，,以,D,为坐标原点，,分别以,DP,，,DC,，,DA,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴,建立空间直角坐标系，,则,A,(0,，,0,，,1),，,E,?,?,?,?,?,?,3,4,，,0,，,0,，,F,?,?,?,?,?,?,3,4,，,3,4,，,0,，,P,(,3,，,0,，,0),，,C,(0,，,1,，,0),AE,?,?,?,?,?,?,3,4,，,0,，,1,，,EF,?,?,?,?,?,?,0,，,3,4,，,0,.,设,m,(,x,，,y,，,z,),是平面,AEF,的法向量，则,?,?,?,?,?,m
26、,AE,，,m,EF,.,所以,?,?,?,?,?,m,AE,3,4,x,z,0,，,m,EF,3,4,y,0,，,令,x,4,，则,z,3,，,m,(4,，,0,，,3),由,(1),知平面,ADF,的一个法向量为,PC,(,3,，,1,，,0),，,设二面角,D,-,AF,-,E,的平面角为,，可知,为锐角，,故,cos,|cos,m,，,PC,|,|,m,PC,|,|,m,|,PC,|,4,3,19,2,2,57,19,.,故二面角,D,-,AF,-,E,的余弦值为,2,57,19,.,5.,如图所示，在四棱锥,P,-,ABCD,中，底面,四边形,ABCD,是菱形，,AC,BD,O,，,
27、PAC,是边长为,2,的等边三角形，,PB,PD,6,，,F,为,AP,上一点，且,AP,4,AF,.,(1),求证：,PO,底面,ABCD,；,(2),求直线,CP,与平面,BDF,所成角的大小,解：,(1),证明：因为底面,ABCD,是菱形，,AC,BD,O,，,所以,O,是,AC,，,BD,的中点,又,PA,PC,，,PB,PD,，,所以,PO,AC,，,PO,BD,.,又,AC,BD,O,，,所以,PO,底面,ABCD,.,(2),由底面,ABCD,是菱形，可得,AC,BD,，,又由,(1),，知,PO,AC,，,PO,BD,.,如图，连接,OF,，以,O,为坐标原点，以射线,OA,，
28、,OB,，,OP,分,别为,x,，,y,，,z,轴的正半轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,.,由,PAC,是边长为,2,的等边三角形，,PB,PD,6,，,可得,OA,1,，,PO,3,，,OB,OD,3.,所以,O,(0,，,0,，,0),，,A,(1,，,0,，,0),，,C,(,1,，,0,，,0),，,B,(0,，,3,，,0),，,P,(0,，,0,，,3),，,所以,CP,(1,，,0,，,3),，,OB,(0,，,3,，,0),，,OA,(1,，,0,，,0),，,AP,(,1,，,0,，,3),由,AP,4,AF,，,可得,OF,OA,1,4,AP,?,?,?,?,?,?,3,
29、4,，,0,，,3,4,.,设平面,BDF,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,则,?,?,?,?,?,n,OB,0,n,OF,0,，即,?,?,?,?,?,3,y,0,3,4,x,3,4,z,0,.,令,x,1,，则,z,3,，所以,n,(1,，,0,，,3),因为,cos,CP,，,n,CP,n,|,CP,|,n,|,1,1,0,3,（,3,）,1,2,0,2,（,3,）,2,1,2,0,2,（,3,）,2,1,2,，,所以直线,CP,与平面,BDF,所成角的正弦值为,1,2,，,所以直线,CP,与平面,BDF,所成角的大小为,30,.,本部分内容讲解结束,按,ESC,键退出全屏播放,
