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1、理 财 计 算 基 础,学习目标,1，熟悉概率、随机变量、分布、统计量、投资收益、风险计算2，掌握简单的概率和统计计算；3，掌握理财产品的收益和风险计算方法。,一、随机事件,概率是度量某一事件发生的可能性的方法。它的值介于0和1之间。概率分布是不确定事件发生的可能性（概率）的数学模型。“试验”就是一次行动；“样本”某一项结果：“样本空间”各项结果的集合；“随机事件”试验的整个过程。玩骰子例子,第一节 概率基础,二、概率,（一）概率的应用方法1、古典概率或先验概率方法：当可能的不确定结果的范围是已知的和具有等可能性的情况下，可以应用古典概率或先验概率的方法。即我们可以应用逻辑判断来确定每种可能的
2、概率。如果一共可能发生n个事件，所有事件发生的概率都相等（即等可能性），那么，每个事件发生的概率都是1/n。P（A）=事件A中包含的等可能结果的个数/等可能结果的总数例题：玩骰子,2、统计概率方法：通过观察发生频率的方法来寻找其内在的规律的方法被称为统计概率。在某种情况下，给定结果Z的概率P(Z)，它是用出现的次数除以试验的总次数得到的比率来计算的。P(A)=Z出现的次数/试验的总次数例题：股价上升概率,3、主观概率方法,当一些概率不能由等可能性来计算，也不可能从实验得出，比如，某家上市公司明年盈利的概率和央行最近3个月加息的概率。但是根据常识、经验和其它相关因素来判断，理财规划师可能说出一个
3、概率，这种概率称为主观概率。可以认为主观概率是某人对某事件发生或者对某断言真实性的自信程度。,（二）基本概率法则,1、互补事件的概率：P（A）P（B）1 如果一个事件出现，而另一个事件肯定不出现，那么这两个事件互为对方的互补事件。比如央行加息的概率是20%，那么不加息概率就是1-20%=80%。显然互补事件的概率和等于1。,2、加法应用于不相关事件的加法法则P（A+B）=P（A）+P（B）应用于相关事件的加法法则P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）3、乘法应用于独立事件P（AB）=P（A）P（AB）=P（AB）=P（A）P（B）应用于非独立事件P（AB）=P（A B）=P（A）P（BA
4、）P（BA）=P（AB）/P（A）,基本概率法则（4）,比如某只股票的价格今天上涨的概率为30%。而同昨日持平的概率为10%，那么这只股票今天不会下跌的概率是比如某人有一部手机和一部座机，假如手机出现故障的概率是0.05，座机出现故障的概率的是0.01，那么两部电话同时出现故障的概率就是,第二节 统计基础,在统计学中把研究对象的某项数值指标的值的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体。一般情况下在研究总体的特征时不会调查到所有个体，因此经常从总体中抽取一部分个体作为集合进行研究，这个集合就是样本。样本中的个体的数目叫做样本量。根据统计表的维数可以分为二维统计表和高维的统计表，三维或三维以上的统
5、计表都可以称为高维统计表。,三维统计表示例,第一单元 统计表和统计图,二维统计表示例,四种典型的统计图（1）,直方图是理财方案中运用较多的统计图。,散点图经常用来描述时间序列的数据，从图中可以看出各个时期数据的波动情况。如19862001年国内生产总值的散点图。,饼状图通常用来描绘总体中各个部分的比例。如某投资者资产配置的饼状图。,盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。日K线是根据股价一天的走势中形成的四个价位，即：开盘价、收盘价、最高价、最低价绘制而成的。阳线阴线 最高价 最高价收盘价 开盘价开盘价 收盘价 最低价 最低价,一、平均数,平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值
6、相对集中的中心位置。平均数主要包括算术平均数、几何平均数、中位数、众数等。,第二单元 常见的统计量月日,1、算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，记为X。根据样本大小及分组情况而采用直接法和加权法计算。（1）直接法：设一组资料包括n个观测值：x1、x2、xn，则样本的平均数为 X=(x1+x2+。+xn)/n=X/n,例5、某只股票连续5天的收盘价分别为：7.25元,7.29元,7.36元,7.26元,7.27元。求该股票这五天的平均值。（7.25+7.29+7.36+7.26+7.27）/5=7.286元,(2)加权法：对于样本含量n30以上且已分组的资料，可以采用加权法
7、计算平均数。X=(f1x1+f2x2+。+fkxk)/(f1+f2+fk)=fx/f,例6、某一地区有融资债券1500种，平均价为750元，而另一地区有1200种，平均价为725元，如果将这两个地区的债券混合在一起，平均价格为多少？,（1500750+1200725）/（1500+1200）=738.89元,（二）几何平均数 n个观测值相乘之积开n次方所得的方根，称为几何平均数，记为G。它主要应用于股票、债券、基金等证券市场的统计分析，用几何平均数比用算术平均数更能代表平均水平。（复利计算）G=(x1x2 x3 xn)1/n nr=(1+r1)(1+r2)(1+r3)(1+rn)-1,例7、某
8、国内股票市场19972000年各年度的股票数如下，求其年平均增长率。,G=(x1x2 x3 xn)1/n=(0.4290.40.25)1/3=0.3501=35.01%,3、中位数将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数。（1）当观测值个数为奇数时，（n+1)/2位置的观测值，即X(n+1)/2为中位数。中位数=X(n+1)/2（2）当观测值个数为偶数时，n/2 和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：中位数=（Xn/2+X(n/2+1）/2,例8、理财规划师分析期权市场9个不同的期权价格，分别为144、145、147、149、150、151、15
9、3、156、157元，求其中位数。,例9、某股票市场随机抽取10只股票，其价格分别为7、8、9、10、11、12、13、14、15 16元，求其中位数。,4、众数 样本中出现最多的变量值称为众数。众数反映的信息不多，又不一定惟一，在连续变量的情况，还很有可能没有众数。因此用的不如平均数和中位数普遍。,例10，理财规划师随机挑选8种股票，其价格分别为60、63、65、65、71、65、68、78元，求其众数。因65元出现的次数为3次，所以65元为众数。,（五）数学期望,1、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望 EX=X k P k.k=1,例题：投一颗六面的骰子，得到点数的数学期望
10、为：6EX=X k P k k=1=11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6=3.5,例题：理财规划师预计某种投资产品呈现20%的概率是0.25，出现10%的概率是0.5，出现-4%的概率是0.25，那么该产品的投资收益率的数学期望则是多少？3EX=X k P k k=1=20%0.25+10%0.5+(-4%)0.25=0.09=9%,（六）方差与标准差（越小越好）越大说明风险较大,21、方差：D(x)=E(Xn-E(X)Pn2、标准差：方差的平方根,例题：理财规划师预计某种投资产品收益呈现20%的概率是0.25，收益出现10%的概率是0.5，收益出现-4%的概率是0.25
11、，那么该产品的投资收益率的方差则是多少？EX=20%0.25+10%0.5+(-4%)0.25=0.09=9%DX=(20%-9%)2 0.25+(10%-9%)2 0.5+(-4%-9%)20.25=0.0073 标准差是方差的平方根。0.0073的平方根是0.085或8.5%,（七）样本方差和样本标准差,1、样本方差：S2=1/(n-1)(Xi-X)2 样本方差是由各观测值到均值距离的平方和除以样本量减1，而不是直接除以样本量，这与随机变量数字特征中的方差的定义不同。,例11、某只股票连续5天的收盘价分别为：7.25元,7.29元,7.36元,7.26元,7.27元。求该股票这五天的样本方
12、差。,X=(7.25+7.29+7.36+7.26+7.27)/5=7.286S2=1/(n-1)(Xi-X)2=1/(5-1)(7.25-7.286)2+(7.29-7.286)2+(7.36-7.286)2+(7.26-7.286)2+(7.27-7.286)2=0.00193,2、样本标准差,S=1/(n-1)(Xi-X)2 样本标准差是样本方差的平方根。它度量的是样本中各个数值到均值距离的一种平均。上例中，样本的标准差是0.044。,（八）协方差,对于二元随机变量（X,）,称数值E(X-EX)(-E)为X和的协方差，记作cov(X,)，即 Cov(X,)=E(X-EX)(-E)（九）相
13、关系数 Cov(X,)DX D,第二单元 收益率的计算,收益率是指投资金融工具所带来的收益与本金的比率。衡量各种投资工具的收益大小就需要计算各种收益率。对理财规划师来说，收益率的正确估算是做好理财规划的重要一步。常用的收益率有预期收益率、持有期收益率、投资组合收益率、内部收益率及贴现率等。,第三节 收益与风险,一、预期收益率的计算,预期收益率的计算公式来源于概率期望的原理，定义如下：预期投资收益率E(Ri)=(收益率的概率)(可能的收益率)=P1R1+P2R2+PnRn=PiRi,预期收益率的计算,例13、某投资项目在经济运行良好的环境中，下一年的收益率将达到20%，而经济处于衰退时，收益率可
14、能是-20%，如果经济仍然像现在这样运行，收益率是10%，根据历史推测，各阶段概率如下表：计算其下年的投资收益率。,预期投资收益率E(Ri)=0.200.15+(-0.20)0.15+0.100.70=0.07,二、投资组合收益率的计算,投资组合收益率是指几个不同投资项目依据不同的权重而计算的加权平均，公式如下：E(Ri)=WiE(ri).Wi为单项投资在所有组合中的权重。,投资组合收益率的计算,例15、在一份投资组合中，单项投资权重如下表，计算其投资组合收益率。,E(Ri)=WiE(ri)=60%10%+40%12%=0.108=10.8%,三、内部收益率的计算,内部收益率（IRR）是使某一
15、投资的期望现金流入现值等于该投资的现金流出现值的收益率。也可被定义为使该投资的净现值为零的折现率。该计算只要求识别与该投资相关的现金流，不涉及任何外部收益率（如市场利率）。公式为：0=CF0+CF1/(1+IRR)+CFT/(1+IRR)T 式中，CF0代表了初始投资成本，因而是一个负值。在使用时，遵循的准则是：接受IRR大于公司要求的回报率的项目；拒绝IRR小于公司要求的回报率的项目。,内部收益率的计算,1、货币加权的收益率是指在一个投资组合中，考虑了所有现金流入和流出，计算出来的收益率。,例16、一个投资者在时刻0买了一股100元的股票，在第一年末又用120元买了一股，在第二年末，他以每股
16、130元全部卖出。在持有期的每一年年末，每股支付2元红利。求货币加权的收益率。PVin=Pvout，即流入现金的现值=流出现金的现值。100+120/（1+r)=2/(1+r)+264/(1+r)2,求出r=13.86%,内部收益率的计算,2、时间加权的收益率，度量的是收益的复合增长，1元的利息按复利增长的速度。其计算步骤是：（1）计算投资组合的价值，把持有期划分为若干个子时期；（2）计算每个子时期的持有期收益率（HPR);(3)计算整个期间的持有期收益率。公式：1+HPR=(1+HPR1)(1+HPR2)(1+HPRT)注意：如果投资期间超过一年，必须计算该期间收益的几何平均数。,内部收益率
17、的计算,例17、在t=0时以100元购买一股股票，在第一年末（t=1）以120元又购买了一股。在第二年末（t=2）以130元将全部股票卖出。并且每年年末每股股票支付股息2元。计算该投资的时间加权收益率。HPR1=（120+2-100）/100=0.22 HPR2=（260+4-240）/240=0.10(1+HPR)2=(1+HPR1)(1+HPR2)=(1+0.22)(1+0.10)=1.34 HPR=15.84%,四、持有期收益率的计算,投资的目的在于放弃目前的消费以谋求将来更多的消费。当讨论投资回报时，投资人会关心他的财富是否增值了。持有期收益率是衡量持有某一投资工具一段时间所带来的总收
18、益，总收益不仅包括利息收入，也包括资本利得或损失。计算公式为：HPRt=(Pt-Pt-1+Dt)/Pt-1 其中 Rt=在第t期的持有期收益率；Pt=在第t期证券的市场价格；Pt-1=在第t-1期证券的市场价格；Dt=在第t期发放的现金收入。,持有期收益率的计算,例14、在年初投资100元的股票，持有期所得红利为10元，到年底以110元卖出，则回报率是多少？HPRt=(Pt+Dt-Pt-1)/Pt-1=（10+110-100）/100=0.2 持有期回报率是20%。,五、到期收益率,P599,六、当期收益率P600,七贴现率的计算,纯贴现工具（如国库券、商业票据、银行承兑票据）在市场上都用收益
19、率（而不是买卖差价）进行报价，用到的收益率就是银行的贴现率。公式为：rBD=D/F360/n 式中，rBD=银行年贴现率；D=贴现值；F=面值；n=距离到期日的天数。贴现率计算的三个特点：（1）银行贴现率使用贴现值做为面值；（2）按着银行惯例，采用360天做为一年的总天数；（3）在计算中，暗含的假设是采用单利形式。,贴现率的计算,例18、面值为100000的国债，市场价格为98500，距离到期日还有120天，计算银行的贴现率。rBD=D/F360/n=（100000-98500）/100000 360/120=4.50%,八、必要收益率,必要收益率无风险收益率风险收益率,第三单元 风险的度量概
20、述,风险是指某种事件发生的不确定性。只要某一事件的发生存在着两种或两种以上的可能性，那么就认为该事件存在着风险。风险包括宏观经济风险、财务风险、人身风险等。风险的度量在理财计算中具有非常重要的地位。下面主要介绍两种风险度量方法。,一、概率法,衡量投资风险的大小，可以利用概率分析法，通过计算投资收益率的期望值及其标准差和变异系数来进行。其计算和评价程序如下：（1）预测各种可能的投资结果（随机变量）及其相应的概率；（2）计算期望值；（3）计算标准差；（4）计算标准变异率；（5）评价。,期望值、方差与标准差的特性 选用各个偏差的平方的平均数来描述一组数据偏离其平均数的大小，就是方差的概念。方差越大，
21、这组数据就越离散，数据的波动也就越大；方差越小，这组数据就越聚合，数据的波动也就越小。评价时，如果两个不同的投资方案的期望值相同，则标准差大者投资风险大，标准差小者投资风险小；如果两个不同投资方案的期望值不同，则标准变异率大者投资风险大，标准变异率小者投资风险小。,二、变异系数,变异系数有时候，两个可供选择的投资方案具有不同的收益率和标准差，这时候就需要用变异系数来衡量风险的大小。变异系数=标准差/预期收益，变异系数越小越好,例、项目A,B的收益率和标准差如下，试比较两项目优劣。,项目的变异系数.07/0.05=1.4项目B的变异系数.12/0.07=1.71 显然，A优于B。,例、已知在A股
22、市场上股票甲2005年平均价格为190元，标准差为10.5，在B股市场上股票乙的平均价格为196元，标准差为8.5，试问股票甲和乙哪一个在2005年股票价格变异程度大？A股市场股票甲变异系数=10.5/190100%=5.53%B股市场股票乙变异系数=8.5/196100%=4.34%股票甲的变异程度大于股票乙，甲风险程度大于乙。,三、贝塔系数,对于证券投资市场而言，可以通过计算系数来估测投资风险。系数是一种用来测定一种股票的收益受整个股票市场（市场投资组合）收益变化影响程度的指标。它可以衡量出个别股票的市场风险（或称系统风险），而不是公司的特有风险。其数学形式是：i iM/M2式中i股票I的系数；iM 股票i与市场投资组合M之间的协方差；M2 市场投资组合M的方差。,风险的度量方法贝塔系数,系数的意义：（），说明其风险与市场的平均风险相同；（），说明其风险大于市场的平均风险；（），说明其风险小于市场的平均风险。由于证券的特有风险可以通过投资组合的方式分散掉，市场风险就成了投资人关注的焦点，因此系数就成为证券投资决策的重要依据。,
