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1、3.2 无阻尼自由振动实例,以挂上m后新平衡位置为坐标原点O,向下为正方向,3.2.1 竖直弹簧振子,满足简谐振动的动力学方程,在ox系中，微分方程为：,3.2.2 单摆,则在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：,当 时,J为m绕O点转动的转动惯量。,3.2.3 复摆（物理摆）Compound pendulum（Physics Pendulum）,可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率与周期为,当 时,将弹簧振子放在斜面上振动,其频率是否变化?,将单摆放在月球上摆动,其频率是否变化?,问题:,例1 倔强系数分别为k1、k2的两根弹簧 和质量为m的物体相连（如
2、图），求该系统的振动周期。,解：设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别 为x1和x2，则 k1x1=k2x2。以平衡位置为原点，向右为x轴正方向，得,化简得,则该系统的固有角频率为,振动周期为,讨论：,（2）弹簧的并联the springs in parallel connection,3.3 简谐振动的能量,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒,以弹簧振子为例,（振幅的动力学意义）,3.4 简谐振动的合成Superposition of Simple Harmonic Motion,若某一质点同时参加了两个简谐振动，且二振动方向沿同一直线，且具有相同频率，振幅和初相位分别为A1、A2、
3、1、2，则二振动方程为,3.4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成same direction and same frequency,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动,1、旋转矢量法Method of reference circle,合运动方程,2、解析法Analytical method,式中：,1）相位差,2）相位差,3）一般情况,二 多个同方向同频率简谐运动的合成,多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动,2）,1）,个矢量依次相接构成一个闭合的多边形.,2、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1=0.05 m和A2=0.07 m，它们合成为一个振幅为A=0.09 m
4、的简谐振动则这两个分振动的相位差为_rad,1.47,10,3、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个简谐振动的相位差为f f1=p/6若第一个简谐振动的振幅为 cm，则第二个简谐振动的振幅为_ cm，第一、二两个简谐振动的相位差f1-f2为_,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,3.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成the same direction but different frequencies,讨论,的情况,方法一,方法二：旋转矢量合成法,（拍在声学和无线电技术中的应用）,3.4.3 两个相互垂直
5、的同频率简谐运动的合成same frequency and mutually perpendicular directions,质点运动轨迹,1）或,（椭圆方程）,2）,3）,用旋转矢量描绘振动合成图,3.4.4 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,一般是复杂的运动轨道，不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论,(1)2-10,视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下页所示图形依次的循环变化。,其中当 0=20-10 时是顺时针旋转；当=20-10 2 时是逆时针旋转。,(2)如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭
6、曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,3.5.1 阻尼振动Damped,阻尼力,固有角频率,阻尼系数,b）过阻尼,a）欠阻尼,c）临界阻尼,3.5.2 受迫振动Forced Oscillations,3.5.3 共振Resonance,单摆1作垂直于纸面的简谐运动时，单摆5将作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动.,共振现象的危害,1940 年7月1日美
7、国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌,华盛顿州耗资640万美元新造的这座悬索大桥，享有世界单跨桥之王的称号。然而从1940年7月1日大桥通车的那天起，桥在结构上就明显存在问题，当风速达到每小时57公里时，桥面就有1.2米高的起伏。11月7日上午10点，风速增加到每小时64公里，大桥开始歪扭、翻腾，桥基被拖得歪来歪去，左右摆动达45度，最后，随着震耳欲聋的巨响，一头栽进了海峡。11月7日凌晨7点，顺峡谷刮来的风带着人耳不能听到的振荡，激起了大桥本身的谐振。在持续3个小时的大波动中，整座大桥上下起伏达1米多。10点时振动变得更加强烈，幅度之大令人难以置信。数千吨重的钢铁大桥像一条缎带一样以8.5米的振幅左右来回起伏飘荡。桥面振动形成了高达数米的长长波浪，在沉重的结构上缓慢爬行，从侧面看就像是一条正在发怒的巨蟒。经研究，大桥是毁于共振。流动的空气在绕过障碍物时会迫使其产生振动，当振动达到一定程度时就会引起障碍物的共振，共振使振幅逐渐增大。对于悬索桥来说，当桥面距离水面较高时，风力就会使它们发生振动。,练习题,
