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1、信号与线性系统,第 15讲教材位置:第6章 连续时间系统的系统函数 6.6内容概要:系统的稳定性,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,2,开讲前言-前讲回顾,系统函数的定义系统函数的表示方法频率特性、复轨迹、极点零点图重点介绍极零图的表示方法系统函数极点零点分布与系统稳定性右半平面极点系统不稳定左半平面极点系统稳定虚轴极点特殊考虑系统函数极点零点分布与系统频率特性系统函数极点零点的矢量表示极点零点附近的幅度、相位特征,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,3,开讲前言本讲导入,系统稳定性判断的意义无源系统稳定有源系统不一定稳定有源反馈系统，稳定性是设计中重要问题稳定性的定义从直观
2、感性的认识到严格数学的定义稳定性的判定响应形式的分析工程判定方法,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,4,6.6系统的稳定性,1、系统的稳定及其条件时域分析稳定系统的定义：对于有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应。若|e(t)|Me 0 t 则|r(t)|Mr 0 t 其中 Me 和 Mr 为有限的正实数。根据卷积积分 r(t)=h(t)e(t)|r(t)|h(t)e(t)|有限，所以也有限，于是对稳定系统，冲激响应函数满足绝对可积条件。,|h(t)e(t)|Me=,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,5,6.6系统的稳定性,频域分析稳定系统：若 H(s)全部极点落于
3、s 左半平面（不含虚轴），则可以满足，系统稳定；不稳定系统：若 H(s)极点落于 s 右半平面或在虚轴上具有二阶以上的极点，则在足够长时间以后，h(t)仍继续增长，系统是不稳定的；临界稳定系统：若 H(s)的极点位于 s 平面的虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间以后,h(t)趋于一个非零的有限值或形成一个等幅振荡,此为临界稳定系统。稳定系统的一个重要性质稳定系统的 H(s)分子多项式的幂次 m 最多只能比分母多项式的幂次 n 高一次，即 m n+1。若 m n，s 在无穷大处有（m n）阶极点，而无穷大在虚轴上，稳定系统在虚轴上不能有重阶极点，故有 m n 1，既得 m n+1。,2023/3
4、/19,信号与线性系统第15讲,6,6.6系统的稳定性,反馈系统E(s)G(s)=Y(s)R(s)H(s)Y(s)G(s)=Y(s)R(s)G(s)=Y(s)1+H(s)G(s)这里 T(s)是整个反馈系统的系统函数，G(s)H(s)为开环转移函数。,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,7,6.6系统的稳定性,2、通过转移函数，初步判定系统的稳定性稳定系统的极点必须位于S的左半平面内极点位于虚轴上称为临界稳定.极点位于S右半平面上不稳定.稳定系统在虚轴上只能有单阶极点.在复变函数理论中,s=0,s=的点都落在虚轴上.当mn时,s时,虚轴上就会有m-n阶极点,为保证系统稳定m-n=1,只
5、有一阶极点。,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,8,6.6系统的稳定性,多项式分解，用系数判定系统的稳定性（必要条件）将H(s)的分母D(s)多项式分解，稳定系统只出现：(s+a)实根，(s2+bs+c)复根，(s2+d)虚根。（a、b、c、d为正）多项式 系数ana0都应为正值(或全部为负值）D(s)多项式从最高次幂排列到最低次幂应无缺项，仅允许a0=0。此时有一零根系统临界稳定的必要条件若D(s)缺全部的偶次项(包括a0项)，或缺全部的奇次项。系统临界稳定的必要条件,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,9,6.6系统的稳定性,特征多项式系数进行的判定是必要性判定不满足上述
6、条件的，系统肯定不稳定满足上述条件，系统不能保证稳定举例2s3+s2+s1+6=0符合第一条件，全部系数同号，没有缺失项但是此方程的三个根分别为,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,10,6.6系统的稳定性,3、罗斯-霍维茨(RH)判据若 D(s)=a ns n+a n-1s n-1+a 1s+a 0 D(s)方程式的根全部位于 s 左半平面的必要条件是：多项式的全部系数都是正值（或均为负值）且无缺项.充分必要条件是：罗斯阵列中第一列数字（或称元素）符号相同。罗斯阵列的排写规则：（1）将 D(s)的所有系数按如下顺序排成两行。,a n,a n-1,a n-2,a n-3,a n-4,a
7、 n-5,a n-6,a n-7,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,11,6.6系统的稳定性,（2）罗斯阵列,头两行为,A n=a n,A n-1=a n-1,Bn=a n-2,B n-1=a n-3,C n=a n-4,-,下面各行按如下公式计算：,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,12,6.6系统的稳定性,这样构成的阵列共有（n+1）行，且最后两行都只有一个元素。第一列称为罗斯数列。观察罗斯阵列中第一列数字有无符号变化，若有，则系统不稳定；反之，系统是稳定的。罗斯定理：在罗斯数列中，若各数字符号不尽相同，则顺次计算符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的根数。,各元素的
8、一般递推式为,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,13,6.6系统的稳定性,例题：判断下列方程是否有实部为正的根。解：该方程的罗斯阵列为可见方程有两个具有正实部的根，且可判定此特征方程对应的系统不稳定。,2s3+s 2+s+6=0,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,14,6.6系统的稳定性,例题：有反馈系统如图所示，其中 H(s)=1 时，称为全反馈。问K为何值系统稳定？解：该反馈系统的系统函数为,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,15,6.6系统的稳定性,所以，系统的特征方程为：它的罗斯阵列为：分析阵列知系统稳定条件为：合并两个不等式，得到,s 3+5 s 2+4
9、s+K=0,0 及 K 0,0 K 20,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,16,6.6系统的稳定性,4、罗斯阵列排写过程的两种特殊情况（1）罗斯阵列中出现某一行的第一列元素为零（即 Ai=0），而其余元素又不全为零。例：s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0求解：S5 1 4 2S4 1 4 2S3 0 1 0 此行用 1 0 来代替 0 1 0，1 0 继续排列罗斯表S2 1 0S1 0 0S0 1 0 0,符号改变,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,17,6.6系统的稳定性,（2）罗斯阵列未排完时出现某一行元素全部为零，系统不稳定或临界稳定，具体确定还要采用辅助多项
10、式分析。全零行前一行的元素组成辅助多项式辅助多项式的导数的系数代替全零行再继续排列罗斯阵列增加判断虚轴上面的极点是否单极点，才能最后决定系统稳定性例题：D(s)=s3+4s2+2s+8=0 S3 1 2 S2 4 8 S1 0 0 利用全零行上一行系数组成辅助多项式 8 0 P(s)=4s2+8 求导得到 P(s)=8s+0 S0 8 解P(s)=0，得到s=jRH数列无符号变化，S右半平面无极点，虚轴上面为共轭单极点系统临界稳定,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,18,本讲小结,稳定性定义稳定性时域分析冲击响应满足绝对可积条件稳定性复频域分析系统函数极点在复频域位置与系统稳定根据系
11、统函数判断稳定性特征方程系数与系统稳定的必要性条件R-H判断方法系统稳定性的充要条件,信号与线性系统,第 15 次课外作业教材习题:6.14、6.15,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,20,课堂作业讲解,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,21,课堂作业讲解,（1）cos用欧拉公式展开即可采用频移性质,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,22,课堂作业讲解,（2）利用频域微分性质,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,23,课堂作业讲解,（3）时域微分和频域微分性质的综合使用,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,24,课堂作业讲解,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,25,课堂作业讲解,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,26,课堂作业讲解,2023/3/19,信号与线性系统第15讲,27,课堂练习,
