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1、14 多重積分,Multiple Integration,14.1 逐次積分和平面上的面積14.2 重積分和體積14.3 積分變數變換：極坐標14.4 質心和慣性矩14.5 曲面面積14.6 三重積分,14.1 逐次積分和平面上的面積(Iterated integrals),計算。解x 看成常數，對 y 積分得到,例 1 對 y 積分,例 2 積分的積分,計算。解利用例 1 的結果，得到,逐次積分(Iterated integrals),內層的積分上、下限可以是外層的積分變數的函數，但是，外層積分的上、下限卻必須是（相對於兩層積分的變數而言）常數。內層積分完畢後，我們得到一個以前學過的標準定積
2、分（見第 4 章），第二次積分會得出一個實數。一個逐次積分的上、下限事實上給出了相關變數的兩組閉區間，以例 2 為例，外層積分的上、下限說明 x 要在區間 1 x 2 之中；而內層積分的上、下限則說明 y 要在 1 y x 這個區間之中。這兩個聯立不等式決定了這個逐次積分的積分區域 R，如圖14.1 所示。,圖14.1 的積分區域。,平面區域的面積(Area of a plane region),1.如果 R 由聯立不等式 a x b 和 g1(x)y g2(x)定義，式中 g1 和 g2 是 a,b 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分2.如果 R 由聯立不等式 c y d 和 h1(
3、y)x h2(y)定義，式中 h1 和 h2 是 c,d 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分,圖14.2 鉛直單純區域。,圖14.3 水平單純區域。,例 3 長方形區域的面積,以逐次積分表圖14.4 中長方形的面積。解圖14.4 中的區域既是鉛直單純形又是水平單純形，所以積分的順序可以任意，我們選擇 dy dx 而得到下式注意到這個結果與熟知的長方形面積公式是一樣的。,圖14.4,例 4 以逐次積分求面積,以逐次積分求以下列圖形為界的區域面積。f(x)=sin x g(x)=cos x x=/4 和 x=5/4。解由於 f 和 g 都是 x 的函數，考慮鉛直的樣本長方形較方便，故選擇積
4、分的順序為 dy dx，如圖14.5 所示。外層積分的上下限是/4 x 5/4，並且由於小長方形的上界是 f(x)=sin x，下界是 g(x)=cos x，因此得到,圖14.5,例 5 比較不同順序的積分,描繪面積是 的積分區域，並以不同順序各積一次來比較結果。解由內、外層積分上、下限可看出區域 R 由聯立不等式 y2 x 4，0 y 2 所定義，如圖14.6(a)所示。積分值是若要將積分的順序改成 dy dx，先在區域上架一個鉛直的長方形樣本，如圖14.6(b)所示。,例 5（續）,從圖可以看出外層積分的上、下限是由 x 的常數不等式0 x 4 決定。再以 x 解方程式 x=y2，可以看出內層的上、下限是由 y 的（x 變數）不等式0 y 決定。所以，此區域的面積也可以下列積分計算計算過程如下：我們得到相同的答案 16/3。,圖14.6,例 6 以兩個逐次積分計算面積,區域 R 在拋物線 y=4x x2 之下，x 軸和直線 y=3x+6 之上，求區域 R 的面積，見圖14.7。解先將 R 分成 R1 和 R2 兩個子區域。在子區域上，各架一個鉛直的樣本長方形來決定內層積分的上、下限，結果如下,例 6（續）,面積是15/2 平方單位。,圖14.7,
