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1、2.1.2,2.1.2,求曲线的方程,1,了解求曲线方程的步骤,2,会求简单曲线的方程,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程,研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用,和数形结合思想,.,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,填一填,知识要点、记下疑难点,1,坐标法和解析几何,借助于坐标系，用,_,表示点，把曲线看成满足某种条,件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标,(,x,，,y,),所满足,的,_,表示曲线，通过研究,_,间,接,地,来,研,究,曲,线,的,性,质,，,这,就,叫,坐,标,法,用,_,研究几何图形的知识形成的学科叫做解
2、析,几何,坐标,方程,f,(,x,，,y,),0,方程的性质,坐标法,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,填一填,知识要点、记下疑难点,2,解析几何研究的主要问题,(1),根据已知条件，求出表示曲线的,_,；,(2),通过曲线的,_,，研究曲线的,_,3,求曲线方程的一般步骤,(1),建立适当的坐标系，,用,_,表示曲线上,任意一点,M,的坐标；,(2),写出适合条件,p,的点,M,的集合,P,_,；,(3),用,_,表示条件,p,(,M,),，列出方程,f,(,x,，,y,),0,；,(4),化方程,f,(,x,，,y,),0,为最简形式；,(5),说明以化简后的方程的解为坐标的点,_.
3、,方程,方程,性质,有序实数对,(,x,，,y,),M,|,p,(,M,),坐标,都在曲线上,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,引言,上一节，,我们已经建立了曲线的方程、,方程的曲线的,概念利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标,表示点，,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲,线上点的坐标,(,x,，,y,),所满足的方程,f,(,x,，,y,),0,表示曲线，通,过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就是我们反,复提到的坐标法,数学中，,用坐标法研究几何图形的知识形,成的学科叫做解析几何从前面的学习中可以看到，,解析几,何研究的主要问题
4、是：,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,(1),根据已知条件，求出表示曲线的方程；,(2),通过曲线的方程，研究曲线的性质,下面我们讨论求曲线方程的问题,探究点一,求曲线方程的一般步骤,问题,1,设,A,、,B,两点的坐标分别是,(,1,，,1),，,(3,7),，如,何求线段,AB,的垂直平分线的方程？,解,如图所示，,设点,M,(,x,，,y,),是线段,AB,的垂直平分线上的任意一点，,也就是点,M,属于集合,P,M,|,MA,|,|,MB,|,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,由两点间的距离公式，点,M,适合的条件
5、可表示为,?,x,1,?,2,?,y,1,?,2,?,x,3,?,2,?,y,7,?,2,.,上式两边平方，并整理得,x,2,y,7,0.,我们证明方程,是线段,AB,的垂直平分线的方程,由求方程的过程可知，,垂直平分线上每一点的坐标都是方,程,的解；,设点,M,1,的坐标,(,x,1,，,y,1,),是方程,的解，,即,x,1,2,y,1,7,0,，,x,1,7,2,y,1,.,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,点,M,1,到,A,，,B,的距离分别是,|,M,1,A,|,?,x,1,1,?,2,?,y,1,1,?,2,?,8,2,y,1,?,2,?,y,
6、1,1,?,2,5,?,y,2,1,6,y,1,13,?,；,|,M,1,B,|,?,x,1,3,?,2,?,y,1,7,?,2,?,4,2,y,1,?,2,?,y,1,7,?,2,5,?,y,2,1,6,y,1,13,?,.,所以,|,M,1,A,|,|,M,1,B,|,，,即点,M,1,在线段,AB,的垂直平分线上,由,可知，方程,是线段,AB,的垂直平分线的方程,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,问题,2,你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一,般步骤吗？,答,求曲线的方程，一般有下面几个步骤：,(1),建立适当的坐标系，用有序实数对,(,x,，,
7、y,),表示曲线上任,意一点,M,的坐标；,(2),写出适合条件,p,的点,M,的集合,P,M,|,p,(,M,),；,(3),用坐标表示条件,p,(,M,),，列出方程,f,(,x,，,y,),0,；,(4),化方程,f,(,x,，,y,),0,为最简形式；,(5),说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤,(5),可以省,略不写，如有特殊情况，可以适当说明另外，也可以根,据情况省略步骤,(2),，直接列出曲线方程,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,问题,3,求曲线方程要“建立适当的坐标系”，,这句话怎样,理解,
8、答案,坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程,也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的,繁杂程度,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,结论,建立坐标系的基本原则,(1),让尽量多的点落在坐标轴上,(2),尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴,建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图,形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建,系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，,可将两直角边作为坐标轴建系等,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,例,1,已知一条直线,l,和它上方的一个点,F
9、,，点,F,到,l,的距,离是,2.,一条曲线也在,l,的上方，它上面的每一点到,F,的,距离减去到,l,的距离的差都是,2,，,建立适当的坐标系，,求,这条曲线的方程,解,如图所示，,取直线,l,为,x,轴，,过点,F,且,垂直于直线,l,的直线为,y,轴，建立坐标系,xOy,.,设点,M,(,x,，,y,),是曲线上任意一点，,作,MB,x,轴，,垂足为,B,，,那么点,M,属于集合,P,M,|,MF,|,|,MB,|,2,由两点间的距离公式，点,M,适合的条件可表示为,动画演示,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,x,2,?,y,2,?,2,y,2,，,
10、将,式移项后两边平方，得,x,2,(,y,2),2,(,y,2),2,，,化简得,y,1,8,x,2,.,因为曲线在,x,轴的上方，所以,y,0.,虽然原点,O,的坐标,(0,0),是这个方程的解，但不属于已知曲,线，所以曲线的方程应是,y,1,8,x,2,(,x,0,),本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,小结,求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程,也不同,求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上,点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上,的点应注意剔除,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,跟踪训练,
11、1,在正三角形,ABC,内有一动点,P,，已知,P,到三,顶点的距离分别为,|,PA,|,、,|,PB,|,、,|,PC,|,，且满足,|,PA,|,2,|,PB,|,2,|,PC,|,2,，求,P,点的轨迹方程,解,以,BC,的中点为原点，,BC,所在的直,线为,x,轴，,BC,的垂直平分线为,y,轴，建,立直角坐标系,(,如图所示,),，设点,P,(,x,，,y,),，,B,(,a,0),，,C,(,a,0),，,A,(0,，,3,a,),|,P,A,|,2,|,PB,|,2,|,PC,|,2,，,有,x,2,(,y,3,a,),2,(,x,a,),2,y,2,(,x,a,),2,y,2,
12、，,化简得,x,2,(,y,3,a,),2,(2,a,),2,，,即所求的轨迹方程为,x,2,(,y,3,a,),2,4,a,2,(,y,0),本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,探究点二,求曲线方程的常用方法,问题,求曲线方程时，有时点的条件比较明显，也有些点,的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖,于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？,答案,(1),能直接写出点的条件进而代入坐标写出方程的,求法，可称为直接法，常用的曲线方程求法还有：,(2),定义法：如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲,线的定义，,则可直接利用这些已知曲线的方程写
13、出动点的,轨迹方程；,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,(3),代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动,点的关系，把所求动点转换为已知曲线上的动点具体地,说，,就是用所求动点的坐标,(,x,，,y,),来表示已知曲线上动点的,坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹,方程此法也称为相关点法；,(4),待定系数法：已知所求曲线类型，先设出曲线的方程，,再应用已知条件求出参数的值，从而求得轨迹方程,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,例,2,已知圆,C,：,x,2,(,y,3),2,9,，过原点作圆,C,的弦
14、,OP,，,求,OP,的中点,Q,的轨迹方程,解,方法一,(,直接法,),如图，因为,Q,是,OP,的中点，所以,OQC,90,.,设,Q,(,x,，,y,),，由题意，得,|,OQ,|,2,|,QC,|,2,|,OC,|,2,，,即,x,2,y,2,x,2,(,y,3),2,9,，,所以,x,2,?,?,?,?,?,?,y,3,2,2,9,4,(,去掉原点,),本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,方法二,(,定义法,),如图所示，因为,Q,是,OP,的中点，所以,OQC,90,，,则,Q,在以,OC,为直径的圆上，,故,Q,点的轨迹方程为,x,2,?,?,?
15、,?,?,?,y,3,2,2,9,4,(,去掉原点,),方法三,(,代入法,),设,P,(,x,1,，,y,1,),，,Q,(,x,，,y,),，,由题意，得,?,?,?,?,?,x,x,1,2,，,y,y,1,2,，,即,?,?,?,?,?,x,1,2,x,，,y,1,2,y,.,轨迹动画演示,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,又因为,x,2,1,(,y,1,3),2,9,，所以,4,x,2,4,?,?,?,?,?,?,y,3,2,2,9,，,即,x,2,?,?,?,?,?,?,y,3,2,2,9,4,(,去掉原点,),小结,解答本题可以用三种方法：一直接
16、法；二定义法；,三相关点法，又称为代入法在解题中，我们可以根据实,际题目选择最合适的方法求解曲线方程过程中，要特别,注意题目内在的限制条件,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,跟踪训练,2,如图，过点,P,(2,4),作两条互相垂,直的直线,l,1,、,l,2,，,若,l,1,交,x,轴于,A,点，,l,2,交,y,轴于,B,点，求线段,AB,的中点,M,的轨迹方,程,解,方法一,设点,M,的坐标为,(,x,，,y,),M,为线段,AB,的中点，,A,的坐标为,(2,x,0),，,B,的坐标为,(0,2,y,),l,1,l,2,，且,l,1,、,l,2,过点,
17、P,(2,4),，,P,A,PB,，,k,P,A,k,PB,1.,而,k,P,A,4,0,2,2,x,(,x,1),，,k,PB,4,2,y,2,0,，,2,1,x,2,y,1,1(,x,1),本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,整理，得,x,2,y,5,0(,x,1),当,x,1,时，,A,、,B,的坐标分别为,(2,0),、,(0,4),，,线段,AB,的中点坐标是,(1,2),，它满足方程,x,2,y,5,0.,综上所述，点,M,的轨迹方程是,x,2,y,5,0.,方法二,设,M,的坐标为,(,x,，,y,),，则,A,、,B,两点,的坐标分别是,(2,
18、x,0),、,(0,2,y,),，连接,PM,.,l,1,l,2,，,2|,PM,|,|,AB,|.,而,|,PM,|,?,x,2,?,2,?,y,4,?,2,，,|,AB,|,?,2,x,?,2,?,2,y,?,2,，,2,?,x,2,?,2,?,y,4,?,2,4,x,2,4,y,2,，,化简，得,x,2,y,5,0,，为所求轨迹方程,演示数值变化,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,研一研,问题探究、课堂更高效,方法三,l,1,l,2,，,OA,OB,，,O,、,A,、,P,、,B,四点共圆，且该圆的圆心为,M,，,|,MP,|,|,MO,|,，,点,M,的轨迹为线段,OP,的中垂线
19、,k,OP,4,0,2,0,2,，,OP,的中点坐标为,(1,2),，,点,M,的轨迹方程是,y,2,1,2,(,x,1),，,即,x,2,y,5,0.,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,练一练,当堂检测、目标达成落实处,1,在,ABC,中，若,B,、,C,的坐标分别是,(,2,0),、,(2,0),，,BC,边上的中线的长度为,5,，则,A,点的轨迹方程是,(,),A,x,2,y,2,5,B,x,2,y,2,25,C,x,2,y,2,5(,y,0),D,x,2,y,2,25(,y,0),解析,BC,的中点为原点，,BC,边上的中线长为,5,，即,OA,5.,设,A,(,x,，,y,),
20、，则有,x,2,y,2,25(,y,0),D,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,练一练,当堂检测、目标达成落实处,2,平面内有两定点,A,，,B,，且,|,AB,|,4,，动点,P,满足,|,PA,PB,|,4,，则点,P,的轨迹是,(,),A,线段,B,半圆,C,圆,D,直线,解析,以,AB,的中点为原点，,以,AB,所在的直线为,x,轴建,立直角坐标系，则,A,(,2,0),、,B,(2,0),设,P,(,x,，,y,),，则,P,A,PB,2,PO,2(,x,，,y,),x,2,y,2,4.,C,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,练一练,当堂检测、目标达成落实处,3,一动点,
21、C,在曲线,x,2,y,2,1,上移动时，它和定点,B,(3,0),连线的中点,P,的轨迹方程是,(,),A,(,x,3),2,y,2,4,B,(,x,3),2,y,2,1,C,(2,x,3),2,4,y,2,1,D.,?,?,?,?,?,?,x,3,2,2,y,2,1,解析,设,C,(,x,0,，,y,0,),，,P,(,x,，,y,),依题意有,?,?,?,?,?,x,x,0,3,2,，,y,y,0,2,.,所以,?,?,?,?,?,x,0,2,x,3,，,y,0,2,y,.,由于,C,(,x,0,，,y,0,),点在曲线,x,2,y,2,1,上，,所以,(2,x,3),2,(2,y,),
22、2,1,，,即,P,点的轨迹方程为,(2,x,3),2,4,y,2,1.,C,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,练一练,当堂检测、目标达成落实处,4,设,A,为圆,(,x,1),2,y,2,1,上的动点，,PA,是圆的切线，且,|,PA,|,1,，则动点,P,的轨迹方程是,_,解析,圆,(,x,1),2,y,2,1,的圆心为,B,(1,0),，半径,r,1,，,则,|,PB,|,2,|,P,A,|,2,r,2,.,|,PB,|,2,2.,P,的轨迹方程为：,(,x,1),2,y,2,2.,(,x,1),2,y,2,2,本,专,题,栏,目,开,关,2.1.2,1,坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同,2,一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是,(,x,，,y,),，而不要设成,(,x,1,，,y,1,),或,(,x,，,y,),等,3,方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一,般指将方程,f,(,x,，,y,),0,化成,x,，,y,的整式如果化简过程,破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属,于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么,曲线，求轨迹方程则不必说明,4,“,轨迹,”,与,“,轨迹方程,”,是两个不同的概念：求轨迹方,程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，,再说明轨迹的形状,.,本,专,题,栏,目,开,关,
