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1、2.3幂函数,【知识提炼】1.幂函数的概念函数_叫做幂函数,其中自变量是_,_是常数.,y=x,x,2.幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象:,(2)幂函数的性质:,R,R,R,0,+),(-,0)(0,+),R,0,+),R,0,+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,增,减,增,增,减,减,(1,1),【即时小测】1.思考下列问题(1)二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么?提示:不一定.如y=5x2,y=x2-3都不是幂函数,只有二次项系数为1,无一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要符合幂函数解析式的结构特征.(2)幂函数的图象是否可以出现在坐标平
2、面内的任意象限?提示:不能.因为当x0时,x0,因此图象不能出现在第四象限.,2.下列所给的函数中,是幂函数的是()A.y=2x5B.y=x3+1C.y=x-3 D.y=3x【解析】选C.选项C符合y=x的形式,对于A系数不为1,B中含有常数项,而D是指数函数.,3.若y=ax3+(2b+4)是幂函数,则a-b的值为()A.-1B.1C.-3D.3【解析】选D.由于y=ax3+(2b+4)是幂函数,则解得a=1,b=-2,故a-b=3.,4.已知幂函数y=x的图象经过点(2,16),则f(-3)=.【解析】由于幂函数y=x的图象经过点(2,16),即2=16,解得=4,故f(-3)=(-3)4
3、=81.答案:81,【知识探究】知识点1幂函数的概念观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征?问题2:幂函数和指数函数有哪些区别?,【总结提升】1.幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数.(2)底数是自变量.(3)幂x的系数为1.,2.幂函数与指数函数的比较,知识点2幂函数的图象及性质观察图形,回答下列问题:,问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点?问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?,【总结提升】1.幂函数y=x在第一象限内的图象特征(1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸).(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).(3)指
4、数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.,五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”即0(1)时的图象是抛物线型(1时的图象是竖直抛物线型,01时的图象是横卧抛物线型);0时的图象是双曲线型.,2.五个幂函数的奇偶性幂函数y=x,y=x3,y=x-1为奇函数;幂函数y=x2为偶函数;幂函数y=为非奇非偶函数.,3.幂函数三个常用的性质(1)所有的幂函数在区间(0,+)上都有定义,且图象都过点(1,1).(2)0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间(0,+)上是增函数.特
5、别地,当1时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸.(3)0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.,【题型探究】类型一幂函数的概念【典例】1.下列函数:y=;y=;y=2x4;y=x3-2;y=(x+1)2;y=x;y=ax(0a1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.42.(2015开封高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)则f(-3)=.,【解题探究】1.典例1中应从哪几个方面判定函数为幂函数?提示:应从指数,底数,以及幂x的系数三方面
6、判定.2.典例2中的m2-2m+2应满足什么条件?提示:应使m2-2m+2=1.,【解析】1.选B.为指数函数;中系数不为1;中的解析式为多项式;中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,故选B.2.由于f(x)=(m2-2m+2)为幂函数,故m2-2m+2=1,解得m=1,所以f(x)=x2,则f(-3)=9.答案:9,【延伸探究】若典例2中的函数“f(x)=(m2-2m+2)”改为“f(x)=(m2-m-1),且此函数为奇函数”,则f(-3)的值应为多少?【解析】由于f(x)=(m2-m-1)为幂函数,则有m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,又因为该函数为奇函数,则当m=-1时,f(x)
7、=x6不符合;当m=2时,f(x)=x3,符合.故f(-3)=(-3)3=-27.,【方法技巧】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法:设幂函数解析式为f(x)=x,依据条件求出.,【变式训练】已知函数f(x)=lg(m2+6)xm(xR)为幂函数,则f(3)=.【解析】已知函数f(x)=lg(m2+6)xm(xR)为幂函数,则lg(m2+6)=1,即lg(m2+6)=lg10,解得m=2,又函数的定义域为R,故m=2,则f(x)=x2,得f(3)=9.答案:9,类型二幂函数的图象
8、【典例】1.如图是函数y=(m,nN*,m,n互质)的图象,则()A.m,n是奇数,且 1C.m是偶数,n是奇数,且 1,2.(2015烟台高一检测)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则有()A.-11 D.n1,3.如图,图中曲线是幂函数f(x)=x在第一象限内的大致图象,已知取-2,-,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的的值依次为.,【解题探究】1.典例1中的函数y=的定义域和值域分别是什么?提示:由图象可以看出,定义域是全体实数,而值域是非负数,由此可得m是偶数,n是奇数.2.典例2中x(0,1)内任取同一个值时,这三个函数对应的图象的高低如何?图象的高低与指
9、数的大小有怎样的对应关系?提示:当x(0,1)时,这三个函数对应的图象由高到低的顺序为y=xn,y=x-1,y=xm.点低指数大.,3.典例3中当取-2,-时,对应的函数在第一象限内的图象如何?当取,2呢?提示:当取-2,-时,在第一象限内对应的图象是下降的;当取,2时,对应的图象是上升的.,【解析】1.选C.由图象知,函数为偶函数,所以m为偶数,n为奇数.又函数图象在第一象限内上凸,所以 1.2.选B.在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”由此可判定0m1,n-1.3.由幂函数的图象与性质,0时不过原点,故C3,C4对应的值均为负,C1,C2对应的值均为正;由
10、增(减)快慢知曲线C1,C2,C3,C4的值依次为2,-,-2.答案:2,-,-2,【延伸探究】典例3中若将“-2,-,2”改为“1,2,3,4对应的函数图象分别为C1,C2,C3,C4”,那么1,2,3,4的大小关系为.【解析】由C1,C2,C3,C4在第一象限内的图象可知:1,2应大于零;3,4应小于零,结合图象的增减快慢,曲线C1,C2,C3,C4的值的大小依次为1234.答案:1234,【方法技巧】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+)上,指数越大,幂函数图象越远离x
11、轴,(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.,【拓展延伸】幂函数y=x(=,m,n互质)的奇偶性幂函数y=x的奇偶性是由m,n的值确定的,当m,n均为奇数时,y=x是奇函数;当m为偶数,n为奇数时,y=x是偶函数;当m为奇数,n为偶数时,y=x既不是奇函数,也不是偶函数.,【变式训练】已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为.,【解题指南】结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行辨别.【解析】根据在第一象限内的图象可知:a0,b0,c1,bbc.答案:a
12、bc,【补偿训练】函数y=的图象大致是(),【解析】选B.函数y=是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C.另外，因为y=所以当x(0,1)时，函数y=的图象在直线y=x的下方；当x(1,+)时，函数y=的图象在直线y=x的上方.故选B.,类型三利用幂函数的性质比较大小【典例】比较下列各组数中两个数的大小:,【解题探究】本典例(1)(2)中可以利用什么形式的幂函数来进行比较？提示：(1)中 的指数都是0.3，因此可以利用函数y=x0.3的增减性比较大小.,(2)中 的指数都是-1，因此可以利用函数y=x-1的增减性来比较大小.【解析】(1)因为幂函数y=
13、x0.3在(0,+)上是单调递增的，(2)因为幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的，,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例(1)中的“”改为又如何进行大小比较？【解析】因为=30.3，而y=x0.3在(0,+)上是单调递增的，,2.(变换条件)若将典例(1)中的“”改为又如何比较其大小？【解析】因为y1=在x(0,+)上为减函数，又0.30.3，所以，所以,【方法技巧】比较幂值大小的三种基本方法,【补偿训练】试比较 的大小.【解析】因为y1=在R上为减函数，又又因为函数y2=在x(0,+)上是增函数，且,【延伸探究】1.若将“”改为“”，如何比较其大小？【解析】因为函数y=在x(0,+)
14、上是增函数，,2.若将“”改为“”，又如何比较其大小？【解析】因为函数y=在x(0,+)上是减函数，,易错案例 利用幂函数的单调性求参数的范围【典例】(2015大同高一检测)若(3-2a)(a-1),则实数a的取值范围为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是对幂函数的定义域考虑不全面.在解答过程中只考虑了底数是同号,而忽略了底数不同号的情况,从而定义域考虑不全造成漏解.,【自我矫正】由题意可得，可利用幂函数y=的单调性来求解，类比y=x-1的单调性可得：若 则有x(a-1)，则有如下三种可能：故实数a的取值范围为(-,1)答案:(-,1),【防范
15、措施】1.准确把握幂函数的单调性对于幂函数y=x要分清0和0时的奇偶性和在(0,+)上的单调性,如本例由y=是奇函数且在(0,+)上是减函数,因此不要忘记该函数在(-,0)上也是减函数,由此可得不等式组.2.加强分析问题的全面性要明确五类幂函数的定义域,要全面分析问题,不要忽略某些方面.如本例中对于不等式,结合幂函数的单调性,对于底数有三种不等关系.,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
