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1、曲 线 的 参 数 方 程 目标导向式教学课例【教学目标】1、知识目标：使学生理解曲线的参数方程和概念，认识研究曲线参数方程的目的意义。2、能力目标：使学生初步学会求曲线的参数方程的方法3、情感目标：使学生接受曲线的参数方程来源于实践而用之于实践的思想教育。 一、复习导入 呈现目标我们知道解析几何的主要内容是研究曲线和方程的关系。我们已经学习过直线和圆锥曲线的方程，请问：曲线C和方程F(X，Y）=0（师板书）在满足什么关系时，就说方程是曲线C的方程、曲线C是方程的曲线呢？师：接下来请同学们解决下面求曲线方程的问题（课本中弹道曲线引例，幻灯片演示）。弹道曲线是什么图形呢？生（全体）：抛线线。师：
2、请看幻灯片，严格地说是抛物线的一段。那么要求出它的方程，第一步要做什么？解决弹道曲线的方程问题就是一个明确的实际学习目标生（全体）：建立平面直角坐标系。师：很对。那么如何建立一个合适的坐标系呢？请同学们思考一下。（给一点时间，然后提问学生）生：以最高点为原点，以平行水平线的直线为x轴建立平面直角坐标系。师：这种方案是可行的，而且求得的方程是标准式。那么还有其它可行的方案吗？生：以炮口为原点建立直角坐标系。师：很好！第一种方案虽然求得的方程是标准式，但坐标出现负数，这与实际意义不符。而第二种方案不存在这样的问题。按照从一切从实际出发的原则，我们应该选择哪种方案？（生：第二种）很好！请看幻灯片，接
3、着要做的事情是什么？生：（全体）：设出任意一点的坐标。师：对。所求曲线上的任意一点代表着什么？生（全体）：导弹飞行过程所在的位置。师：对。即导弹在某一时刻所在的位置。接下来要做的事情是什么？生：把x，y 的关系表示出来。（给一点时间让学生思考后，很多学生表现出茫然的神情。）师：要直接表示出x，y的关系式，容易吗？不容易！直接不行，我们怎么办？（生：用间接的办法）对！（留一点时间让学生思考，但很多学生依然不解。）师：所谓间接的办法就是能否寻找第三个变量来沟通x，y之间的关系。下面请你们思考这样的问题：x，y分别代表怎样的实际意义？生：x，y分别代表炮弹的水平距离和高度。师：很对。当炮弹的发射角和
4、初速度确定以后，炮弹飞行的水平距离和高度取决于哪个量？全体学生大悟，回答：时间。师：非常好！能否用物理学的知识分析如何求出x，y和时间t的关系。（板书：x、y、t）（生思考一会儿后，师个别提问分析的思路）生：把初速度分解成水平速度V0cos a 和竖直速度V0sin a ，炮弹在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动。师：非常好！请看幻灯片：下面请你们把x、y分别表示成时间t的式子写出来，然后，我叫一位同学到黑板上写。（生正确写出x、y与时间t的函数表达式）那么要把x、y的直接关系式写出来，必须怎样做？（叫一位学生答出普通方程，记为方程） 消去变量t以后，我们得到的方程的确是一条抛物
5、线的方程。我们可以说明方程满足曲线的方程的定义中的两个条件。而方程是由方程转化而来的，实际上两者是等价的。我们可以分析一下方程组与弹道曲线的关系，首先，弹道曲线上的任意一点的坐标x、y都可以表示成时间t的函数；反之，对于每一个允许值内的时间t，由方程组所确定的点M（x，y），我们可以反推上去，点M都在弹道曲线上。因此，我们可以说方程组（1）也是弹道曲线的方程，但为了区别起见，我们把方程组叫做弹道的参数方程。师：在求弹道曲线方程中看到，直接建立x、y之间的关系有时很困难，甚至不可能，但借用恰当参数就可以简便地建立起x 与y 间的关系，这就是今天要学的内容。引出课题和呈现教学目标：1、曲线参数方程
6、的定义； 2、求曲线的参数方程。 二、学习新课，理解目标师：前面的例子，具体地介绍了求弹道曲线的参数方程。关于曲线的参数方程的一般定义是怎样的呢？请同学们阅读课本，并仔细领会其含义。“一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数 ，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 三、深化概念，巩固目标为了加深对定义的理解，由学生独立完成下面问题（出示幻灯片）。已知
7、曲线C的参数方程是： (t为参数）当t0时，方程组成确定曲线上的点是 ；曲线上的点（1，3）所对应的t 。试判断点（6，9）是否在已知曲线上？试说出已知曲线是什么图形？由学生口答完成后，师加以引申和过渡：以上问题中的参数就没有什么实际意义。那么我们学习参数方程对我们有什么帮助呢？至少有两点：直接建立x、y之间的关系有时很困难，甚至是不可能，而借用参数t就可以简便建立起x、y的间接关系。参数t有时还可以反映出变数的实际意义。弹道曲线就是典型的一例。提示学生要完成这节课的学习目标：就是如何求曲线的参数方程，它的步骤是怎样的？师：请看下面问题（课本中例1，幻灯片演示）。(学生思考难以直接建立x、y的
8、关系后，意识到需用参数方程求得。）如图：以原点为圆心，分别以a、b（ab）为半径作两个圆。点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作ANOX，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕着点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。师：点M的坐标x、y在图形中分别表示什么？（让生思考一会儿）生：分别表示线段ON和NM的长度。（典型错误）师：线段的长度是非负数，而坐标可以是负数。这样说可以吗？生：分别表示向量ON和NM。师：确切地说应是向量的数值。（启发学生想到有向线段的数量）接着启发学生如何找到一个参数，把x、y表示成它的函数。（这是解决问题的关键。）由学生探索找出以转角为参数后，由学生口答出参数方程
9、。（以上解题过程均与幻灯片演示同步进行。）问题解决后，师加以引申提问：这条曲线到底是什么图形呢？生回答消去参数即可。然后又由学生口答消去参数的过程，得出椭圆的方程。师指出：如果能消去参数，参数方程就可以化成普通方程。通过以上两个问题，学生自己总结出求曲线方程的一般步骤，师加以补充完整，强调指出选择（是自己选的！）适当的参数是解决问题的关键。物理学上质点的运动的问题常常是以时间为参数，旋转问题常常以转角为参数。 四、检测反馈，评估目标为了进一步巩固求曲线的轨迹的参数方程的方法，由学生独立完成下列问题。求半径为R，圆心在原点O的圆的参数方程。（学生板演。）学生反馈的主要问题是：未把参数的意义说清楚
10、，混淆了旋转角度和度量角的概念。求出参数方程后又把它化成普通方程，题意理解错了。师加以及时纠正并指出普通方程和参数方程是同一曲线的不同表现形式，有时它们之间可以互相转化。 五、补偿小结，达成目标师生共同总结本课的主要内容，回顾本节课学习目标。经师生交流后，达成以下几点共识：1、解决问题思路要灵活，要从多个角度去看问题，直接的办法不行，就要采取间接的办法。2、对定义的理解要把握以下几点：参数方程中有三个变量，两个函数。第三个个变量即参数是沟通x、y的桥梁；参数可以有实际的或几何的意义，也可以没有明确的意义；注意参数t的取值范围；定义中的两点与前面学过的曲线的方程的定义中的两个条件本质上是一致的。3、曲线的参数方程的求法建立直角坐标系，设出曲线上任意点的坐标（x、y）；建立适当的参数t；把坐标x、y表示成参数t的函数。 六、布置作业、深化目标。（略）
