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1、大学文科数学之线性代数与概率统计,北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘 2005.5.11,连续型随机变量,复习+进一步学习 分布函数的性质连续型r.v及其密度函数的定义重要的连续型r.v,复习随机变量的分布函数,分布函数的概念.分布函数的性质,随机变量的分布函数一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率P(Xx)称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P(Xx).易知，对任意实数a,b(ab),P a XbPXbPXa F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F
2、(x2);2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、左连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,假设离散型r.v.X 具有分布列,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,连续型r.v及其密度函数的定义,对于随机变量 X,如果存在非负可积函数f(x),使得 X 的分布函数 F(x)可以写成,则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度.
3、,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,连续r.v.的密度函数 与 离散r.v.分布列 的性质 比较,3,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这是因为,由此得，,1)对连续型 r.v X,有,2)由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出 B=S,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,4.对 f(x)
4、的进一步理解:,(4)在 f(x)的连续点 x 处，有,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于.,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,下面给出几个r.v的例子.,例9 已知连续型r.v.具有概率密度 求系数 k 及分布函数F(x),并计算 P(1.5=2.5),设 具有概率密度,C 为一常数，称X服从区间(a,b)上的均匀分布,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b
5、),它的实际背景是：r.v X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b)上的均匀分布.,服从均匀分布的随机变量x的分布函数为,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例10 某路公共汽车每5分钟一趟，设为乘客在某站口的候车时间,试求他候车时间不超过3 分钟的概率.,解：,X U(0,30),则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,（2）若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE().,服从以 为参数的指数分布的随机变量X的分布函数为,
