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1、概率论,总复习,第一章,随机事件,第一节,样本空间和随机事件,第二节,事件关系和运算,第一章,基本知识点,1.,概率论,概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科,2.,确定性现象与随机现象,3.,随机试验,(1),试验在相同的条件下可重复进行,(2),每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前,可以确定试验的所有可能结果,(3),每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大,量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机,事件，简称事件,4.,随机事件,5.,样本点,6.,样本空间,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为,这个试验的一个样本点，记作
2、,(,1,2,),i,i,?,?,L,全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，,记作即,?,?,1,2,n,?,?,?,?,?,L,L,仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,7.,随机事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件,8.,必然事件,一次随机试验中，必然会发生的随机事件,.,9.,不可能事件,一次随机试验中，不可能会发生的随机事件,.,给定一个随机试验，设为其样本空间，则：,事件,事件之间的关系,集合,集合之间的关系,10.,事件关系和运算,事件的运算,集合的运算,概率论,集合论,随机事件,A,，,B,，,.,的子集,A,，,B,，,.,随机事件间的关系,各种集合间的关系,概率论
3、与集合论之间的关系,概率论,集合论,样本空间,?,全集,?,必然事件,?,全集,?,不可能事件,?,空集,?,子事件,A,B,?,子集,A,B,?,并事件,A,B,?,并集,A,B,?,交事件,A,B,?,交集,A,B,?,差事件,A,B,?,差集,A,B,?,对立事件,A,补集,A,第二章,事件的概率,第一节,概率的概念,第二节,古典概型,第三节,几何概型,第四节,概率的公理化定义,第二章,基本知识点,1.,随机事件的频率,设随机事件,A,在,n,次随机试验中出现了,r,次，,则称这,n,次试验中事件,A,出现的频率为：,(,),n,r,f,A,n,?,A,r,n,?,事件,出现的次数,试验
4、的总次数,随机事件,A,在相同条件下重复多次时，事件,A,发生的频率在一个固定的数值,p,附近摆动，,随着试验次数的增加更加明显,.,2.,频率的稳定性,对任意事件,A,，在相同的条件下重复进行,n,次试验，事件,A,发生的频率随着试验次,数的增大而稳定地在某个常数,p,附近摆动,那么称,p,为事件,A,的概率，记为,事件,A,的,频率,3.,概率的统计定义,(,),P,A,p,?,事件,A,的,概率,当试验次数足够大时,近似地代替,事件,A,的概率,准确的数值,频率的稳定值,概率,事件,A,(1),有限性：,各个可能结果出现是等可能的,.,试验的可能结果只有有限个；,(2),等可能性：,?,
5、?,1,2,n,?,?,?,?,?,L,4.,古典概型：,古典概型的基本特征：,样本空间是个有限集,1,2,1,(,),(,),(,),n,i,i,P,A,P,A,P,A,A,n,?,?,?,?,?,?,L,基本事件的概率均相同,5.,概率的古典定义,对于古典概型：,?,?,1,2,n,?,?,?,?,?,L,?,?,1,2,r,k,k,k,A,?,?,?,?,L,(,),r,P,A,n,?,A,r,n,?,?,事件,包含的基本事件,的基本事件,(1),设所有可能的试验结果构成的样本空间为：,(2),事件,1,2,r,k,k,k,L,其中,为,1,2,n,中的,r,个不同的数,则定义事件,A,
6、的概率为：,6.,几何概型,古典概型中的有限性推广到,无限性,，而保留,等可能性,事件,A,“随机点落在,中的子区域,S,A,中”,长度、面积或体积,1.,基本特征：,(1),有一个可度量的几何图形,(2),试验,E,看成在,中随机的一点,(,),|,|,A,S,P,A,?,?,A,S,?,?,的几何度量,的几何度量,设随机试验的样本空间为，若对任一,事件,A,，有且只有一个实数,P,(,A,),与之对应，,满足如下公理：,(1),非负性,：,(2),规范性：,(3),完全可加性,：,7.,概率的公理化定义,0,(,),1,P,A,?,?,(,),1,P,?,?,1,1,(,),n,n,n,n
7、,P,A,P,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,U,对任意一列两两互斥事件,A,1,，,A,2,，,，有：,则称,P,(,A,),为事件,A,的概率,8.,概率的性质,不可能事件的概率为零,性质,1,(,),0,P,?,?,性质,2,(,),1,(,),P,A,P,A,?,?,逆事件的概率,性质,3,对任意有限个互斥事件,A,1,，,A,2,，,A,n,，,有：,1,1,(,),n,n,k,k,k,k,P,A,P,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,U,互不相容事件概率的有限可加性,性质,4,(,),(,),(,),(,),P,A,B,P,A,P,B,P,AB,?,?
8、,?,?,加法定理,性质,5,(,),(,),(,),P,B,A,P,B,P,A,?,?,?,(,),(,),P,A,P,B,?,A,B,?,若,，则：,且,差事件的概率,B,C,A,性质,6,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),P,A,B,C,P,A,P,B,P,C,P,AB,P,BC,P,AC,P,ABC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,加法定理的推广形式,第三章,条件概率与事件的独立性,第一节,条件概率,第二节,全概率公式,第三节,贝叶斯公式,第四节,事件的独立性,第五节,伯努利试验和二项概率,第六节,主观概率,第三章,基本知识点,设,A,，,B,为同一随
9、机试验中的两个随机事件,且,P,(,A,)0,，,则称已知,A,发生条件下,B,发生,的概率为,B,的条件概率，记为,1.,条件概率的定义,(,),(,|,),(,),P,AB,P,B,A,P,A,?,2.,乘法定理,(,),(,|,),(,),P,AB,P,B,A,P,A,?,(,),(,|,),(,),P,AB,P,A,B,P,B,?,(,),(,),(,|,),P,AB,P,A,P,B,A,?,(,),(,),(,|,),P,AB,P,B,P,A,B,?,设,A,1,，,A,2,，,.,，,A,n,构成一个完备事件组，,且,P,(,A,i,)0(,i,1,，,2,，,.,，,n,),，则
10、对任一随机,事件,B,，有,:,3.,全概率公式,n,i,i,i,P,B,P,A,P,B,A,1,(,),(,),(,|,),?,?,?,?,A,1,A,2,A,3,P,A,1,(,),P,A,2,(,),P,A,3,(,),P,B,A,1,(,|,),P,B,A,2,(,|,),P,B,A,3,(,|,),P,B,(,),设,A,1,，,A,2,，,A,n,构成完备事件组，且每个,P,(,A,i,)0,，,B,为样本空间的任意事件且,P,(,B,)0,则有：,4.,贝叶斯公式,k,k,k,n,i,i,i,P,A,P,B,A,P,A,B,k,n,P,A,P,B,A,1,(,),(,|,),(,
11、|,),(,1,2,),(,),(,|,),?,?,?,?,L,P,(,B,A,)=,P,(,B,),5.,事件独立的定义,P,AB,P,A,P,B,(,),(,),(,),?,A,与,B,相互独立的,充要条件,如果事件,A,，,B,，,C,满足,:,(,a,),P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),(,b,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),(,c,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),则称事件,A,，,B,，,C,两两独立,.,6.,事件的独立性的推广,(1),事件,A,，,B,，,C,两两独立,：,如果事件,A,，,B,，,C,满足,:
12、,(,a,),P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),(,b,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),(,c,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),(,d,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),则称事件,A,，,B,，,C,相互独立,.,(2),事件,A,，,B,，,C,相互独立,：,在,n,重独立重复试验中，若每次试验只有两种可,能的结果：,A,及,，且,A,在每次试验中发生的概,率为,p,，则称其为,n,重贝努利试验,，简称贝努利,试验,.,7.,贝努利试验,A,8.,二项概率：,设在一次试验中事件,A,发生
13、的概率为,p,(0,p,1),，,则,A,在,n,次贝努利试验中恰好发生,k,次的概率为,贝努利定理,k,k,n,k,k,n,P,A,C,p,p,k,n,(,),(1,),(,0,1,2,),?,?,?,?,L,第四章,随机变量及其分布,第一节,随机变量及其分布函数,第二节,离散型随机变量,第三节,连续型随机变量,第四章,基本知识点,1.,随机变量,用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化,2.,随机变量的类型,(1),离散型随机变量,(2),非离散型随机变量,3.,随机变量的分布函数,设,X,是随机试验,E,的一个随机变量，称定义域,为,函数值在区间,0,1,上的实值函数,(,),?,?,
14、F,x,P,X,x,x,(,),(,)(,),?,?,?,?,?,?,为随机变量,X,的分布函数,.,随机试验,试验结果,集合论,函数论,样本空间,样本点,i,若干样本点构成事件,A,事件,A,的概率,P,(,A,),P,A,0,(,),1,?,?,实数集,实数,随机变量,X,表示事件,A,随机变量,X,的分布函数,F,(,x,),F,x,0,(,),1,?,?,(,),?,?,x,(,),?,?,?,数量化,对应,F,x,P,X,x,(,),(,),?,?,4.,离散型随机变量分布律的表示方法：,(1),公式法：,i,i,P,X,x,p,(,),?,?,(2),表格法：,X,概率,x,1,x
15、,2,L,i,x,L,p,1,p,2,L,i,p,L,其中,i,p,i,0,1(,1,2,),?,?,?,L,且,i,i,p,1,?,?,5.,常用离散型分布,(1)0-1,分布,(,二点分布,),X,概率,0,1,p,1,?,p,(2),二项分布,X,概率,0,1,n,p,(1,),?,n,n,C,p,p,1,1,(1,),?,?,k,k,k,n,k,n,C,p,p,(1,),?,?,n,n,p,(,),X,B,n,p,(3),泊松分布,k,P,X,k,k,k,(,),e,(,0,1,2,),!,?,?,?,?,?,?,L,(,),X,P,?,6.,连续型随机变量的概率密度函数,(,),(,
16、)d,x,F,x,f,t,t,?,?,?,(1),数学符号：,随机变量,X,的分布函数,(,),(,)d,x,F,x,f,t,t,?,?,?,随机变量,X,的概率密度函数,(2),连续型随机变量的分布函数表示事件：,(,a,),事件,(,),P,X,b,?,(,),F,b,?,(,b,),事件,(,),P,X,b,?,1,(,),P,X,b,?,?,?,1,(,),F,b,?,?,(,c,),事件,(,),P,a,X,b,?,?,(,),(,),F,b,F,a,?,?,7.,事件的概率与概率密度函数的关系：,(,a,),事件,(,),P,X,b,?,(,),F,b,?,(,b,),事件,(,)
17、,P,X,b,?,1,(,),P,X,b,?,?,?,1,(,),F,b,?,?,(,c,),事件,(,),P,a,X,b,?,?,(,),(,),F,b,F,a,?,?,(,)d,b,f,x,x,?,?,?,1,(,)d,b,f,x,x,?,?,?,?,(,)d,b,a,f,x,x,?,?,(1),均匀分布,1,(,),0,a,x,b,f,x,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,X,R,(,a,b,),8.,常用连续型分布：,(2),指数分布,0,(,),(,0,0,0,x,e,x,f,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,为常数）,(,),X,E,?,(3),正
18、态分布,2,(,),X,N,?,?,2,2,(,),2,1,(,),(,0),2,x,f,x,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(4),标准正态分布,X,N,(0,1),2,2,1,(,),e,2,x,f,x,?,?,?,第五章,二维随机变量及其分布,第一节,二维随机变量及分布函数,第二节,二维离散型随机变量,第三节,二维连续型随机变量,第四节,边缘分布,第五节,随机变量的独立性,第六节,条件分布,第五章,基本知识点,1.,二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布函数,(,),(,),F,x,y,P,X,x,Y,y,?,?,?,2.,联合分布函数表示矩形域概率,1,2,1,2,2,2,2
19、,1,1,2,1,1,(,),(,),(,),(,),(,),P,x,X,x,y,Y,y,F,x,y,F,x,y,F,x,y,F,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,3.,二维离散型随机变量,(,X,Y,),的联合概率分布：,X,Y,1,i,x,x,M,M,1,j,y,y,L,L,11,1,j,p,p,L,L,1,i,ij,p,p,L,L,M,M,M,M,L,L,L,L,4.,二维连续型随机变量的联合概率密度函数,(,),(,)d,d,x,y,F,x,y,f,x,y,y,x,?,?,?,?,?,(1),二维均匀分布,1,(,),(,),0,x,y,D,f,x,y,A,?,?,?,?,?,?
20、,?,其它,5.,常见的二维连续型随机变量的联合密度函数,(2),二维正态分布,2,2,1,1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,(,),(,)(,),(,),1,2,2(1,),2,1,(,),e,2,1,x,x,y,y,f,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,6.,边缘分布函数,设二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数为,F,(,x,y,),，,(,),(,),P,X,x,P,X,x,Y,?,?,?,?,?,(,),X,F,x,?,(,),F,x,?,?,X,的边缘分布函数,(,
21、),(,),P,Y,y,P,X,Y,y,?,?,?,?,?,(,),Y,F,y,?,(,),F,y,?,?,Y,的边缘分布函数,(,),(,),X,F,x,F,x,?,?,(,),(,),Y,F,y,F,y,?,?,i,j,ij,P,X,x,Y,y,p,?,?,?,(,1,2,3,),i,j,?,L,若二维离散型随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,则,i,i,P,X,x,P,X,x,Y,?,?,?,?,?,(,1,2,3,),i,?,L,(1),X,的边缘分布律为：,i,i,P,Y,y,P,X,Y,y,?,?,?,?,?,(,1,2,3,),i,?,L,(2),Y,的边缘分布律为：,7.
22、,二维离散型随机变量的边缘分布律,i,p,?,?,j,p,?,?,二维离散型随机变量的边缘分布律,(,表格形式,),X,Y,1,i,x,x,M,M,1,j,y,y,L,L,M,M,11,1,j,p,p,L,L,1,i,ij,p,p,L,L,M,M,L,L,L,L,(1),X,的边缘分布：,(2),Y,的边缘分布：,X,概率,x,1,x,2,L,i,x,L,1,p,?,2,p,?,L,i,p,?,L,Y,概率,1,y,2,y,L,j,y,L,1,p,?,2,p,?,L,j,p,?,L,第,i,行之和,第,j,列之和,M,M,i,p,?,j,p,?,i,p,?,1,j,p,p,?,?,L,L,1,
23、p,?,8.,二维连续型随机变量的边缘分布,(,),(,)d,d,x,P,X,x,Y,f,x,y,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,X,的边缘,(,概率,),密度函数：,(,),X,f,x,(1),X,的边缘分布函数为,设二维连续型随机变量,(,X,Y,),的联合密度,函数为,f,(,x,y,),，则：,(,),X,F,x,?,(2),Y,的边缘分布函数为,(,),(,)d,d,y,P,X,Y,y,f,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),Y,F,y,?,Y,的边缘,(,概率,),密度函数：,(,),Y,f,y,(
24、,),(,),(,)(,),X,Y,f,x,y,f,x,f,y,x,y,?,?,?,(,),ij,i,j,p,p,p,i,j,?,?,?,?,?,9.,随机变量,X,，,Y,相互独立的判定方法,(1),依据随机事件概率的特征判定：,P,(,X,x,Y,y,)=,P,(,X,x,),P,(,Y,y,),(2),依据随机变量的联合分布函数及边缘分布,函数的特征判定：,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),(3),依据离散型随机变量的分布律及边缘分布,律的特征判定：,(4),依据连续型随机变量的联合密度函数及边,缘密度函数的特征判定：,(,),ij,i,j,p,p,p,i,j
25、,?,?,?,?,?,(1),设,(,X,Y,),为二维离散型随机变量，其分布律已知,.,假设,P,(,Y,=,y,j,)0,则在条件,Y,=,y,j,下,X,=,x,i,的条,件概率为：,10.,离散型随机变量的条件分布律,:,(,),(,|,),(,),i,j,i,j,j,P,X,x,Y,y,P,X,x,Y,y,P,Y,y,?,?,?,?,?,?,称这个分布为,在给定的,Y,=,y,j,条件下,X,的条件分布律,.,表格形式：,|,j,X,Y,y,?,概率,x,1,x,2,L,i,x,L,L,L,(,1,2,),ij,j,p,i,p,?,?,?,L,1,j,j,p,p,?,2,j,j,p,
26、p,?,ij,j,p,p,?,(2),设,(,X,Y,),为二维离散型随机变量，其分布律已知,.,假设,P,(,X,=,x,i,)0,则在条件,X,=,x,i,下,Y,=,y,j,的,条件概率为：,(,),(,|,),(,),i,j,j,i,i,P,X,x,Y,y,P,Y,y,X,x,P,X,x,?,?,?,?,?,?,称这个分布为,在给定的,X,=,x,i,条件下,Y,的条件分布律,.,表格形式：,|,i,Y,X,x,?,概率,1,y,2,y,L,j,y,L,L,L,(,1,2,),ij,i,p,j,p,?,?,?,L,1,i,i,p,p,?,2,i,i,p,p,?,ij,i,p,p,?,(
27、1),对于二维连续型随机变量,(,X,Y,),，其分布已知,.,规定,在给定的,Y,=,y,条件下,X,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为：,11.,连续型随机变量的条件分布律,:,(,),(,|,),(,)d,f,x,y,f,x,y,f,x,y,x,?,?,?,?,(,),(,),Y,f,x,y,f,y,?,(2),对于二维连续型随机变量,(,X,Y,),，其分布已知,.,规定,在给定的,X,=,x,条件下,Y,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为：,(,),(,|,),(,)d,f,x,y,f,y,x,f,x,y,y,?,?,?,?,(,),(,),X,f,x
28、,y,f,x,?,第六章,随机变量的函数及其分布,第一节,一维随机变量的函数及其分布,第二节,二维随机变量的函数的分布,第六章,基本知识点,若,X,为离散型随机变量,其分布律为,则随机变量,X,的函数,Y,=,g,(,X,),的分布律为,1.,离散型随机变量的函数的分布,X,概率,x,1,x,2,L,i,x,L,1,p,L,i,p,L,2,p,(,),Y,g,X,?,概率,1,(,),g,x,2,(,),g,x,L,(,),i,g,x,L,1,p,L,i,p,L,2,p,设,X,为连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(,x,).,y,=,g,(,x,),是一个连续函数，则：,(1),求随机变
29、量,Y,=,g,(,X,),的分布函数,F,Y,(,y,),为：,(,),Y,F,y,(,),P,Y,y,?,?,(,(,),),P,g,X,y,?,?,(2),随机变量,Y,=,g,(,X,),的概率密度函数,f,Y,(,y,),为：,2.,连续型随机变量的函数的分布,?,?,(,(,),),P,X,x,g,x,y,?,?,?,(,),g,P,x,I,?,?,(,),(,),Y,Y,f,y,F,y,?,3.,二维离散型随机变量的函数的分布,设,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，其联合,分布律为,(,)(,1,2,),i,j,i,j,p,P,X,x,Y,y,i,j,?,?,?,?,L,g,
30、(,x,y,),是一个二元函数，,Z,=,g,(,X,Y,),是二,维随机变量,(,X,Y,),的函数，则随机变量,Z,的分布律为：,(,(,),(,1,2,),i,j,i,j,P,Z,g,x,y,p,i,j,?,?,?,L,4.,二维连续型随机变量的函数的分布,(,),(,(,),),Z,F,z,P,g,X,Y,z,?,?,Z,的分布密度函数为：,(,),(,)d,d,g,x,y,z,f,x,y,x,y,?,?,?,(1)(,X,Y,),是二维随机变量,Z,的分布函数为：,假设：,(2)(,X,Y,),的联合分布函数为,F,(,x,y,),(3),Z,=,g,(,X,Y,),是随机变量,X,
31、Y,的二元函数,(,),(,),Z,Z,f,z,F,z,?,第七章,随机变量的数字特征,第一节,数学期望,第二节,方差和标准差,第三节,协方差和相关系数,第四节,切比雪夫不等式及大数律,第五节,中心极限定理,第七章,基本知识点,1,1,2,2,i,i,x,p,x,p,x,p,?,?,?,?,L,L,(,),(,1,2,),i,i,P,X,x,p,i,?,?,?,L,设离散型随机变量的概率分布律为,1.,离散型随机变量的数学期望,则随机变量,X,的数学期望为：,定义：,即,X,概率,x,1,x,2,L,i,x,L,1,p,L,i,p,L,2,p,i,i,i,x,p,?,?,(,),E,X,?,2
32、.,连续型随机变量的数学期望,E,(,X,),(,),(,)d,E,X,x,f,x,x,?,?,?,?,3.,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(1)(,X,Y,),为二维离散型随机变量,(,),(,(,),(,),E,X,Y,E,X,E,Y,?,(,),(,),i,i,i,i,i,ij,i,i,i,j,E,X,x,P,X,x,x,p,x,p,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),(,),j,j,j,j,j,ij,j,j,j,i,E,Y,y,P,Y,y,y,p,y,p,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),(,)d,(,)d,d,X,E,X,xf,x,x,xf,x,y,x,y,?
33、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),(,)d,(,)d,d,Y,E,Y,yf,y,y,yf,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(2)(,X,Y,),为二维连续型随机变量,4.,随机变量的函数的数学期望,定理,1,：,设,Y,=,g,(,X,),是随机变量,X,的函数，,1,(,),(,),(,),k,k,k,E,Y,E,g,X,g,x,p,?,?,?,?,?,(,),(,1,2,),i,i,P,X,x,p,i,?,?,?,L,?,离散型,?,连续型,(,),(,),(,),(,)d,E,Y,E,g,X,g,x,f,x,x,?,?,?,?,?,(,),f,
34、x,概率密度为,一维情形,(,),(,),i,j,ij,i,j,E,g,X,Y,g,x,y,p,?,?,定理,2,：,1,2,L,i,j,ij,P,X,x,Y,y,p,i,j,?,?,?,?,(,),(,),(,)d,d,E,g,X,Y,g,x,y,f,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,(,),f,x,y,联合概率密度为,设,Z,=,g,(,X,Y,),是随机变量,X,Y,的函数，,?,连续型,?,离散型,二维情形,5.,方差,?,?,2,(,),(,),D,X,E,X,E,X,?,?,6.,标准差,(,均方差,),(,),(,),X,D,X,?,?,注：,方差的计算方法,(1),?
35、,?,2,(,),(,),D,X,E,X,E,X,?,?,(2),2,2,(,),(,),(,),D,X,E,X,E,X,?,?,常用的简便方法,描述数据分散程度的指标,7.,一维随机变量的方差,设离散型随机变量,X,的概率分布为,(,),(,1,2,),i,i,P,X,x,p,i,?,?,?,L,(1),离散型,(2),连续型,设连续型随机变量,X,的分布密度为,f,(,x,),?,?,2,2,(,)d,(,)d,x,f,x,x,xf,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,(,),(,),(,),D,X,E,X,E,X,?,?,2,2,i,i,i,i,i,i,x,p,x,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,(,),(,),(,),D,X,E,X,E,X,?,?,0-1,分布,p,3.,常见分布及其期望和方差,方差,D,(,X,),数学期望,E,(,X,),常见分布,pq,npq,np,?,?,2,a,b,?,2,(,),12,b,a,?,?,2,?,2,1,?,1,?,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,8.,二维随机变量的方差,(,),(,(,),(,),D,X,Y,D,X,D,Y,?,9.,随机变量,X,和,Y,的协方差的定义：,(,(,)(,(,),E,X,E,X,Y,E,Y,?,?,cov(,),X,Y,?,
