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1、4.动能定理 功能原理,4.1 动能定理4.2 保守力和非保守力 势能4.3 功能原理和机械能守恒4.4 三种宇宙速度4.5 能量守恒定律4.6 质心 质心运动定理,研究力在空间的积累效应。,注意:,1.提高对“功、动能、动能定理、势能、功能原理、机械能守恒定律”的理解。,2.搞清规律的内容、来源、对象、成立条件。,3.搞清它们与参考系的关系。,功的计算是否依赖参考系？,例如：,如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？,某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？,4.1 动能定理,功:力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。,称为“力沿路径 L 的线积分”,(L),(1)功是过程量；,
2、(2)功是标量（有正负）；,对微小过程，可当成恒力、直线运动,4.1.1 功和功率,由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度小、力大，速度大、力小。,-“牛马关系”,（瞬时）功率:若在 t t+dt 内，力 的元功为 dA，则 t 时刻的功率,直角坐标系：,合力的功：,例1.重力的功 地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b，求重力的功。,蚂蚁在作功,例2.一人从10m深的井中提水，起始时桶和水共重10kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。,附1.一质量为2kg的物体，在变力的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动，求前两秒此力所
3、作的功。,4.1.2 动能定理,一.质点的动能定理,“合力对质点作的功等于质点动能的增量”,设合力为，由牛II，,一个过程量=始末两个状态量之差。,动能定理只适用于惯性系。,说明:,二.质点系的动能定理：,对第 i个质点：合外力的功,合内力的功,对质点系：,简记为,A外+A内=Ek2-Ek1,所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。-质点系的动能定理,注意：1.内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。,2.内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总 动能。,三、一对力的功,设一对力分别作用在两个物体上,一对力的元功,初位形（A）:m1-A1，m2-A2,末位形（
4、B）:m1-B1，m2-B2,.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对于另一质点移动的路径所作的功。,说明:,.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与参考系的选取无关。,一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功,3.,无论大物体怎么运动，这一对力的功总是零，没有相对运动。,一对静摩擦力的功恒为零！,例、一对静摩擦力的功是多大？,例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的 功是多大？,一对正压力的功恒为零！,一对滑动摩擦力之功恒小于零！,在地面系看：摩擦力 f 作负功，A=-f s,物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。,在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.,f 到底作不作功
5、？,若 f 不作功，热能从何而来?,讨论,一个物体在地面上滑行，受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。,（矛盾？）,这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:,地面系：,物体系：,两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！),例3.在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l，质量为M。一质量为 m的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为 v，方向仍为水平。试求砂箱对子弹的平均阻力。,【解】,由题给的条件，根据动量的规律，可先求出子弹射出时砂箱的速度。,再根据能量的规律，由计算一对力的功的办法，求出子弹受的平均阻力。,（直接用冲量定理？）,系统：砂箱和子弹,水平外力为零，水平动量守恒，,设
6、子弹射出时砂箱的速度为V，如图，,（0）,则有,由动能定理：,现在外力的功为零；内力的功 就是一对阻力的功，,A外+A内=Ek2-Ek1,我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：,设子弹受的平均阻力为（即看作常数）,而子弹相对砂箱的位移即为l，,所以，,将V代入，可得,讨论：1.量纲对,2.特例对（当 时）,4.2 保守力与非保守力 势能,一对万有引力的功：,以 M为参考系的原点,计算起来就非常方便，只要算一个力的功 即可。,一对万有引力的功“与质点的始末位置有关,与路径无关，这种性质的力称为保守力”。,注意,功的数值依赖于参考系的选择。,例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功;在小球参照系弹
7、性力对小球 f 并不作功！,例4.一水平桌面上放置的弹簧振子,小球从A点运动 到B点的过程中,求弹性力对小球作的功。,(0),保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。,若 是保守力，必有,常见的保守力:,万有引力(或有心力）,弹力（或位置的单值函数）,重力（或恒力）,常见的非保守力（耗散力）：,摩擦力,爆炸力,4.2.2 势能和势能曲线,一对保守力的功只与系统的始末相对位形有关,说明系统存在一种只与相对位形有关的能量。,一对保守力的功（过程量）都可以写成两个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能,表示,一对保守力的功等于系统势能的
8、减量。(或势能增量的负值),若选定势能零点为=0,则,对万有引力势能:通常选两质点相距 无限远时的势能为零,重力势能：实质上是地球表面附近物体的 万有引力势能的一个简化。（选地球表面为势能零点）,则,令 若 hR，,式中,对弹性势能:通常选弹簧自然长度时的 势能为零,则,说明：,1.势能属于有相互作用的系统。,3.势能零点的选择可以任意。势能零点的选择不同,势能的值不同,但不影响两势能之差，即不影响一对保守力的功。,2.势能的差值不依赖于参考系的选择。因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。,因为它是与一对保守力的功联系在一起的。,重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质量有关，其实这是以地球
9、为参考系的缘故。,如何由势能求保守力?,二、由势能求保守力,对于一个元过程，保守力的功有,一般,例.由弹性势能求弹性力。,（梯度算符）,记作,已知,例.由万有引力势能求万有引力。,例.由双原子分子势能曲线 知分子力的大致情况,r=r0：斜率=0，fr=0。,r r0：斜率 0，fr 0,趋向势能小处，是引力。,r 0,趋向势能小处，是斥力。,是平衡位置，不受力。,4.3 功能原理与机械能守恒定律,功能原理（成立条件 为惯性系）,如果在质点系的运动过程中,只有保守内力作功(外力和非保守内力都不作功),那么这过程机械能守恒。,-机械能守恒定律,都称为机械能守恒。,说明,1.,撑杆跳的过程,能量是怎
10、样转化的?,2.对于一个孤立系统（与外界无相互作用）,若A内非0,它的机械能就不守恒。,A内非0-E2 E1-其他形式能量转化 为机械能,(地雷）,A内非0-E2 E1-机械能转化为其他 形式能量,（摩擦）,注意:1.机械能守恒定律也只适用与惯性系。,2.但是，在一个惯性系中机械能守恒,在另一个惯性系中机械能不见得守恒。,要看机械能守恒条件在该惯性系中是否成立？,S：,S：,机械能不守恒。,例5.一个单摆如图，对“小球和地球”组成的系统，若在匀速直线运动的小车系S中是机械能守恒的，但在地面系S中并不守恒。,只有保守内力作功，机械能守恒。,在地面参考系中,弹簧小球系统的机械能守恒,在匀速行驶的小
11、车参考系中守恒不?,例6.光滑水平地面上的一水平弹簧振子,（课下思考）,那么，在一个惯性参考系中动能定理、功能原理成立，在另一个惯性参考系中是否也成立？,答：都成立。,因为它们成立的条件 就是“惯性系”。,例7.,已知：如图所示.m=0.2kg,M=2kg,v=4.9m/s 求：hmax=?,【解】系统:m+M+地球,条件:A外=0，A内非=0 故机械能守恒.,当 h=hmax的时刻，M与 m 速度相同，设为V,沿水平方向。,对m+M：水平方向F外=0，水平方向动量守恒。,（竖直方向动量守恒否？）,mv=（m+M）V(2),由(1)(2)得,讨论:1.量纲:对！,2.特例:,对！,代入数据：,
12、例8.分析一种荡秋千方式的力学原理。,系统:人+地球,A外=0,A内非=0 故机械能守恒.,2-3:下摆过程,到最低点时，,3-4:当在最低点时 人站起来,1-2：人迅速蹲下，使有效摆长由 l 变为l;,动量不守恒！,秋千的长度缩短,由;速率增大，由,重力势能增加了,动能也增加了,但 M外=0，,对O点角动量守恒：,在 3-4 的过程中，机械能增加了：,-从内能转化而来,从何而来？,（v v）,4-5：上摆过程,所以能越摆越高。,右端变大了：分母变小了，分子变大了，,左端也变大了：变小了，变大了。,4.4 三种宇宙速度（自学）,这是在美国 加州的一组排成阵列的镜子，它们将太阳光会聚到塔顶处的锅
13、炉上。太阳能热能,大量事实表明:一个孤立系统无论经历何种变化,系统各种形式能量的总和是不变的。这称为普遍的能量守恒定律。,4.5 能量守恒定律,4.6 质心 质心运动定理,质心-质点系的质量中心。,两个质点的质心 c 的位置,定义如下:,它是物体位置 以质量为权重的 平均值。,一.质心的概念和质心位置的确定,对多个质点的质点系,若物体的质量连续分布,则,均匀的直棍、圆盘、球体、圆环等,质心在它们的几何中心上。,物体的质心一定在物体上吗？,质心与重心是不同的概念,它们 一定在同一点上吗?,质心的速度（对t 求导）,质点系的总动量,质点系的总动量的变化率,二.质心运动定理,有,即“一个质点系的质心
14、的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系所受的外力之和”,-质心运动定理,它说明质心的运动服从牛。,它也说明系统内力不会影响质心的运动。,求：船相对岸移动的距离 d=？（设船与水之间的 摩擦可以忽略）,【解】,方法一：,质心法。,系统：人与船,水平方向：不受外力,所以质心始终静止。,例9 质量M=200千克、长 l=4米 的木船 浮在 静止 的水面上，一质量为m=50千克 的人站在船尾。今人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，,得,x方向：,（负号表示什么？）,位移,（相同）,设，如图，从船尾走到船头需时T,三.质心（参考）系
15、,1.质心系,质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心在其中静止的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,即在质心系中考察质点系的运动。,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动；,各质点相对于质心的运动,2.质心系的基本特征,所以，质心参考系是 零动量参考系。,例.两质点系统，在其质心参考系中，,总是具有等值、反向的动量。,因质点系的总动量为,对质心参考系来说,质心系中看两粒子碰撞,第10题.水平面上有一质量为 M、倾角为 的 斜面体，一质量为 m 的物体从高为 h 处由静止下滑（忽略所有摩擦）。,求：物体滑到底面的过程中，斜面体后退的
16、距离及对斜面体作的功。,【解】,对M：,m M 之间的一对正压力功 之和为零,又无摩擦，只有保守力作功，所以机械能守恒,利用相对运动 速度关系：,对“m+M”系统：Fx=0 所以Px守恒,对“m+M+地球”系统：,由式（1）(4)联立，可得,设下滑时间为T，下滑是变速的，,所以,位移关系：,功,后退距离,解（5）、（6）联立，可得S,结果,方法二.“动量守恒+牛顿定律+相对运动”,同前可得,应用牛顿定律可解得楔块的加速度（书P78例2.3）：,所以楔块受的水平力是恒力：,（同前）,第11题.设地球可看作半径 R=6400km 的球体。一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的 圆形轨道上
17、以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球 运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭,给 卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.,求：此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离 地面多少公里？,使卫星转为椭圆轨道。,所以角动量守恒。,设火箭点燃时，卫星 m 对地心的 位矢为,在近地点时，位矢为，速度为，则有,速度为,【解】,对“卫星+地球”,对“卫星+地球”,因为作椭圆运动时，只有万有引力作功，机械能守恒，有,（动量矩）,（动量矩）,为了免去G、M 的计算，通常利用卫星作圆周运动时的向心力（即万有引力）来化简上式：,代入机械能守恒式：,得,解（1）（2）联立-将（1）式的 v 代入（2），,近地点高度,远地点高度,同理,可得,结 束,
