数学双基·新概念数学·数学文化(张奠宙).ppt

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1、数学双基新概念数学数学文化,第一部分。关于“双基”教学,沈阳论数学课程标准，研究数学双基的继承问题。台湾教改的失败，引发对双基的思考 数学教学改革的平衡，不能走极端“双基”的与时俱进，继承与发扬。,双基数学教学引起重视,10月19日，沈阳举行9年义务教育数学课程标准研讨会。圆桌讨论会的议题之一是“双基”的理解。基本理念：*双基是优良传统之一*“双基”必须“与时俱进”,台湾教改新闻,建构主义教改失败。理解和记忆的关系。（记忆）九九表：7 x4=28 建构（理解）7+7=14，14+7=21，21+7=28。民怨沸腾。,台湾教育界认为指挥失当,月亮是外国的圆。教育理论照搬外国，不看文化背景。“教改

2、象月亮，初一十五不一样”，片面性。“教育生活化”，联系学生生活实际和打好双基，各唱各的调。月亮自己不发光，照到那里那里亮。有些教育家自己不会上课，却指导别人上课。,教师的作用,教师的主导作用，新标准不提了。教师是数学学习的组织者、引导者、与合作者。（全国标准 第二页）误解：建构主义认为，教师不应该直接告诉任何知识，要学生自己去建构。启发式就是符合建构主义观点的！,“数学教育幽默之一,一。合作学习 在一堂数学公开课上，女生：你的头发有点乱。男生：你的眉毛画得太浓评课者：这堂课合作学习搞得很好，学生很活跃。,数学教育幽默之二,二“探究式教学”数学老师问：“3 4 是多少？”学生甲：“等于7。”老师

3、说：“不对，比答案小了。”学生乙：“等于34”，老师说：“不对，比答案大得多了。”于是老师左手伸出一个指头，右手伸出两个指头。众学生：“答案是12！”老师：“你们真聪明，发现了数学真理！”数学教育幽默之三排中律和选择题 四个士兵出外打靶。士兵甲扣动扳机，未打中，偏右。士兵乙打第二枪，偏左。士兵丙开第三枪，偏上，也未中靶。第四位士兵丁，没有开枪，却胜利高呼了：“我打中了，我胜利了。”,2003年12月21日文汇报刊登 台湾佛光大学艺术学研究所所长林谷芳在北京大学的演讲,“一种美声唱法，占据了主流教育系统100年，这个社会还是部照你们的方式唱歌，到底是谁出了问题？音乐家说，我们出问题的几率较大。如

4、果我们不是受限于西方的结构体系，我们是否也能象西方音乐家（看到他们的音乐）一样，看到我们音乐的特质？其实我们原本就有一个丰富的系统在那里。每一次“以西非中“的时候，一直认为我们不如西方。当然这种提法不代表我们要固步自封，而是要在谈发展之前，我们有没有停下脚步，看看自己有多少东西。免得在发展时，不仅没有把自己的东西好好整理，甚至把自己的东西丢掉。,教训：要平衡，不要搞片面性,双基与发展。中国双基教学是否过时？记忆与理解。三角公式要不要背？独立思考与合作交流。数学是个人思考为主？知识积累与探究创新。公开课课都必须探究？科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？形式演绎与问题驱动。冰冷美丽和火热思考

5、 艰苦学习与愉快学习。如何才是愉快？事先探究与事后反思。反思教学的缺失,数学教育理论,弗赖登塔尔的理论 波利亚理论 建构主义 双基+发展理论,构思：,中国“双基”数学教学的框架 5层 目标层：数学观念、思维方式、数学方法4层 发展层：数学建模。研究性学习。文化思考。反思质疑。开放式教学。题型改革。数学思想方法3层“双基”层 双基的现状（数量分析）。双基的界定。在标准中的地位2层 教学经验 启发式。“问题引入”。“精讲多练”。变式练习。逻辑辨析。应试训练。1层 文化背景“稻作文化”。“儒家文化”。“考试文化”。“考据文化”。“熟能生巧”,双基教学是中国固有文化的产物,稻作文化。精耕细作。与游牧文

6、化的差异。儒家文化。不能创新，只能演绎 考试文化。着重基本技能考试 考据文化。着重细枝末节,（江苏高考题）如果函数 y=ax2+bx+a 的图象与x轴有两个交点，则点（a,b)在aob平面上的区域（不包含边界）为,答案为（3）。但是必须去掉 b轴(a不为0）,这是一道错题。,12名院士联名发表声明，要求国家考试中心认错。中心至今没有承认。辩称有“不包含边界”字样。来源：新华社独家提供高考数学题引来院士质疑一文在本报刊登后，12位院士联名倡议书的发起人、中国科学院力学研究所博士生导师朱如曾教授向记者表示：“我期待教育部看到报道后，再组织一次专家论证，对这道数学题的对与错给出一个客观正确的答案。”

7、,这是一道反映“双基”的好题,y=ax2+bx+a.判别式 b2 4a 2 0.(b 2a)(b+2a)0 得到区域(x x)但是，有两个交点意味着 a 不能为 0。,xx,xx,xx,“双基”教学的内涵（一）,基本知识的教学：*启发式，帮助学生理解；*问题引导。每堂课都重视“问题的引入”*逻辑辨析。对概念、命题、推理的逻辑成分十分注意；*注意表达。通过提问，学生复述，教师板书。训练学生的数学表示能力；*着重数学思想方法的认识与提高,双基教学的内涵（二）,做题要讲究速度。例如20以内的加减法，每分钟至少8个 精讲多练。课堂练习丰富。变式练习，丰富多彩。（如那道错题）熟能生巧的教育古训 考试文化

8、的正反效应。,双基教学的模式,常规模式：问题引入 师生讨论 巩固练习三段论 教学方式：教师主导的由教师提问、师生讨论的方式。定理证明的教学：小步走，小转弯，小坡度，提问式教学法 练习课复习课：大容量、快节奏、高密度的问题链串接。,双基教学的国际背景,2002年ICMI 研究会议（香港）CHC（孔夫子传统学习者）澳大利亚学者 瑞典的Marton 研究变式教学 中国自己研究反而落后？李士奇研究：“熟能生巧”吗？“熟能生笨（厌）”？,双基教学的评价,高考对检验“双基”是合适的。田中等的工作：对38道整式运算题要求学生在10分钟里尽量做，看能完成多少。无数的测验和考试成绩，只能反映双基，无法衡量“创造

9、”和“探究能力”。考试文化是一把双刃剑。,2003年12月23日文汇报记者报道 弹萧邦要尽量多情。有时技巧是音乐的敌人。,记者：“傅聪先生，您曾经说过，现在的年轻人弹奏技巧越来越好，能不能告诉我们，您的潜台词是什么?”傅聪：“现在很多孩子都是从3岁就开始练琴，练到10多岁，基础打得很扎实，基本技巧好得不得了，连我也很羡慕。但是呢，音乐其实他们懂的并不多，所以我说技巧有时是音乐的敌人，技巧和音乐根本是两码事。”数学奥赛得了名次，高考成了状元，其实他们的数学懂得并不多。,“双基”要与时俱进。,继承的基础上要发扬。继承不能保守，要“推陈出新”。双基不能“骂煞”，也不能“捧煞”。“双基理论”的总结，还

10、没有完成。“双基教学”的实践，有待发展。优秀的“双基”教学案例（名师授课录）新时期的“双基”教学案例，等待发掘。,改进双基的例子,戴再平教授领导的开放题教学，友密切结合双基的好例子。3 x3 y2 z 与 5 a3 b2 c 有什么共同点？钟面问题：在1，2，12这些数字添上 正负号，使其代数和为零。简单邮路问题（大家来创造）,我们应该继承和发扬什么？,问题引入，问题驱动，情景创设。启发式。教师主导，学生主体建构 师生互动。师生问答，教师板演。巩固反思，精讲多练，变式练习 小步走，小转弯，小坡度新授课。大容量，快节奏，高密度复习课。,建议：浙江师大数学教育节,第一届：2006年召开中国“双基+

11、发展”数学教学研讨会。“双基”是中国数学教育特色，却没有召开过特别的会议进行研究。依托庞大的浙江 数学教育硕士群，进行研究。与迅速发展的浙江经济相适应。,如何研究？例。函数的教学,西方的APOS理论 Action（行动）24,39 Procedure（过程）x x2 OBJECT（对象）f(x)+g(x)SCHME（概型）（2002年数学教育学报李莉的文章）,中国的函数教学,用自己的量表，分成一些水平。函数概念教学的重点：f(x)函数与方程 函数应用 函数与无限,出版专集,动员全省的数学教育工作者 以教育硕士为基干 打出浙江的特色 为全国服务走向世界。,二。新概念数学,问题驱动 返璞归真 探究

12、思考 接近大众,问题驱动,新概念英语：能够用英语交流 新概念数学：用问题驱动，理解数学本质。将课本上冰冷美丽的叙述恢复为火热思考。学术形态变成教育形态 过去仅仅是问题引入，发展为问题驱动。挖掘本原问题，揭示本原思想,初中代数的本原思想：关系,初中代数三个基本观点：静态关系：方程，已知 未知 动态关系：函数，自变量 因变量 随机关系：概率，数据分析 解题重要，思想是方向,以方程教学为例,问题一。方程的定义 现用定义：“含有未知数的等式叫方程”拟用定义：“为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的等式关系。”问题驱动：如何求未知数？找关系。什么关系？等式关系。从何建立？借助未知数为媒介。,问题2。

13、一元一次方程的求解,返璞归真解方程的本质：利用“守恒”思想。天平保持平衡是最主要的数学思想。一个等式两边同“加、减、乘、除”一个数，仍然相等。（除数不为0）,问题3.代数和算术的区别在那里？,是文字代表数？注重本质:不定元可以和数字一起运算 鸡兔同笼问题，x,y 代表鸡兔并非实质。关键是：鸡兔数（x,y，）可以和数字一样进行运算：（2x2+3x)=x(2x+3)从数的运算，进入到式的运算。,问题4 解方程的目标,1。等式变形（守恒）：变化中保持不变。2。暴露未知数。把隐藏着的“对象”揭露出来，人之常情。方法：移项，合并同类项，消元法配方,问题5 方程的数学探究,与函数的关系 在坐标上的表示：图

14、象 代数方程的发展,问题6 方程思想的运用 和平饭店的三根电线,地下室到12层楼的三根导线不一样长，电阻不同，如何测？背方程定义何用？x+y=a y+z=b z+a=c.解联立方程。X y z,问题驱动,不是每堂课都要问题驱动 寻找本原问题，提高数学思想品位。技巧是必要的，思想是统帅。袁枚：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”,返璞归真，平实近人,绝对等式（恒等式）与条件等式（方程式）绝对不等式与条件不等式。,相似的本质,地图，照片放大巨人的手（弗赖登塔尔）为巨人设计“书”，报纸、桌子、椅子,微积分思想的本质是什么？,微积分：极限-连续-导数，逻辑链条？定义面积和求面积 瞬时速度问题 增

15、量分析：定价与销量关系：单调下降函数。价格x 销量 y在价格x0 处变动x 销量y0变动y 好的数学模型，市场的语言 局部与整体的关系,几何问题的处理,量一量 拼一拼 演绎推理 直观感知 操作确认 演绎推理 定量计算,勾股定理的证明,量一量。误差 拼一拼。有缝隙吗？冰三角形，会“化”吗？全等三角形证明。要不要？,算法,全国标准列入 算法常识 算法传统 三个层次自然语言 框图语言 程序语言,第三部分 数学文化,傅聪：“弹萧邦要尽量多情”那么学数学要多理解文化！,数学文化：支撑数学的基础,音乐 不等于 音符节拍 美术 不等于 线条颜色 数学 不等于 逻辑程式 光彩照人的女王 X光照片下的骨架！,数

16、学文化的建设,数学文化 数学史 数学文化要从数学思想和一般文化的互动中进行考察。,为湖南初中数学而作,九年级上方程与守恒在变化中找到保持不变的规律，称为守恒。中国的社会在不断发展进步，一切事物都在与时俱进。但是，在巨大的社会变革中，有些是不变的。例如，中华民族的传统文化，民族精神。热爱祖国，崇尚和平，寻求大同，宣扬美德等等，都是不变的。在改革开放的今天，在与时俱进的变化中在实质上保持这些传统的精华，是一种文化的守恒。,物理 有能量守恒定律。,一个运动着的物体，它的动能和位能的总和是一个不变的常量。动能多了，位能就少了，反之也是这样。守恒定律是力学真理，有了它，人们对运动着的客观事物有了更深的认

17、识。化学方程式的平衡。总之，守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受。,对仗：变化中的不变,明月松间照 清泉石上流。虎踞龙盘今胜昔；天翻地覆慨而慷保持着意境、语词的某种不变性。文学通过这样的“守恒”，体现睿智和均衡的美。,变化中的不变性：数学规律,a+b=b+a a b=b a。再如分数（1/2）=（2/4）=（3/6）=，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是他们表示的大小数值没有变，都是0.5。这当然也是守恒。利用分数表示的守恒规则，我们可以通分，进行分数的加减乘除。对称，相似,欣赏数学中的不变量,变化是绝对的。寻找不变量是科学研究的任务。欧拉多面体定理：棱数+面数 点数=

18、2 哥德巴赫猜想：偶数=素数+素数 陈省身：陈类，不变量。,。发现守恒，永远是美丽的,数学思想的建立离不开人类文化的进步 在本原的思想上，例如守恒，许多学科之间都彼此相通。,从“对顶角相等”看不同的数学文化（九年级下）,“对顶角相等”。在图上，即指 A=B。几何原本里怎么证明的。C命题15。对顶角相等。A B 证明：因为角 A+C=B+C=平角.根据公理3：等量减等量，其差相等。因此，A=B.,中国古代数学没有对顶角定理,中国古代数学也具有光辉的成就。标志性的著作九章算术在春秋战国时期已经初步形成。书中有丈量田亩的“方田”等共九章，因而得名。然而，我们翻开九章算术 根本看不到“对顶角相等”这样

19、的命题，甚至没有明确地提到“角”的概念。为什么？,谋士向君王献计管理国家的数学,中国古代数学崇尚实用。九章算术中的问题，多半是谋士（包括数学家）向君王建议管理国家的理念和数学方法。比如，为了核实财产，需要丈量田亩，为了抽税，需要有比例计算，为了水利工程，需要计算土方，为了测量天文和地理，有时需要解方程。计算的便捷和精确，成为中国数学的特征。中国数学是世界上“管理数学”的最早文献，正因为如此，诸如“对顶角相等”这样的问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究的范围之中了。,公理演绎证明-奴隶主民主的产物,古希腊的城邦实行“奴隶主的民主政治”。那里由男性奴隶主选举执政官，提出预算，决定是否宣战等

20、重大问题。虽然这是少数人的民主，对大多数奴隶来说，并无民主可言。但是在这种“小民主”制度下毕竟要选举，于是有了在选举中说服对方，争取选票的需要。反映在文化上，便有了“说服”对方，进行证明的动机。他们认为，证明的最好途径是从大家公认的真理（公理）出发，通过逻辑推演得到结论。在这样的文化背景下，用“等量减等量”的公理证明“对顶角相等”，就是很自然的事了。,数学文化的价值,不同的文化孕育了不同的数学。古希腊的数学闪耀着理性思维的光辉，不迷信权威，不感情用事，不人云亦云，而是客观地、冷静地、逻辑地进行思考，探求真理。这，就是我们应该向古希腊文明学习的地方，也是我们学习几何证明的重要目的之一。,“算法数

21、学”和“数学机械化”的特征。,中国传统数学以计算见长。祖冲之（429-500）在这个基础上，计算出圆周率在3。1415926 和3。1415927之间，两个近似值是约率（22/7）和密率（155/113）公元2000年，吴文俊因“数学机械化方法”的重大数学成果获得第一届“国家最高科学技术奖”。他的贡献之一是用计算机能够证明所有已知的平面几何定理，而且发现一些新的定理。他是在信息时代既能继承中国古代“算法数学”传统，又能发展古希腊数学精神的典范。,案例1 直线上升与指数爆炸,数学与语言“复杂学”多项式算法与指数算法,案例2 赌博产生概率？,1654年，法国数学家费马和巴斯卡通信讨论一个赌博问题。

22、大意是：甲、乙两个赌徒各出5个银币，构成10银币的一笔赌金。然后开始赌博，约定谁先赢得4盘，谁就赢得这笔赌金。现在甲赢了3盘，乙赢了2盘。突然因故 赌博中止。问这十个银币应该怎么分配？（3：2？甲得6枚，乙得4枚）,巴斯卡的思考：数学期望,每赌一盘，甲、乙获胜的概率都一样，各为1/2。假定再赌一盘，如果甲获胜（概率为 1/2），他就得到全部的10枚银币。如果甲输（概率1/2），则两人是各胜两盘，赌金应该平分，各得5枚。由于甲、乙获胜的概率各为1/2，所以实际上甲应该得到（1/2）10+（1/2）5=7.5（枚），乙得（1/2）0+（1/2）5=2.5（枚）,打麻将能够产生概率论吗？,追求真理的

23、精神。1654年7月29日巴斯卡给费马的回信一开头是这样写的：“我和您的急切心情是一样的。虽然还卧病在床，但抑制不住要告诉您，我昨天晚上从卡尔卡维（P de Carcavi）手里接到您的来信后，我简直不知道用什么语言来称赞这封信”。善于提出问题。特别重要的是，把看上去不是数学的问题，经过抽象，发展为一个重大的数学理论。,案例3 仙农(Shannon)研究信息论,信息可以是数学研究的对象吗？一.信息量 烽火台.传送一个信息量 log2 2=1.两个烽火台.1.敌人来?2.要否补给?四种情况.log2 4=2.信息是 0,1 符号串.二.概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太阳升起”,“今天

24、日食”.事件的概率P(E)大,传送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1/P(E)?最后 H(E)=-P(E)log2 P(E).,（案例 4）时间和空间,初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。实际上，地球上的几何就超出了这个范围：非欧几何。让数学更有文情诗意，美丽的心灵描写数学家得2002年奥斯卡电影奖。,（案例5）函数的两个定义：宏观与微观,人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理

25、学上的宇宙与原子；艺术上的写意与工笔 初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。仔细到分段函数的端点在哪一段上（100克以上，含100克）两种定义互有短长，并非高级与低级之分,（案例6）万无一失-小概率事件,万无一失：比喻有绝对把握（成语词典）。对吗？十万有一失怎么办？中彩票，大约是百万分之一。每年死于交通事故的在7万人以上。哪种发生的概率大。心理差异与理性思维。航天火箭的设计，每个零件“万仅一失”不行。卖韭菜：“一根黄不算黄”数学思维和日常行为的碰撞。,案例 7,（案例49）仙农(Shannon

26、)研究信息论 一.信息量 烽火台.传送一个信息量 log2 2=1.两个烽火台.1.敌人来?2.要否补给?四种情况.log2 4=2.信息是 0,1 符号串.二.概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太阳升起”,“今天日食”.事件的概率P(E)大,传送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1/P(E)?H(E)=-P(E)log2 P(E).,案例 8 X大王名裂上海南京路（1999）,不等式的妙用。溜溜球（25元/只).溜溜蛋卷（1.5/包)每包蛋卷中有一张卡片,分红,白,绿,黄蓝五种花色.集齐5种花色卡片,可以换溜溜球一只.如5种卡片投放的概率为 P1,P2 P3 P4 P5,中獎率為(

27、P1,P2 P3 P4 P5)x 5!P1=P2=P3=P4=P5=(1/5)时最大.(0.04)实际 红色仅为 1/100.记者披露后,x大王名裂出南京路.,案例9。数学美,1。美观。1/2+1/3=2/5？（和谐的天性）2。美好。（a+b)2=a 2+b2(2ab)二次方程求根公式，丑陋但美好。3。美妙。三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。4。完美。数学的体系。数学的发展，人类的数学追求。,案例10 数学教育的德育功能,数学与德育。辨证？形而上学？买韭菜？三个和尚有几担水吃？爱国主义与狭隘民族主义？杨白劳借钱为什么不还？自信。船长年龄问题 课堂文化。竞争与合作,数学文化与数学思想方法,徐利治的数学方法论选讲。创举 数学方法不限于科学方法。数学方法不等于解题方法。哲学范畴和数学方法。数学思想方法：逻辑方法；模型思想；算法思想；方程思想；函数观念；坐标方法；空间观念；数形结合；化归方法；RMI原理；随机思想；极限思想。数学文化的思考,结束语,向未开垦的处女地进军！建设独特视野的数学教育！共勉！,