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1、案例2 北方印染公司应如何合理使用技术培训费为适应现代科学技术的发展，提高工人的技术水平，必须下功夫搞好职工技术培训。拨出专款进行智力投资，通过提高技术工人的水平，提高产品质量，能获取长期的经济效益。但是，智力投资的目的是以最小的必要投入换取最大的经济效益，因此要对可利用的有限的资金进行合理的分配和利用，这就需要对智力投资的资金进行规划。 北方印染公司需要的技术工人分为初级工、中级工、高级工三个层次，根据统计资料显示：培养出来的每个初级工每年可为公司增加产值1万元，每个中级工每年可为公司增加产值4万元，每个高级工每年可为公司增加产值5.5万元。 公司计划在今后的三年中拨出150万元作为职工培训
2、费，其中，第一年投资55万元，第二年投资45万元，第三年投资50万元。 通过公司过去培养初、中、高级工的经历并经过咨询，预计培养一名初级工，在高中毕业后需要一年，费用为1000元；培养一名中级工，高中毕业后需要三年的时间，第一年和第二年的费用为3000元，第三年的费用为1000元；培养一名高级工，高中毕业后也需要三年的时间，其中第一年的费用为3000元，第二年的费用为2000元，第三年的费用为4000元。 目前公司共有初级工226人，中级工560人，高级工496人，若通过提高目前技术工人的水平来增加中级工和高级工的人数，其培养时间和培养费用分别是：由初级工培养为中级工，需要一年时间，费用为28
3、00元。由初级工直接培养为高级工需要两年，第一年费用为2000元，第二年费用为3200元。由中级工培养为高级工需要一年，费用为3600元。 由于公司目前的师资力量不足，教学环境有限，每年可培养的职工人数受到一定的限制，根据目前的情况，每年培养出来的初级工不能超过90人，中级工不能超过80人，高级工不能超过80人。 为了利用有限的职工培训费培养更多的技术工人，并为公司创造更大的经济效益，要确定直接由高中毕业生中培养初、中、高级技术工人各多少人，通过提高目前技术工人的水平来增加中级工和高级工人数的初级工和中级工分别为多少，才能使企业增加的产值最多。解：变量的设置如下表所示（其中xij为第i类培训方
4、式在第j年培训的人数）：（每年年初开始培训）第一年第二年第三年1.高中生升初级工x11x12x132.高中生升中级工x21/3.高中生升高级工x31/4.初级工升中级工x41x42x435.初级工升高级工x51x52/6.中级工升高级工x61x62x63则每年年底培养出来的初级工,中级工和高级工人数分别为:第一年底第二年底第三年底初级工x11x12x13中级工x41x42x21+x43高级工x61x51+x62x31+x52+x63则每年年底增加的初级工、中级工、高级工人数分别为：第一年底第二年底第三年底初级工x11-x41x12-x42-x51x13-x43-x52中级工x41-x61x42
5、-x62x21+x43-x63高级工x61x51+x62x31+x52+x63则每年年底时的初级工、中级工和高级工人数分别为：第一年初第一年底第二年底第三年底初级工226226+x11-x41226+x11-x41+x12-x42-x51226+x11-x41+x12-x42-x51+x13-x43-x52中级工560560+x41-x61560+x41-x61+x42-x62560+x41-x61+x42-x62+x21+x43-x63高级工496496+x61496+x61+x51+x62496+x61+x51+x62+x31+x52+x63假设：1培训成本不计入总目标。2每个级别的工人（
6、包括高中生）在培训结束之前其产值均按原来所属的等级计算，培训结束后再按其所属的新等级计算年产值。即：某高中生在被培训期间，对产值一直无贡献；某初或中级工被培训期间，一直从事生产过程，对产值贡献一直处于原有位置不变，没有中间提升阶段。培训结束后，才会出现产值的提升。（当然，这样的假设条件在现实中是有问题的，不过是为了简化模型分析而给出的）3不考虑其它的培训。目标函数分析目标：培训后年产值的增量最大Max z= (x11-x41+x12-x42-x51+x13-x43-x52)+4(x41-x61+x42-x62+x21+x43-x63)+5.5(x61+x51+x62+x31+x52+x63)约
7、束条件分析1成本第一年成本C1:0.1x11+0.3x21+0.3x31+0.28x41+0.2x51+0.36x6155第二年成本C2:0.1x12+0.3x21+0.2x31+0.28x42+(0.32x51+0.2x52)+0.36x6245第三年成本C3:0.1x13+0.1x21+0.4x31+0.28x43+0.32x52+0.36x6350总成本C1+C2+ C3 150 （由于55+45+50=150，故本约束实际上可省略）2每类职工人数都不能为负，必须0226+x11-x410226+x11-x41+x12-x42-x510226+x11-x41+x12-x42-x51+x1
8、3-x43-x520560+x41-x610560+x41-x61+x42-x620560+x41-x61+x42-x62+x21+x43-x630496+x610（本式显然成立，因为高级工是始终增加的）496+x61+x51+x620（本式显然成立，因为高级工是始终增加的）496+x61+x51+x62+x31+x52+x630（本式显然成立，因为高级工是始终增加的）3师资限制x1190x1290x1390x4180x4280x21+x4380x6180x51+x6280x31+x52+x63804每年年初列入培训计划的人数不能超过现有该类人员的现有人数第一年初初级工：x41+x51226
9、（显然成立）第一年初中级工：x61560 （显然成立）第二年初初级工(即第一年年末)：x42+x52226+x11-x41第二年初中级工：x62560+x41-x61 （显然成立）第三年初初级工：x43226+x11-x41+x12-x42-x51第三年初中级工：x63560+x41-x61+x42-x62 （显然成立）5变量的非负性和整数约束xij0且为整数模型整理目标函数：MaxZ=x11+x12+x13+4x21+5.5x31+3x41+3x42+3x43+4.5x51+4.5x52+1.5x61+1.5x62+1.5x63第二类约束再分析：226+x11-x410 (由x4180可知，
10、显然成立，故删除)226+x11-x41+x12-x42-x510226+x11-x41+x12-x42-x51+x13-x43-x520560+x41-x610(由x6180可知，显然成立。故删除)560+x41-x61+x42-x620(由x6180、x62+x5180可知，显然成立。故删除)560+x41-x61+x42-x62+x21+x43-x630(由x6180、x62+x5180、x31+x52+x6380可知，显然成立。故删除同时，由第四类约束条件中的x43226+x11-x41+x12-x42-x51可得226+x11-x41+x12-x42-x510显然成立，故删除。所以，
11、第二类约束条件只剩下 226+x11-x41+x12-x42-x51+x13-x43-x520模型最终表示为MaxZ=x11+x12+x13+4x21+5.5x31+3x41+3x42+3x43+4.5x51+4.5x52+1.5x61+1.5x62+1.5x63)s.t.0.1x11+0.3x21+0.3x31+0.28x41+0.2x51+0.36x61550.1x12+0.3x21+0.2x31+0.28x42+(0.32x51+0.2x52)+0.36x62450.1x13+0.1x21+0.4x31+0.28x43+0.32x52+0.36x6350x1190x1290x1390x4180x4280x21+x4380x6180x51+x6280x31+x52+x6380-x11+x41+x42+x52226-x11-x12+x41 +x42+x43+x51226-x11-x12-x13+x41 +x42 +x43+x51 +x52226xij0且为整数LINGO软件求解结果：x11x12x13x21x31x41x42x43x51x52x61x62x63Z9029000802780805821001395.5
