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1、第二講函數的連續性,內容：連續性的介紹。連續性的定義。連續性的性質。連續性的應用。,連續性的介紹：,一般的連續性：若某一現象不停地出現，則稱此現象連續，如：時間不停地消失、地球不停地轉動、心臟不停地跳動、肺不停地呼吸、溪水不停地流動、太陽光不停地照射地球。函數的連續性：若函數的圖形沒有間斷、斷裂或跳動，則稱此函數連續。,1,2,1,，所以其圖形如下：,直接觀察其圖形：,直接觀察其圖形：,直接觀察其圖形：,1,2,1,x,y,直接觀察其圖形：,y,1,2,1,2.連續性的定義：,a.觀察前節的例題：,例 1.函數 在x=1 的左右極限分別為,。此情形表示函數f(x)在 x=1的左右圖形很靠近，但
2、 f(1),不存在，故 f(x)的圖形在 x=1有間斷的現象，所以 f(x)在x=1不連續。如果想要f(x)的圖形在 x=1連續，必須 f(1)的值能夠連接f(x)在 x=1的左右極限，即定義,，如此 f(x)在 x=1 就沒有間斷的現象，即 f(x),在x=1連續。,b.連續性的定義：,綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：,注意：此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續。因此，三個條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續。從這裡可以清楚知道，極限是連續的基礎。
3、,例 7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第7節的定理2可證得。,例 8.有理函數f(x)再任一不使分母為零的實數連續。直接經由第一講第7節的定理2 可證得。,例 9.絕對值函數 f(x)=|x|在任意實數連續。可分為下列三種情形討論：,3.連續性的性質：,連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算後，仍然具有連續性。,定理1.若 f(x)與 g(x)在 x=c 連續，則,注意：直接利用第一講第7節的定理1及連續性的定義，即可證得此定理。,連續性經過合成運算後，仍然有連續性。,最後，討論函數 f(x)在區間 的連續性。若f(x)在開區間(a,b)連續，則表示f(x)在區間(a,b
4、)的每一點連續。若f(x)在閉區間 a,b連續，則表示 f(x)在區間(a,b)的每一點連續，在a點右連續，在b點左連續。,何謂右連續，左連續？其定義如下：,注意：若f(x)在a點右連續且左連續，則f(x)在a點連續。反之亦然。,4.連續性的應用：,a.利用連續性求函數的極限值。,若 f(x)在 x=a 連續，則,b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。,定理1.若 f(x)在區間a,b連續，且w介於f(a)與f(b)之間，則存在 使得 f(c)=w。,此處利用圖形說明此定理的意義。,b,此函數在區間 a,b 的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，所以此函數在區間a,b連續。若w介於
5、f(a)與f(b)之間，即 f(a)w f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交於一點，即存在 使得 f(c)=w。,考慮函數不連續的情形，如下圖：,此函數在區間 a,b 的圖形在x=d 有斷裂的現象，所以此函數在區間a,b不連續。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即 f(b)w f(a),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線與函數曲線不相交，即不存在 使得 f(c)=w。,注意：從上面的討論，可知道連續性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗證。,若 w 介於 f(a)與 f(b)之間，即 f(a)w f(b),且經過 y 軸的 w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交，即存在 使得 f(c)=w。但是很清楚，函數在x=d 不連續，故連續性不是定理1的必要條件。,其次，討論方程式根的位置，稱為堪根定理。,定理 2.若 f(x)在區間 a,b 連續且 f(a)f(b)0，則存在，使得f(c)=0。,因為f(a)f(b)0，所以f(a)與f(b)異號，故0介於f(a)與f(b)之間，引用中間值定理，故存在，使得f(c)=0。,例 6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續的，則存在一直徑，其兩端的溫度相同。令此圓形鐵圈的半徑為 r 且圓心在原點，則鐵圈上任意點(x,y)的座標可寫成,
