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1、第三章 刚体的定轴转动,Rotation of a Rigid Body,第三章 刚体的定轴转动,任何物体可以视为质点系。刚体是一种特殊的质点系，是不同于质点的一种理想模型。,分割刚体得到的可当作质点考虑的物块称为质元。刚体上各质元的相对位置在任何情况下都不变。,刚体受力时可以忽略形状和体积变化的物体。,质元的运动服从质点的运动规律。研究刚体的运动，关于质点系的运动定律都适用。,3-1 刚体转动的描述,Motions of a Rigid Body,转轴,定轴转动刚体上所有质元都绕同一条固定直线做,平动刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。,1.刚体运动的分类,平动时所有质元的运动完全相同，
2、可用刚体的质心的运动代替整个刚体的运动。,定点转动刚体上的只有一点始终保持不动。,圆周运动；且各质元的角速度相同。,角速度刚体上任一质元圆周运动的角速度。角加速度刚体上任一质元圆周运动的角加速度。,.描述刚体定轴转动的角量,角量与线量的关系：,为矢量，方向规定为沿轴线的方向，用右手螺旋定则判断。?,关于刚体角速度和角加速度的积分关系：,如果是匀加速转动，即角加速度不变，则,0到t时间内的角位移,3-2 刚体定轴转动的动力学,Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis,力矩的定义（对点）,设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量
3、为，则该质点对O点的力矩 为,的大小：,刚体定轴转动定律：,是合外力矩在z轴的分量,选择转轴上任何一点OR 作为 和 的参考点。,轴向总力矩：,任意质点系的角动量定理：,z 方向的分量式：,力矩：,轴向总角动量：,质元 i 的角动量：,z 方向的分量式：,角动量：,3-2-3 转动惯量的计算,Computation of Moment of inertia,意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。,特性：（1）与质量有关。,（2）与质量对轴的分布有关。,（3）与转轴的位置有关。,计算：（1）质点系,（2）质量连续分布,产生。对一定的，,例1 求质量为m、半径为R的均匀薄圆环的转动惯量。轴与
4、圆环平面垂直并通过圆心。,解：,若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2 求质量为m、半径为R、厚为 l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环,J 与 l 无关.即,实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2.,解：取如图坐标，dm=dx,例3 求质量均匀分布的细棒对（1）对通过质心垂直于细棒；（2）通过端点的轴的转动惯量。棒长为，质量为。,注意：,3-2-4 刚体定轴转动定律的应用,Applications of the Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis,规范的解题思路：,分析题意，
5、确定哪些物体是刚体，哪些是质点，及其与问题关系。,选择坐标系和角量的参考方向，对刚体列出转动定律方程，对质点列出牛顿定律方程，并列出角量与线量的关系，再求解。,画隔离体受力分析图，确定对刚体有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。,分析刚体的转动和质点运动情况，找出相关的线量()和角量()。,例1 一不可伸长的轻质细绳，跨过一质量为m半径为 r、轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，如图所示。滑轮视为匀质圆盘。试求物体的加速度和绳中的张力。,解：m1和m2是质点，m是定轴刚体。,应用举例：,不妨设m1 m2。因绳不可伸长，有，刚体角加速度a。,列方程：,解得,练习 一长为1 m
6、的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成60，然后无初转速地将棒释放。已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度。求：(1)放手时棒的角加速度；(2)棒转到水平位置时的角加速度。,提示：利用转动定律,3.2.2.1 质点和刚体的角动量,引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。,1.质点的角动量,角动量的定义：（对点）,设一质点具有动量，由惯性系中某一固定点O指向它的位置矢量为，则该质点对O点的角动量 为,的大小：,的方向：垂直于 和 构成的平面。,右手螺旋法则,轴向总角动量：,质元 i 的角动量：
7、,角动量：,2.刚体的角动量,对z轴的角动量,3.2.2.2 刚体定轴转动的角动量定理,刚体的定轴转动的角动量定理：,3.2.2.3 对定轴的角动量守恒,质点系的角动量定理：,如果 常量。,对定轴的角动量守恒定律：如果一个质点系对某一固定轴的合外力矩为零，则对该定轴的总角动量保持不变。,说明：适用于刚体（J 不变）、刚体组和质点系（J 变）。对定轴的角动量守恒是普遍的质点系角动量守恒定律的特例。定律是对定轴，不是对点的。,例1 某人手握着哑铃，两臂伸开，坐在以一定角速度转动着的转椅上。此人把两臂收回，使（人、转椅和哑铃构成的系统）转动惯量减为原来的一半。试问：角速度增加多少？冰上旋转,解 对该
8、系统而言，外力有：三者的重力和轴承对椅的支撑力。它们均不对轴产生力矩，故系统的角动量守恒。,例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600 r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速。,3.2.3 转动中的功和能,Work and Energy of a Rotational Rigid Body,1.力矩的功 转动动能,力矩的功本质也是力对位移的累积。表现为力矩对角位移的累积。,刚体的转动动能是指刚体上各质点动能的总和。,M 为力对转轴的力矩,2.刚体定轴转动的动能定理,将定轴转动定律两边乘以 d,对 积分有:,合外力矩对一个定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量。,本章结束,The End of This Chapter,
