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1、1,第6章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,IIR的设计,Specifications,Desired IIR,Butterworth,Chebyshev,Ellipse,脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法,LP to HP,BP,BS,2,回顾IIR,优点：利用模拟滤波器成熟的理论和设计图表，保留了模拟滤波器优良的幅度特性,缺点：只考虑了幅度 特性，没考虑相位特性，一般具有非线性相位特性如果要得到线性相位特性，需要增加相位校正网络，使滤波器变得复杂，增加了成本，而且难以保证严格的线性相位特性,引入FIR,优点：在满足幅度特性技术要求的同时，很容易实现严格的线性相位特性,3,FIR滤波器概
2、述,系统函数,H(z)在z平面有N-1个零点，在原点处有一个N-1重极点，因此H(z)永远稳定。,稳定和线性相位特性是FIR滤波器的最突出优点。,FIR滤波器设计方法,不同于IIR。IIR借助模拟滤波器，FIR直接选择有限长度的h(n)，使得频响函数满足要求。,三种主要设计方法：窗函数法、频率采样法和Chebyshev等波纹法,4,6.1 线性相位FIR数字滤波器回顾6.2 利用窗函数法设计FIR滤波器6.3 利用频率采样法设计FIR滤波器6.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器6.5 IIR和FIR数字滤波器的比较6.6 FDATool,5,6.1 线性相位FIR数字滤波器回顾,考虑长度为
3、N的h(n)，系统函数为：,什么是线性相位FIR？,频率响应函数为：,Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，Hg()不同于|H(ej)|，Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。,(6.1.1),(6.1.2),6,H(ej)线性相位是指：()是的线性函数，即 为常数(6.1.3)或()满足下式：,0是起始相位(6.1.4)严格地说，(7.1.4)中()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,第一类线性相位,第二类线性相位,7,第一类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即,线性相位条件：,第二类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)
4、/2奇对称，即,注意：充分条件,(6.1.5),(6.1.6),8,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性,9,理想滤波器为Hd(z),基本思路,hd(n)是与其对应的单位脉冲响应。频率响应为,求和上下限为什么要取无穷？,对是连续的，需要无穷个这样的函数，才能逼近分段连续的理想滤波器的频率响应,10,Unfortunately,hd(n)序列不可能无限长，我们只能选取其中的N个，组成实际的序列h(n)，比如：,基本思路,wN(n)是长度为N的窗口。得到：,注意：通常选择构造长度为N的第一类线性相位FIR滤波器，即要求h(n)关于n=(N-1)/2偶对
5、称。,可以选择多种形状的窗口,11,图6.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,如果选择矩形窗口RN(n),窗函数法的一些性质,在时域上，截取了理想滤波器的部分单位单位响应序列，作为实际滤波器的单位脉冲序列用有限长的h(n)代替无限长的hd(n)，必然引起误差，即Gibbs效应，使得在频域上过渡带加宽通带、阻带波动N越大，误差越小，但系统越复杂、成本越高设计的基本目标构造窗函数，减少Gibbs效应满足线性相位特性,12,窗函数法导致的频域误差,h(n)对应的频率响应是什么样子？,13,可以这样计算：,也可以这样计算：根据傅立叶变换的频域卷积定理，有,该用哪种方法呢？,14,wN(n)=RN(
6、n),矩形窗,RN()称为矩形窗的幅度函数,15,RN()的特性,RN()在-2/N,2/N区间的一段波形称为主瓣，其余较小的波动称为旁瓣。,主瓣,旁瓣,16,设Hd(z)为希望逼近的线性相位低通滤波器，其频率响应为：,得到实际滤波器H(z)的频率响应为：,其中，其幅度特性Hd()为,最终得到实际滤波器H(z)的幅度特性H()为：,线性相位,Hd()和RN()的卷积,17,Hd()和RN()的卷积形成的波形：=0，H(0)为(a)、(b)两波形的积分，即RN()在-c,c之间积分。当c 2/N，近似于RN()在-,之间积分，归一化该积分为1。=c，当c 2/N，近似为RN()一半波形的积分，近
7、似值为1/2=c-2/N，主瓣在-c,c之内，最大负旁瓣在-c,c之外，Hd()有一个最大正峰=c+2/N，主瓣在-c,c之外，最大负旁瓣在-c,c之内，Hd()有一个最大负峰最大正负峰距离4/N,18,通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下三点：(1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。(3)通带和阻带中波纹的情况与窗函数的幅度函数有关，RN()旁瓣幅度的大小直接影响了H()波纹幅度的大小。,选择合适的窗
8、函数会改变旁瓣幅度，因此可以改变H()波纹幅度,19,增加矩形窗长度（即加大N）的效果,增加N并不能减小波纹幅度,在主瓣附近，RN()可近似为,N增大时：主瓣幅度增加，旁瓣也增加，相对值不变主瓣、旁瓣距离变小，波动频率加快,20,几种典型窗函数,四种波形图：窗函数时域波形、幅度特性曲线理想低通滤波器加窗后的单位脉冲响应、幅度特性曲线,定义几个参数：旁瓣峰值n最大旁瓣的最大值相对于主瓣最大值的衰减值(dB)过渡带宽度Bg该窗函数设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度阻带最小衰减s该窗函数设计的FIR数字滤波器的阻带最小衰减,21,1.矩形窗(Rectangle Window),其频率响应为,幅度特性
9、为,指标：n=-13dB;Bg=4/N;s=-21dB,22,2.三角形窗(Bartlett Window),(6.2.8),其频率响应为,(6.2.9),幅度特性为,23,指标：n=-25dB;Bg=8/N;s=-25dB,24,3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗,当N1时，N-1N，幅度特性为,其频率响应为,旁瓣对消，能量集中在主瓣,25,图6.2.3 汉宁窗的幅度特性,26,指标：n=-31dB;Bg=8/N;s=-44dB,27,4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,其频响函数WHm(ej)为,其幅度函数WHmg()为,当N1时，可近似表示为,能量更集中在主瓣，约占99.96%
10、。是Matlab默认窗函数,28,指标：n=-41dB;Bg=8/N;s=-53dB,29,5.布莱克曼(Blackman)窗,其频率响应函数为,其幅度函数为,旁瓣进一步抵消，但过渡带增宽,30,指标：n=-57dB;Bg=12/N;s=-74dB,31,常用的窗函数的时域波形,32,图6.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,33,图6.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,34,6.凯塞贝塞尔窗(Kais
11、er-Basel Window),式中,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：,前五种为参数固定窗函数，旁瓣幅度是固定的。凯塞贝塞尔窗参数可调，是一种最优窗函数。,35,一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为49。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为,36,凯塞窗参数对滤波器的性能影响,37,六种窗函数的基本参数,38,(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么单位取样响应用下式求出：,根
12、据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：,用窗函数设计FIR滤波器的步骤,39,例如，理想低通滤波器的单位取样响应hd(n)为：(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带宽度近似等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n),(4)验算设计出的滤波器频率响应是否满足指标：,40,例6.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。解 用理想低通作为逼近滤波器，有,41,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：,42,图6.2.7 例6.2.1的低通幅度特
13、性,Using Matlab,例：用Hanning窗设计高通FIRDF，要求p=/2，s=/4，ap=1dB，as=40dB。,43,%HP_Windowwp=.5;ws=.25;Bt=wp-ws;N0=ceil(6.2/Bt);N=N0+mod(N0+1,2);wc=(wp+ws)/2;hn=FIRl(N-1,wc,high,hanning(N);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(hk);xlabel(Frequency(pi
14、);ylabel(Magnitude(dB);,查表可知，Hanning窗满足40dB要求。,44,N=25,wc=0.375pi;hn=-0.0004-0.0006 0.0028 0.0071-0.0000-0.0185-0.0210 0.0165 0.0624 0.0355-0.1061-0.2898 0.6249-0.2898-0.1061 0.0355 0.0624 0.0165-0.0210-0.0185-0.0000 0.0071 0.0028-0.0006-0.0004,例：对模拟信号进行低通滤波处理。要求p=1.5kHz,s=2.5kHz,ap=1dB,as=40dB。采样频率
15、Fs=10kHz。,45,%LP_Windowwp=2*1.5/10;ws=2*2.5/10;as=40;Bt=ws-wp;alpha=0.5842*(as-21)+0.07886*(as-21);M=ceil(as-8)/2.285/Bt);wc=(wp+ws)/2;hn=FIRl(M,wc,kaiser(M+1,alpha);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(hk);xlabel(Frequency(pi);ylabel(M
16、agnitude(dB);,用凯塞窗,46,N=24;hn=0.0039 0.0041-0.0062-0.0147 0.0000 0.0286 0.0242-0.0332-0.0755 0.0000 0.1966 0.3724 0.3724 0.1966 0.0000-0.0755-0.0332 0.0242 0.0286 0.0000-0.0147-0.0062 0.0041 0.0039,例：设计带阻FIRDF，要求pl=.2,sl=.35,su=.65,pu=.8，ap=1dB，as=60dB。,47,%BS_Windowwp=.2,.8;ws=.35,.65;Bt=ws(1)-wp(1
17、);M=ceil(12/Bt)-1;wp=(ws(1)+wp(1)/2,(ws(2)+wp(2)/2;hn=FIRl(M,wp,stop,blackman(M+1);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(hk);xlabel(Frequency(pi);ylabel(Magnitude(dB);,48,N=80;,49,6.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ej)表示，对它在=0到2之间等间隔采样
18、N点，得到Hd(k)，,再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)，,50,式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位脉冲响应，其系统函数H(z)为,51,1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件 FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是：,(6.3.5),(6.3.6),(6.3.7),(6.3.4),52,在=02之间等间隔采样N点，,将=k代入(7.3.4)(7.3.7)式中，并写成k的函数：,(6.3.8),(6.3.9),(6.3.10),(6.3.11),53,设用理想低通作为希望设计的滤波器，
19、截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式计算：N=奇数时，,(6.3.12),注意：Hg(N)=Hg(0),c,kc是通带内最后一个采样点序号,54,N=偶数时，,(6.3.13),55,2.逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为Hd(ej),对应的单位脉冲响应为hd(n)，,则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘的主值区序列，即,由于理想滤波器对应的hd(n)序列无限长，因此有限的周期N必然带来时域混叠。N越大，混叠越小。,56,由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)
20、，其Z变换H(z)和H(k)的关系为,频率响应可以写成内插的形式：,57,在采样点上，逼近误差为0在采样点之间，有误差在Hdg()平滑的区域，误差较小在Hdg()突变的区域，误差较大在频响间断点附近区间内插几个过渡采样点，是不连续点变成过渡带，可增大阻带衰减，但会增加过渡带宽度,阻带衰减和过渡带宽度是一对矛盾,58,图6.3.1 理想低通滤波器增加过渡点,59,例6.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率c=/3，as=40dB，过渡带宽度Bt/16。解：as=40dB时需要增加一个过渡带采样点，即m1。,计算N：,Using Matlab,60,%LP_FreqSampl
21、eT=input(T=);wp=1/3;Bt=1/16;m=1;N=ceil(m+1)*2/Bt)+1;N=N+mod(N+1,2);F=0,wp,wp+2/N,wp+4/N,1;A=1,1,T,0,0;hn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(hk);xlabel(Frequency(pi);ylabel(Magnitude(dB);,61,T=.38as=-43.4411dB,62
22、,T=.5as=-29.6896dB,T=.6as=-25.0690dB,过渡带插值T不同，as不同,窗函数和频率采样法的特点,优点：简单方便，易于实现缺点：边界频率不易精确控制窗函数法使得通带、阻带波纹幅度相等，频率采样法只能控制阻带波纹幅度，它们都不能分别控制通带和阻带的幅度所设计的滤波器在阻带边界附近衰减最小，距离阻带边界越远，衰减越大。如果阻带边界的衰减刚好满足要求，那么阻带其它频段有很大富裕量，性价比较低,63,64,6.4 切比雪夫最佳逼近法,设希望设计的滤波器幅度特性为Hd()，实际设计的滤波器幅度特性为Hg()，其加权误差E()用下式表示：E()=W()Hd()-Hg(),什么
23、是最佳逼近？,设计具有线性相位的FIR滤波器，使E()最优,其单位脉冲响应序列h(n)必须满足一定条件，例如：h(n)=h(n-N-1)且N为奇数,65,M=(N-1)/2,最佳逼近问题：选择M+1个系数a(n),使加权误差E()的最大值为最小,W()可以在不同频段选择不同权重,66,该定理指出最佳一致逼近的充要条件是E()在A上至少呈现M+2个“交错”(alternations)，使得,Alternation Theorem,属于多项式逼近问题，证明已超出要求,67,对于低通滤波器,性能指标,Using Matlab,设计带阻滤波器，通带0,0.2pi、0.8pi,pi，ap=1dB；阻带0
24、.35pi,0.65pi，as=60dB。,%BS_Equiripf=0.2,0.35,0.65,0.8;m=1,0,1;ap=1;as=60;delta1=(10(ap/20)-1)/(10(ap/20)+1);delta2=10(-as/20);rip=delta1,delta2,delta1;M,fo,mo,w=remezord(f,m,rip);hn=remez(M,fo,mo,w);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(h
25、k);xlabel(Frequency(pi);ylabel(Magnitude(dB);,69,M=28,N=29,fo=0,.2,.35,.65,.8,1,mo=1,1,0,0,1,1,w=1,57.5011,1,设计数字低通滤波器,p=1.5kHz,ap=1dB;s=2.5kHz,as=40dB;采样频率10kHz,%LP_EquiripFs=10000;f=1500,2500;m=1,0;ap=1;as=40;delta1=(10(ap/20)-1)/(10(ap/20)+1);delta2=10(-as/20);rip=delta1,delta2;M,fo,mo,w=remezord
26、(f,m,rip,Fs);M=M+1;hn=remez(M,fo,mo,w);figure(1);stem(0:(length(hn)-1),hn);fk=0:1/200:1;hk=freqz(hn,1,fk*pi);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(hk);xlabel(Frequency(pi);ylabel(Magnitude(dB);,71,M=15,N=16,w=1,5.7501,72,6.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,性能：IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是
27、这个高效率是以相位的非线性为代价的对于同样的性能指标，FIR滤波器所要求的阶数一般比IIR滤波器高5-10倍，成本高，信号时延大，但是为线性相位,结构：IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定；另外，由于运算过程中的舍入处理，有限字长效应可能会引起寄生振荡FIR滤波器采用非递归结构，在理论和实际中都不存在稳定性问题，运算误差引起的噪声较小；此外，FIR可以采用FFT算法实现，运算速度可以大大提高,73,设计工具：IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器计算通带、阻带衰减等无显式表达式，其边界频率不易精确控制；FIR的设计依赖计算工具,灵活性：IIR滤波器虽然设计简单，但主要用于低通、高通、带通和带阻等滤波器，脱离不了典型滤波器的频响特性FIR滤波器则要灵活很多，易于适应某些特殊的应用,74,6.6 FDATool,Matlab：FDATool,
