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1、*四、二重积分的换元法,第二节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,下页,一、曲顶柱体体积的计算(二重积分几何意义),对于平面区域,称 D 为 X-型区域.,、平面区域的两种基本类型,下页,对于平面区域,称 D 为 Y-型区域.,一、曲顶柱体体积的计算-几何意义,设曲顶柱体的底为,任取,平面,截面积为,截柱体的,一、曲顶柱体体积的计算-几何意义,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为(元素法),截面积为,截柱体的,记作,下页,先写类型积分限类型积分后计算,同样,曲顶柱体的底为,则其体积可这样计算:,下页,先写类型积分限,类型积分后计算,例
2、1.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,解:设两个圆柱面的方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,所求体积为,下页,其底为,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,二、利用直角坐标计算二重积分,下页,均非负,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,下页,当被积函数在积分域上变号时,所述方法仍可用.,这是因为:,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,下页,例2.计算,其中D 是直线 y1,x2
3、,及,yx 所围的闭区域.,解法1 将D看作X-型区域,则,解法2 将D看作Y-型区域,则,下页,例3.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,下页,例4.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,下页,例5.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,下页,例6.计算,其中D 由,所围成.(奇函数示例),解:令,(如图所示),显然,下页,说明,说明:,如图作辅助线,D1分成两部分:,D12,D11,奇函数
4、对称区间,返回,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,增量为r,下页,分划区域 D.,射线=常数,增量为,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,增量为r,下页,分划区域 D.,射线=常数,增量为,又,故,设,则,特别,对,下页,此时若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),下页,例7.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用,由于,故,直角坐标计算.,下页,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分
5、公式,因,又,下页,例8.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,下页,练习:计算,其中 D 由曲线,与极轴围成.,下页,转小结,*四、二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理.,变换:,是一一对应的,下页,证:根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,通过变换T,在 xOy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,下页,其顶点为,同理得,当h,k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,下页,因此面积元素的关系为,从而得二重积
6、分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,下页,例9.计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,下页,例10.计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S.,解:令,则,下页,例11.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,下页,内容小结,(1)二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,下页,老式写法,则,*(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,下页,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量
7、易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先写类型积分限,类型积分后计算),充分利用对称性,*应用换元公式,下页,1.设,且,求,提示:,交换积分序得,下页,思考与练习,2.交换积分顺序,提示:积分域如图,下页,作业(习题10-2,P153)(直)1(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);7;8(极)11(1),(2);13(3);14(2);15(1),结束,解：,原式,备用题,1.给定,改变积分的次序.,下页,2.计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,结束,三、利用极坐标计算二重积分(原),对应有,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域 D 为,下页,即,下页,
