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1、6.4 面積與微積分基本定理,6.4 面積與微積分基本定理,學習目標求定積分值。利用微積分基本定理求定積分值。利用定積分求解邊際分析的問題。求函數在閉區間的平均值。利用偶函數與奇函數的性質求定積分。求年金。,P.6-26,第六章積分與其應用,面積與定積分,在幾何學中，面積為定義某個閉區間尺寸的數字，簡單的形狀，像是矩形、三角形和圓形，都有面積公式。,P.6-26,第六章積分與其應用,面積與定積分,P.6-26,第六章積分與其應用,本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積，如圖 6.5 中區域R 的面積,面積與定積分,P.6-26 圖6.5,第六章積分與其應用,範例 1求定積分值,求定積分。,P
2、.6-26,第六章積分與其應用,範例 1求定積分值（解）,此定積分代表圖形 f(x)2x、x 軸與直線 x 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形狀為三角形，高為 4 且底為 2。,P.6-26,第六章積分與其應用,範例 1求定積分值（解）,P.6-26 圖6.6,第六章積分與其應用,檢查站 1,以幾何的面積公式來求定積分，並以簡圖來驗證答案。,P.6-26,第六章積分與其應用,微積分基本定理,函數 A(x)為圖 6.7 中陰影區域的面積。欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 x，則面積的增加量為 A，再令 f(m)和 f(M)分別代表 f 在閉區間 x,x x 的極小
3、值與極大值。,P.6-27,第六章積分與其應用,微積分基本定理,依圖 6.8，可建立下列的不等式。,P.6-27,第六章積分與其應用,微積分基本定理,P.6-27 圖6.8,第六章積分與其應用,微積分基本定理,故 f(x)=A(x)和 A(x)=F(x)+C，其中 F(x)=f(x)。因為 A(a)=0，可得 C=F(a)，所以 A(x)=F(x)F(a)，即由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即可利用該反導數來計算定積分，此結果稱為微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。,P.6-27,第六章積分與其應用,微積分基本定理,P.6-27,第六章
4、積分與其應用,學習提示,微積分基本定理的介紹有兩種方式：一種以面積函數，如上所示；另一種則利用加總的程序，參見附錄。,P.6-27,第六章積分與其應用,微積分基本定理,P.6-28,第六章積分與其應用,微積分基本定理,在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區間 a,b 為非負值，則定積分就是面積。如今，這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 a,b 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為在閉區間 a,b 的任一連續函數，則從 a 到 b 的定積分可記為其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定代表面積，它可以是負數、零或正數。,P.6-28,第六章積分與其應用,微積分基本定理
5、,P.6-28,第六章積分與其應用,學習提示,請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積分表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然而定積分則是一個數。,P.6-28,第六章積分與其應用,範例 2以微積分基本定理求面積,求 x 軸與函數圖形 f(x)x2 1，1 x 2 所圍成區域的面積。,P.6-29,第六章積分與其應用,範例 2以微積分基本定理求面積（解）,如圖 6.9 所示，在區間 1 x 2，f(x)0。故可用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基本定理即可求得此面積。,P.6-29,第六章積分與其應用,所以，該區域的面積為 平方單位。,範例 2以微積分基本定理求面積（解）,P.6-
6、29 圖6.9,第六章積分與其應用,檢查站 2,求 x 軸與函數圖形f(x)x2 1，2 x 3所圍成區域的面積。,P.6-29,第六章積分與其應用,學習提示,在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中，如上例所示。,P.6-29,第六章積分與其應用,範例 3求定積分,求定積分，並畫出此積分所代表面積的區域。,P.6-29,第六章積分與其應用,範例 3求定積分（解）,此區域的圖形如圖 6.10 所示。,P.6-29,第六章積分與其應用,範例 3求定積分（解）,P.6-29 圖6.10,第六章積分與其應用,檢查站 3,求。,P.6-29,第六章積分與其應用,範
7、例 4求定積分,求下列定積分。,P.6-29,第六章積分與其應用,範例 4求定積分（解）,P.6-30,第六章積分與其應用,範例 4求定積分（解）,P.6-30,第六章積分與其應用,學習提示,請注意，範例 4(c)的定積分之值為負數。,P.6-30,第六章積分與其應用,檢查站 4,求下列定積分。,P.6-30,第六章積分與其應用,範例 5絕對值的解釋,求。,P.6-30,第六章積分與其應用,範例 5絕對值的解釋（解）,該定積分代表的區域畫在圖 6.11，由於絕對值的意義為,P.6-30,第六章積分與其應用,範例 5絕對值的解釋（解）,P.6-30 圖6.11,第六章積分與其應用,範例 5絕對值
8、的解釋（解）,再利用定積分的性質 3，將積分改寫成兩個定積分的和。,P.6-30,第六章積分與其應用,檢查站 5,求。,P.6-30,第六章積分與其應用,邊際分析,在介紹導數與微分量時(3.3 與 4.8 節)，我們討論過邊際分析。在給定成本、收入或利潤函數時，導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本、收入或利潤。本節則採反向推算；即給定邊際成本、邊際收入或邊際利潤，在多銷售一單位或幾個單位時，以定積分來計算成本、收入或利潤的實際增加量或減少量。,P.6-306-31,第六章積分與其應用,邊際分析,譬如，我們想求得銷售量從 x1 增加到 x2 時的額外收入，若已知收入函數 R，只要將
9、R(x2)減去 R(x1)；若不知收入函數，但是邊際收入函數為已知時，仍然可用定積分來求得額外的收入，如下所示：,P.6-31,第六章積分與其應用,範例 6分析利潤函數,某產品的邊際利潤函數可表示為。a.求銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤。b.求銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤。,P.6-31,第六章積分與其應用,範例 6分析利潤函數（解）,a.當銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤為,P.6-31,第六章積分與其應用,範例 6分析利潤函數（解）,b.當銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤為,P.6-31,第六章積分與其應用,檢查站 6,某產品的
10、邊際利潤函數可表示為a.求銷售量從 100 增加到 101時的額外利潤。b.求銷售量從 100 增加到 110時的額外利潤。,P.6-31,第六章積分與其應用,平均值,函數在某閉區間的平均值的定義如下：在 4.5 節提到以平均成本函數來計算生產量對成本的影響，下個例子將以積分來求得平均成本，來計算時間對成本的影響。,P.6-316-32,第六章積分與其應用,範例 7：決策求平均成本,P.6-32,第六章積分與其應用,在兩年期間內，生產 CD 播放機的單位成本 c 可表示為c=0.005t2+0.01t+13.15,0 t 24其中 t 是時間(月)。試估算這兩年內的單位平均成本，是否小於$15
11、？,範例 7：決策求平均成本（解）,單位平均成本可由對 c 在 0,24 積分來算出，所以，單位平均成本小於$15。,P.6-32,第六章積分與其應用,範例 7：決策求平均成本（解）,P.6-32 圖6.12,第六章積分與其應用,檢查站 7,生產直排輪的單位成本 c 可表示為c 0.005t2 0.02t 12.5，0 t 24，其中 t 時間(月)，試估算兩年內的單位平均成本。,P.6-32,第六章積分與其應用,平均值,若要確認範例 7 所算出的平均值是否合理，可假設從剛開始t 0 到結束 t 24，每個月只生產一單位的產品，當 t 0 時，成本為c=0.005(0)2+0.01(0)+13
12、.15=$13.15同理，當 t 1 時，成本為c=0.005(1)2+0.01(1)+13.15$13.17,P.6-32,第六章積分與其應用,平均值,每個月的成本是遞增的，其 25 個月的平均值為,P.6-32,第六章積分與其應用,偶函數與奇函數,幾個常見的函數圖形往往對稱於 y 軸或原點，參見圖 6.13；若f 的圖形對稱於 y 軸，如圖 6.13(a)所示，則f(x)f(x)偶函數且 f 稱為偶函數(even function)；若 f 的圖形對稱於原點，如圖 6.13(b)所示，則f(x)f(x)奇函數且 f 稱為奇函數(odd function)。,P.6-326-33,第六章積分
13、與其應用,偶函數與奇函數,P.6-33 圖6.33,第六章積分與其應用,偶函數與奇函數,P.6-33,第六章積分與其應用,範例 8偶函數與奇函數的積分,求下列定積分。,P.6-33,第六章積分與其應用,範例 8偶函數與奇函數的積分（解）,a.因為 f(x)x2 為偶函數，故b.因為 f(x)x3 為奇函數，故,P.6-33,第六章積分與其應用,檢查站 8,求下列定積分。,P.6-33,第六章積分與其應用,年金,在一時段內，定時地以相同金額付款，稱為年金(annuity)。年金的例子可為薪資儲蓄規劃、房屋貸款月付額，及個人退休帳戶等。年金終值(amount of annuity)為全部支付額再加上利息所得，可由下列的方法算出。,P.6-33,第六章積分與其應用,年金,P.6-34,第六章積分與其應用,範例 9求年金終值,若每年以$2,000 存入 15 年期，年利率為 5%且連續複利的個人退休帳戶(IRA)，則 15 年後的 IRA 帳戶餘額為何？,P.6-34,第六章積分與其應用,範例 9求年金終值（解）,每年存入的所得函數為 c(t)2000，則 15 年後的年金終值為,P.6-34,第六章積分與其應用,檢查站 9,若每年以$1000 存入 10 年期，年利率為 4%且連續複利的儲蓄帳戶，則 10 年後帳戶有多少錢？,P.6-34,第六章積分與其應用,
