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1、立几问题的向量解法,专题立几问题的向量解法高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式”的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决问题，无须添加辅助线。用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转化。用空间向量解决的立体几何问题主要有 平行或共面问题 垂直问题 空间角问题 空间距离问题,用向量处理平行问题 空间图形的平
2、行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。,（1）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为，,那么（2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。（3）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。或直线a平行平面表示以 为方向向量的直线与平面平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。,附：1、共线向量定理：非零向量 与向量 共线的充要条件是存在唯一确定的实数，使2、共面向量定理：不共线的向量、与向量 共面的充要条件是存在唯一确定的实数x、y，使,3、向量基本定理：已知不共面的向量、和，则空间任一向量 可以表示为、的
3、线性组合，即存在一组唯一确定的实数x、y、z，使,例1、（1994全国）已知ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证 AB1平面DBC1,例2、（2004天津）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1 证明PA平面EDB（2）证明PB平面EFD（3）求二面角CPBD的大小。注：证明线面平行问题可以有以下三种办法（1 利用线线平行证明线面平行;（2）与、共面（直线a、b）证明线面平行；（3）（为平面的法向量）,例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,A1AB=A1AC，求证：A1ABC,例4、如
4、图，正方体的棱长为a,F是CC1的中点，D是下底面的中心，求证：A1O平面BDF,例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为,，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点,EF与BD交与G求证：平面B1EF平面BDD1B1,例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当,的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF?请给出证明。,用向量计算空间的角,1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,异
5、面直线所成角的范围是。,2直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。,由定义知，直线与平面所成的角0，,二面角的范围是0，,求异面直线所成角的公式：,其中 是异面直线 上的方向向量。,求线面角大小的公式：,其中 是平面的法向量。,求二面角大小的公式：,或,其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。,用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数
6、言形”的数学思想。,注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。,例1：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所 成的角的余弦值,解：,则B,（1,0,0),A（0，1，0）；,例 题,所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值,注：,（其中 分别是直线 上的向量）,例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是 CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小,B1,B,A1,D1,C1,C,D,E,A,由题意知：,=（3，0，0）；,A（0，0，0）；B（3，0，
7、0）；C（3，3，0）；D（0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（0，0，4）；E（3，3，2）。,设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则,令z=3，则=（0，4，3），,又因为=（3，0，2）；,即 ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin,=arcsin,设DE与面A1B1C所成角为，则,Sin=|cos|=,下面我们来求面A1 C1C的法向量,设=（x，y，z），,由于=（3，3，0）,令y=1，则x=1，,=（1，1，0）,又所求二面角为的补角，,故二面角B1A1CC1的大小为arccos,例3：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4，点E是CC1的中点。求
8、:二面角B1A1CC1的大小。,=（0，0，4）,如例3中，易见 是面A1C1C的法向量；,cos=,如图1中，cos=,图2中,cos=,评注：用向量法求二面角的大小：,练 习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：OS与面SAB所成角 二面角BASO的大小 异面直线SA和OB所成的角,则A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,令x=1，则y=1，z=2；,从而,设面SAB的法向量,显然有,所以直线SA与OB所成角大小为,.由知面SAB的法向量=（1，1，2）,又OC面AOS，,是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角的大小等于,二面角BASO的大小为,2023/3/24,2023/3/24,
