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1、九年级数学,(,人教版,),上册,21.2.4,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根与系数的关系,a,c,x,x,a,b,x,x,x,x,a,c,bx,ax,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,2,),0,(,0,则,的两根为,若方程,q,x,x,p,x,x,x,x,q,px,x,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,2,0,则：,，,的两根为,若方程,推,论,1,推,论,2,0,2,1,2,1,2,2,1,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,x,x,x,）,（,方程是,为根的一元二次,以两个数,说出下列各方程的,两根之和,与,两根之积,：,
2、(1)x,2,-2x-1=0,(3)2x,2,-6x=0,(4)3x,2,=4,(2)2x,2,-3x+=0,2,1,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,=-,2,3,4,1,3,4,在使用,韦达定理,时，应注意：,、不是一般式的要先化成一般式；,、在使用,X,1,+X,2,=,时，注意“,”不要漏写,。,（,3,）,前提是方程有实数根即,0,几种常见的求代数式的值,?,?,2,1,1,1,3,x,x,、,2,1,2,1,x,x,x,x,?,?,?,?,)
3、,2,)(,2,.(,6,2,1,x,x,4,),(,2,2,1,2,1,?,?,?,x,x,x,x,1,2,2,1,.,5,x,x,x,x,?,2,1,2,2,2,1,x,x,x,x,?,?,2,1,2,1,2,2,1,2,),(,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,2,1,.,7,x,x,2,2,1,),(,x,x,?,2,1,2,2,1,4,),(,x,x,x,x,?,?,?,2,2,2,1,1,x,x,?,、,2,2,1,2,2,1,2,x,x,x,x,?,、,2,2,1,),(,4,x,x,?,、,引申,:1,、若,a,x,2,?,b,x,?,c,?,0(a,?,0,?,0)
4、,（,1,）若两根互为相反数,（,2,）若两根互为倒数,（,3,）若一根为,0,（,4,）若一根为,1,（,5,）若一根为,?,1,（,6,）若,a,、,c,异号,补,充,规,律：,则,b,?,0;,则,a,?,c;,则,c,?,0;,则,a,?,b,?,c,?,0;,则,a,?,b,?,c,?,0;,方程一定有两个实数根,.,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1),x,+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解法一：,设,方程的另一个根为,x,1,.,由韦达定理，得,x,1,2=k+1,x,1,2=3k,解这方程组，得,x,1,=,3,k=,2,答：方程的另一个根是,3,
5、k,的值是,2,。,作用,1,：已知方程一根，求另一根及未知数。,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1),x,+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解法二：,设,方程的另一个根为,x,1,.,把,x,=2,代入方程，得,4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得,k=-2,由韦达定理，得,x,1,2,3k,即,2,x,1,6,x,1,3,答：方程的另一个根是,3,k,的值是,2,。,作用,1,：已知方程一根，求另一根及未知数。,解：设方程的两根分别为,和,，,则：,而方程的两根互为倒数,即,所以：,得：,例,2.,方程,的两根互为倒,数，求,k,的值。,0,1,2,3,2,
6、?,?,?,?,k,kx,x,1,x,2,x,1,2,2,1,?,?,?,k,x,x,1,2,1,?,?,x,x,1,1,2,?,?,k,1,?,k,例,3.,方程,3,x,2,+,x,+k=0,的两根之积为,-3,求,k,的值。,解：设方程的两根分别为,x,1,和,x,2,，,则：,x,1,x,2,=,3,-,3,=,k,k=-9,作用,2,：求代数式的值,例,1,、已知,2,x,2,-,x,-2=0,的两根是,x,1,x,2,。,求下列代数式的值。,(1),x,1,2,+,x,2,2,（,2,）,（,3,）,(,x,1,+1)(,x,2,+1),2,1,1,1,x,x,?,(4),x,1,
7、-,x,2,（,5,）,1,2,1,x,x,+,1,5,4,6,2,3,1,?,?,x,x,）,（,2,已知方程,x,2,3,x,m,0,的两根为,x,1,，,x,2,，当,m,为何值,时，,3,x,1,x,2,4.,解：,3,x,1,x,2,4,，,3(,x,1,x,2,),4,x,2,4.,x,1,x,2,3,，,3,(,3),4,x,2,4,，,x,2,13,4,.,将,x,2,13,4,代入原方程，得,?,?,?,?,?,?,13,4,2,3,?,?,?,?,?,?,13,4,m,0,，,m,13,16,.,例,2.,已知方程,的两个实数根,是,且,求,k,的值。,解：由根与系数的关系
8、得,x,1,+,x,2,=-k,，,x,1,x,2,=k+2,又,x,1,2,+,x,2,2,=4,即,(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=4,K,2,-2(k+2,）,=4,K,2,-2k-8=0,解得：,k=4,或,k=-2,0,2,2,?,?,?,?,k,kx,x,2,1,x,x,4,2,2,2,1,?,?,x,x,=,K,2,-4k-8,当,k=4,时，,=-8,0,k=4(舍去）,当,k=-2,时，,=4,0,k=-2,例,1.,已知两个数的和是,1,，积是,-2,，求这两,个数。,解法一,:,设两数分别为,x,y,则,:,1,?,?,y,x,2,?,?,?,y,
9、x,解得,:,x=2,y=,1,或,1,y=2,解法二,:,设两数分别为一个一元二次方程,的两根则,:,0,2,2,?,?,?,a,a,求得,1,2,2,1,?,?,?,a,a,这两个数为,2,和,-,作用,3,：已知两个数的和与积，求两数,例,2.,已知两数之和为,14,，乘积为,-,51,，求这两数,.,作用,3,：已知两个数的和与积，求两数,3.,已知,m,2,+,2m,-,2009,=,0,，,n,2,+2n,-,2009=0,（其中,m,n,）求,(m,-,1)(n,-,1).,解,:,由已知条件得，,m,n,是方程,x,2,+,2,x,-,2009,=,0,的两个不相等的实数根，,
10、由韦达定理得：,m+n=,-,2,mn=,-,2009,(m,-,1)(n,-,1)=,mn,-,(m+n)+1,=,-,2009,-,(,-,2)+1,=,-,2006,课堂练习,4.,已知,3m,2,-2m-5=0,5n,2,+2n-3=0.,其中,m,n,为实数，,求,的值,。,n,m,1,-,解：,3m,2,-2m-5=0,与,由于,m,的关系没有给定，故应分两种情况：,当,m=,时，,当,m,时，可知,m,是方程,3,x,2,-2,x,-5=0,的两个根，则,综合，得,或,0,5,-,1,2,-,1,3,2,?,?,?,n,n,0,1,-,?,n,m,3,8,3,5,-,4,-,),
11、3,2,(,1,4,-,),1,(,1,-,2,2,?,?,?,?,?,?,?,）,（,n,m,n,m,n,m,n,1,n,1,n,1,例,1.,求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程,x,2,-,6,x,+2=0,的两根平方的倒数,.,解：设方程,x,2,-,6,x,+2=0,的两根为,m,n,设所求方程的两根为,x,1,x,2,作用,4,：求作一个一元二次方程,1,2,2,2,1,2,2,2,1,1,1,1,x,x,m,n,x,x,m,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，,6,2,m,n,m,n,?,?,?,?,2,1,8,0,x,x,?,?,?,?,所,求,方,
12、程,为,【例,2,】,已知方程,x,2,3,x,2,0,，不解这个方程，利用根,与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知,方程的各根的,2,倍,思路点拨：,如果原方程的两个根为,x,1,，,x,2,，则新方程的两,个根为,2,x,1,，,2,x,2,.,则所求方程为,y,2,(2,x,1,2,x,2,),y,2,x,1,2,x,2,0,，只要,求出,x,1,x,2,，,x,1,x,2,便可解出,解：,设原方程的两根为,x,1,，,x,2,，,则新方程的两个根为,2,x,1,，,2,x,2,.,又,x,1,x,2,3,，,x,1,x,2,2,，,2,x,1,2,x,2,6,2,x,
13、1,2,x,2,8.,可设所求作的方程为,y,2,(2,x,1,2,x,2,),y,2,x,1,2,x,2,0.,即,y,2,6,y,8,0.,【例,2,】,已知方程,x,2,3,x,2,0,，不解这个方程，利用根,与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知,方程的各根的,2,倍,例,1,：,已知方程,x,2,-,2(,k-,1),x,+k,2,-,2=0,解：,（,1,）设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,，,x,2,0,作用,5,：研究方程根的情况,（,1,）,k,为何值时，方程有两个负数根？,2,2,1,2,2,1,2,4(,1),4(,2),0,2(,1)
14、,0,2,0,k,k,x,x,k,x,x,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,例,1,：,已知方程,x,2,-,2(,k-,1),x,+k,2,-,2=0,（,2,）,k,为何值时，方程有一正根和负根？,解：,(,2),设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,，,x,2,0,作用,5,：研究方程根的情况,补充规律：,一正根，一负根,0,x,1,x,2,0,两个正根,0,x,1,x,2,0,x,1,+,x,2,0,两个负根,0,x,1,x,2,0,x,1,+,x,2,0,2,2,2,1,2,4(,1),4(,2),0,2,0,k,k,x,
15、x,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,k,?,?,?,例,2,：方程,有一个正根，一个负根，求,m,的取值范围。,=,即,m0,m-10,0m1,),0,(,0,1,2,2,?,?,?,?,?,m,m,mx,mx,解：设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,，,x,2,0,?,1.,已知,a,、,b,是一元二次方程,x,2,+3,x,-7=0,的,两个实数根，求代数式,a,2,+4a+b,的值,?,解：,a,、,b,是一元二次方程,x,2,+3,x,-7=0,的,两个实数根,?,a,2,+3a-7=0,，,a+b=-3,，,?,则,a,2,+
16、4a+b=a,2,+3a+a+b=7-3=4,课堂练习,作业：已知,m,、,n,是方程,x,2,-3,x,+1=0,的两根，求,2m,2,+4n,2,-,6n+2014,的值。,2.,已知,x,1,、,x,2,是方程,x,2,+(m-2),x,+2=0,的两个实数根，,求,(2+m,x,1,+,x,1,2,)(2+m,x,2,+,x,2,2,),的值。,解：,x,1,2,+(m-2),x,1,+2=0,x,2,2,+(m-2),x,2,+2=0,x,1,2,+2=2,x,1,-m,x,1,x,2,2,+2=2,x,2,-m,x,2,又,x,1,x,2,=2,原式,=(2,x,1,-m,x,1,
17、+m,x,1,)(2,x,2,-m,x,2,+m,x,2,),=2,x,1,2,x,2,=,4,x,1,x,2,=4,2,=8,作业：已知,x,1,、,x,2,是方程,x,2,-2013,x,+1=0,的两个实数根，求,(1-2015,x,1,+,x,1,2,)(1-,2015,x,2,+,x,2,2,),的值。,5.,已知：,x,1,、,x,2,是方程,x,2,-,x,+a=0,的两个实数根，,且,，求,a,的值,.,解：据题意得,x,1,+,x,2,=1,；,x,1,x,2,=a,3a,2,+2a-1=0,，即,.,1,a,3,1,a,?,?,?,或,又,=1,-,4a0,，,a,4,1,
18、a=1/3,舍去，,a=-1.,3,1,1,2,2,2,1,=,+,x,x,3,1,1,2,2,2,1,=,+,x,x,?,3,2,2,2,1,2,2,2,1,=,+,x,x,x,x,3,),(,2,-,),(,2,2,1,2,1,2,2,1,=,+,x,x,x,x,x,x,3,2,-,1,2,=,a,a,*6.,(,孝感中考,),已知关于,x,的一元二次方程,x,2,(2,m,1),x,m,2,0,有两个实数根,x,1,和,x,2,.,(1),求实数,m,的取值范围；,(2),当,x,2,1,x,2,2,0,时，求,m,的值,(2),由,x,2,1,x,2,2,0,得,(,x,1,x,2,)
19、(,x,1,x,2,),0.,若,x,1,x,2,0,，即,(2,m,1),0,，解得,m,1,2,.,1,2,1,4,，,m,1,2,不合题意，舍去,若,x,1,x,2,0,，即,x,1,x,2,0.,由,(1),知,m,1,4,.,故当,x,2,1,x,2,2,0,时，,m,1,.,解：,(1),由题意得,(2,m,1),2,4,m,2,0,，解得,m,1,4,.,实数,m,的取值范围是,m,1,4,.,解：,(1),由题意得,(2,m,1),2,4,m,2,0,，解得,m,1,4,.,实数,m,的取值范围是,m,1,4,.,(2),由,x,1,x,2,0,得,(,x,1,x,2,)(,x
20、,1,x,2,),0.,若,x,1,x,2,0,，即,(2,m,1),0,，解得,m,1,2,.,1,1,1,由,x,2,1,x,2,2,0,得,(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),0.,若,x,1,x,2,0,，即,(2,m,1),0,，解得,m,1,2,.,1,2,1,4,，,m,1,2,不合题意，舍去,若,x,1,x,2,0,，即,x,1,x,2,0.,由,(1),知,m,1,4,.,故当,x,2,1,x,2,2,0,时，,m,1,4,.,由,x,2,1,x,2,2,0,得,(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),0.,若,x,1,x,2,0,，即,(2,m,1),0,，
21、解得,m,1,2,.,1,2,1,4,，,m,1,2,不合题意，舍去,若,x,1,x,2,0,，即,x,1,x,2,0.,由,(1),知,m,1,4,.,故当,x,2,1,x,2,2,0,时，,m,1,4,.,由,x,2,1,x,2,2,0,得,(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),0.,若,x,1,x,2,0,，即,(2,m,1),0,，解得,m,1,2,.,1,2,1,4,，,m,1,2,不合题意，舍去,若,x,1,x,2,0,，即,x,1,x,2,0.,由,(1),知,m,1,4,.,故当,x,2,1,x,2,2,0,时，,m,1,4,.,7.,已知方程,x,2,+3,x,+1=
22、0,的两个根为,求,的值。,?,?,?,?,?,?,?,解：,2,3,4,1,1,5,0,.,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由韦达定理得：,2,?,?,?,?,?,?,?,（,）,3,1,?,?,?,?,?,?,?,，,2,2,2,?,?,?,?,?,?,2,3),2,1,2,1,?,?,?,?,?,(,9,?,2,?,?,?,?,?,?,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,（,）,0,?,?,?,?,?,?,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，,同为负数,8.,已知关于,x,的方程,x,2,+2,（,m-2,）,x,+m,2,+4=0,有两个实数根,，并且这,
23、两个根的平方和,比,两根的积大,21,。求,m,的值。,解,=4(m-2),2,-4(m,2,+4)=-,16m0,m0,设方程两个根为,x,1,、,x,2,，则由题意：,x,1,+,x,2,=-2(m-2),x,1,x,2,=m2,+4,x,1,2,+,x,2,2,-,x,1,x,2,=21,(,x,1,+,x,2,),2,-3,x,1,x,2,=21,4(m-2),2,-3(m,2,+4)=21,m,2,-16m-17=0,m,1,=-1,，,m,2,=17,（不符合,m,0,，舍去）,m=-1,9,.,当,m,为何值时，,2,x,2,-,3,m,x,+,2,m,+,3=0,的一个根,是另
24、一个根的两倍,.,解：设两根分别为,2,?,?,则由韦达定理得：,3,2,2,2,3,2,2,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,得,2,3,3,2,2,3,2,2,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,即,2,9,9,2,2,(2,3),m,m,?,?,?,即,2,2,3,0,m,m,?,?,?,整理得：,(,3),1),0,m,m,?,?,?,即,(,3,1,m,m,?,?,?,?,或,2,9,8(2,3),m,m,?,?,?,?,代入,得，,0,?,?,3,1,m,m,?,?,?,?,或,10.,已知一元二次方程,2,x,2,-m,x
25、,-2m+1=0,的两根的平,方和是,，求的,m,值,。,4,29,解：设方程两根为,x,1,x,2,.,则,2,1,2,-,2,2,1,2,1,+,=,?,=,+,m,x,x,m,x,x,4,29,2,2,2,1,=,+,x,x,4,29,2,-,),(,2,1,2,2,1,=,+,x,x,x,x,4,29,2,1,2,-,2,-,),2,(,2,=,+,m,m,解得：,m,1,=-11,m,2,=3,当,m=-11,时，方程为,2,x,2,+11,x,+23=0,=11,2,-4,2,23,0,方程无实数根，,m=-11,不合题意，舍去,当,m=3,时，方程为,2,x,2,3,x,5=0,
26、=(-3),2,-4,2,(-5),0,方程有两个不相等的实数根,.,m,的值为,3,11,已知,x,1,，,x,2,是关于,x,的一元二次方程,k,x,2,+4,x,-3=,0,的两个,不相等的实数根。求,k,的取值范围；是否存在这样,的实数,k,，使,成立？若存在,，,求,k,的值；,若不存在，请说明理由,2,3,2,2,2,1,2,1,?,?,?,x,x,x,x,解：,4,2,-4k,(-3),0,且,k0,k,且,k0,3,4,?,假设存在,.,k,x,x,k,x,x,3,4,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,2,3,2,2,1,2,1,?,?,?,x,x,x,x,又,?,2,8
27、,?,?,?,?,k,k,舍去）,不符合,解得：,3,4,(,2,4,2,1,?,?,?,?,k,k,k,存在满足条件的,k,值，且,k=4,1,.,已知关于,x,的一元二次方程,(k-1),x,2,+(2k+2),x,+k=0,有,两个不相等的实数根。,求实数,k,的取值范围；是,否存在实数,k,，使方程的两个实数根的倒数和等于？,若存在，求出,k,的值；若不存在，请说明理由。,解：,（,2k+2),2,-4k,(k-1),0,且,k-,10,k,且,k1,3,1,?,假设存在,设方程的两根为,x,1,，,x,2,1,-,1,-,2,2,-,2,1,2,1,k,k,x,x,k,k,x,x,=
28、,+,=,+,?,1,1,1,2,1,=,+,x,x,?,2,1,2,1,x,x,x,x,=,+,1,-,1,-,2,2,-,k,k,k,k,=,+,，舍去）,（不符合,3,1,-,3,2,-,=,k,k,不存在满足条件的,k,13.,是否存在实数,m,，使关于,x,的一元二次方程,x,2,-2(m-,2),x,+m,2,=0,的两实数根的平方和为,56,，若存在，求出,m,的,值；若不存在，请说明理由。,解：假设存在,设方程的两根为,x,1,，,x,2,x,1,+,x,2,=2(m-2)=2m-4,x,1,x,2,=m2,又,x,1,2,+,x,2,2,=56,(,x,1,+,x,2,),2
29、,-2,x,1,x,2,=56,(2m-4),2,-2m,2,=56,即,m,2,-8m-20=0,解得：,m,1,=10,m,2,=-2,当,m=10,时，方程为,x,2,-16,x,+100=0,=(-16),2,-4,100,0,，,方程无实数根，,m=10,不合题意，舍去,当,m=-2,时，方程为,x,2,+8,x,+4=0,=8,2,-4,4,0,方程无,实数根，,m=-2,不合题意，舍去,不存在满足条件的,m,1,、应用一元二次方程的根与系数关系时，,首先要把已知方程化成一般形式,.,2,、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用,根与系数关系解决问题；,3,、探索解题思路，归纳解题思想方法。,要,学,习,好,只,有,一,条,路,探,索,
