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1、解工程问题的方法工程问题是研究工作量、 工作效率和工作时间三者之间关系的问题。 这三者之间的关系是：工作效率 工作时间 =工作量工作量 工作时间 =工作效率工作量 工作效率 =工作时间根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。由于工作量的已知情况不同， 工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。一、工作总量是具体数量的工程问题例 1 建筑
2、工地需要 1200 吨水泥，用甲车队运需要 15 天，用乙车队运需要10 天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200 吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量 工作时间 =工作效率 ”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式 “工作量 工作效率 =工作时间 ”，求出两队合运需用多少天。甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）120015=80 （吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）120010=120 （吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200 （吨）两个车队合运需
3、用的天数：11200200=6 （天）综合算式：1200（120015+120010）=1200（80+120 ）=1200200=6 （天）答略。*例 2 生产 350 个零件，李师傅 14 小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅 1 小时可完成：35014=25 （个）由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成 ”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：35010=35 （个）小王单独工作一小时可完成：35-25=10 （个）小
4、王单独做这批零件需要：35010=35 （小时）综合算式：350（35010-350 14）=350（ 35-25=35010=35 （小时）2答略。*例 3 把生产 2191 打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾 128 打，乙组每小时生产毛巾 160 打。乙组生产 2 小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产 1 打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-160 2+1=1872 （打）两组共同生产的时间是：1872（160+128 ） =6.5（小时）乙组生产的时间是：6.5+2=8.5 （小时）综合算式：（ 2191-1602+1）
5、 （ 160+128 ）+2 =1872288+2 =6.5+2=8.5 （小时）答略。练习题：1、筑路队疾患修筑一条长 2400 米的公路，甲队单独做需要 20 天完成，乙队单独需要 30 天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？2、甲、乙两个工程队合修一条长 42 千米的水泥路，甲队每天修 0.5 千米，比乙队的 2 倍多 0.1 千米。3（1）乙队每天修多少千米？（2）两队合修多少天可以修完？3、红星服装厂计划生产 2800 套夏季学生服，已经生产了 5 天，每天生产 80 套，剩下的 20 天完成，平均每天要生产多少套？4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用 12 分钟降
6、低到每个 8 分钟，原来每天加工 300 个，现在每天加工多少个？45、用两台机器生产 108 个齿轮。第一台 4.5 小时能生产 18 个，第二台 1.6 小时能生产 8 个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩 45 个。两台机器一同生产了多少小时？综合算式：答略。二、工作总量不是具体数量的工程问题工程问题方法总结一：基本数量关系：工效时间 =工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效 =1/ 时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：一：分做合想:1. 合想 ,2. 假设法 ,3. 巧抓变化 ( 比例 ),4.假设法。二：等量代换
7、：方程组的解法代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配四：休息请假：方法： 1. 分想：划分工作量。 2. 假设法：假设不休息。五：休息与周期：1. 已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2. 天数：近似天数，准确天数。3. 列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！5七：注水与周期： 1. 顺序， 2. 池中原来是否有水， 3. 注满或溢出。八：工效变化。九：比例： 1. 分比与连比， 2. 归一思想， 3. 正反比例的运用， 4. 假设法思想(周期)。十：牛吃草问题： 1. 新生草量， 2. 原有草量， 3. 解决问题。工程问题当知道了两者工
8、作效率之比， 从比例角度考虑问题， 也就是知道了所需的时间比。因此，在下面例题的讲述中， 不完全采用通常教科书中 “把工作量设为整体 1” 的做法，而偏重于 “整数化 ”或“从比例角度出发 ”，也许会使我们的解题思路更灵活一些 .两个人的问题标题上说的 “两个人 ”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.（一）两个人的问题例 11 一件工作，由 A 做 20 天完成， B 做 15 天完成。（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的几分之几？（ 2）两队合做 6 天，还剩下工程的几分之几？（ 3）两队合做几天完成？解：（1）( 11 ) 57201512（2）1 ( 11 )63201510（3）
9、1 ( 11 )6084 (天)201577答：（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的7 。（ 2）两队合做 6 天，还剩下12工程的 3 。（ 3）两队合做8 4 天完成。107【解析】此题是工作效率问题。 A 用 20 天完成，总工程是“ 1 ”，所以甲队的工作效率是 1201 ，乙对的工作效率是1 151 。2015问题（ 1）要求完成的工程量，用工作效率工作时间；问题（ 2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“ 1”减去已做工程量；问题（ 3）要求完成时间，用总工程量“1 ”总工效。6例 1.2 、一工作，甲做 9 天可以完成，乙做6 天可以完成，现在甲、乙做了3 天，余
10、下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解：（ 1）1( 11) 31966（2）111(天)66答：乙需要做 1 天可以完成全部工作。【解析】要解决此题， 就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。总工程是“ 1 ”，就可以知道：甲的工作效率是 1 91 ，乙对的工作效率1 。9是 1 66求乙单独完成剩下的工作时间， 还需要知道乙的工作总量， 乙的工作总量 =1-甲乙一起 3 天做的工作量。甲和乙 3 天的工作总量：工作效率工作时间工作总量(11) 3，9 6剩下：1111 (6) 396乙完成剩下的
11、工作时间：利用工作总量工作效率工作时间111(天 )66练习一1、 一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 16 天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24 天完成，做 1 天完成7答略。2、一项工程，由甲工程队修建需要20 天，由乙工程队修建需要30解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20 天，知甲工3、一项工程，甲、乙合做 5 天可以完成，甲单独做 15 天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合8需要多长的时间。=7.5 （天）
12、答：乙单独做 7.5 天可以完成。例 2.1 ：一件工作，甲做 9天可以完成，乙做 6天可以完成。现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作 1，甲每天可完成这件工作的九分之一， 做 3天完成的1/3。乙每天可完成这件工作的六分之一， （1-1/3） 1/6=4（天）答：乙需要做 4天可完成全部工作 .解二：9与 6的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 23）3= 4（天） .解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3天，相当于乙做了 2天.乙完成余
13、下工作所需时间是6-2=4（天） .练习二1、一项工程，甲独做需 15 天，乙独做需 12 天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做 3 天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？92、一项工程，甲队单独做需 20 天完成，如果甲乙合作 12 天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成？例 3.1 ：一件工作，甲、乙两人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继续做了 40天才完成 .如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做 0天，乙做 40=（ 24+16）天 .这说明原来甲 24天做的工作，可由乙做 16天来代替 .因
14、此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是50天如果甲独做，所需时间是75天答：甲或乙独做所需时间分别是75天和 50天 .练习三1、甲乙两人合作生产一批零件，6 天可以完成任务，甲先做5 天，因有事外出，1这时只完成任务的 4 ，如果接下来由乙完成，还需要多少天？12、一批零件，先由 20 人生产了 10 天完成任务的 4 ，余下的工程要提前 10 天完成，还要增加多少人？103、甲乙二人合作一批零件需 20 天，甲比乙多做了这批零件的 1/9 ，甲单独做需多少天完成？4、一项工程，甲乙两队需 10 天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了 8 天，又知甲队独做需 20 天完成，问
15、甲、乙两队合干了多少天？例 4.1 ： 一件工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 30天完成 .现在两队合作，其间甲队休息了 2天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） .问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8天，乙队单独做 2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天） .答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为 30份.甲每天完成 3份，乙每天完成 1份 .在甲队单独做 8 天，乙队单独做 2天之后，还需两队合作（30- 38- 1 2）（3+1）= 1（天） .解三：甲队做 1天相当于乙队做 3天 .在甲队单独做 8天
16、后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量 .相当于乙队要做 23=6（天） .乙队单独做 2天后，还余下（乙队） 6-2=4（天）工作量 .4=3+1，其中 3天可由甲队 1天完成，因此两队只需再合作1天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息 .) 甲队每天工作量为 1/10，乙为 1/30，因为甲休息了 2天，而乙休息11了 8天，因为 82，所以我们假设甲休息两天时， 乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息： 8-2=6(天）那么这 6天内甲独自完成了这项工程的 1/10 6=6/10，剩下的工作量为 1-6/10=4/10，而这剩下的 4/
17、10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的 4/10 需要甲乙合作： (4/10) (1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需： 8+3=11(天）例 4.2 ：一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成 .现在他们两队一起做， 其间甲队休息了 3天，乙队休息了若干天 .从开始到完成共用了 16天.问乙队休息了多少天？ 解一：如果 16天两队都不休息，可以完成的工作量是 （ 120） 16+（ 130） 16=4/3由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20 3=11/60乙队休息的天数是11/60 (1/30)=1
18、1/2答：乙队休息了 5天半 .解二：设全部工作量为 60份 .甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2） 16- 60= 20（份） .因此乙休息天数是（20- 33）2= 5.5（天） .解三：甲队做 2天，相当于乙队做 3天.甲队休息 3天，相当于乙队休息 4.5天 .如果甲队 16天都不休息， 只余下甲队 4天工作量，相当于乙队 6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天） .练习四1、一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成 . 现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息） . 问开始到完
19、工共用了多少天时间？122、加工一批零件，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了 2.5 天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天） ，这样共用 14 天完工，问乙休息了多少天？3、一件工作，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 10 天完成，现在甲乙合作 8 天完成任务，已知这段时间甲休息了 2 天看，那么乙休息了多少天？4、一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 8 天完成，现在两人合作，中途休息了 2 天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天？例题 5 一项工程，甲、乙两队合作15 天完成，若甲队做5 天，乙队做 3 天，7只能完成
20、工程的 30 ，乙队单独完成全部工程需要几天？1【思路导航 】此题已知甲、乙两队的工作效率和是15 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点， 用“组合法” 将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量7113015330，从而求出甲队的工作效率。所以1711【 15 （ 30 15 3）（ 53）】 20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20 天。13练习五1、 师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了3 天，因事外出，由徒弟接着做 1 天，共完成任务的3。如果这批零件由师傅
21、单独做，多少20天可以完成？52、某项工程，甲、乙合做1 天完成全部工程的 24 。如果这项工程由甲队独做132 天，再由乙队独做3 天，能完成全部工程的 24 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？3、甲、乙两队合做， 20 天可完成一项工程。先由甲队独做8 天，再由乙队独8做 12 天，还剩这项工程的 15 。甲、乙两队独做各需几天完成？例题 6一项工程，甲队独做12 天可以完成。甲队先做了3 天，再由乙队做2 天，1则能完成这项工程的 2 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完14后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？111【思路导航 】此题很容易先求乙队的工作效率是
22、： （2123）2 8；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。（1） 乙队每天完成这项工程的111（2123）28（2） 两段时间一共是111（ 8 2+12 ） 26（天）答：两段时间一共是6 天。练习六1、一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项8工程的 15 。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2、一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几
23、天完成？3、某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？15（二）、多人的工程问题例 1. 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成，问甲一人独做需要多少天完成？解：(111 )21364560301( 11 )90 （天）30451(11)60 （天）30601(11)180 （天）3036答：独做完成，甲需 90天，乙需 60 天，丙需 180 天。【解析】此题
24、有别与以上3 题，是要对工作效率更深刻的理解， 寻找数学量之间的关系。1、有一项工程，甲队独做需 8 天，乙队独做需 10 天，丙队独做需 20 天，现在由丙队先独做 9 天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？2、一项工程，甲乙两人合作8 天完成，乙丙两人合作9 天完成，甲丙两人合作18 天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？3、一项工程，甲乙两人合作8 天完成，乙丙两人合作6 天完成，丙丁两人合作12 天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成？164、一项工程，甲乙两人合作 6 天完成，乙丙两人合作 9 天完成，甲丙两人合作 15 天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天？5、生产一批
25、零件，甲乙两人合作 12 小时完成，乙丙两人合作 15 小时完成，甲丙两人合作 20 小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时？6、某工程如果由甲乙丙合作 18 天完成，有乙丙丁队合作 15 天完成，由甲乙丁队合作 12 天完成，有甲丙丁队合作 20 天完成，由甲队单独做需要多少天完成？例题 2。一项工作，甲、乙、丙3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作6 小时后，乙、2丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 3 ；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，2也可以完成这项工作的 3 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？【思路导航 】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做2 小时，可以完成这项工
26、作2的3 ”组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做2 小时可以完成这2项工作的 3 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几212）（ 6 2）1（3612丙每小时完成这项工程的几分之几213）（ 6 3）1（3618甲、 丙合做需完成的时间为：1111（ 12 +18 ） 75（小时）1答：甲、丙合做完成需要75 小时。练习二1、一项工作，甲、乙、丙三人合做， 4 小时可以完成。 如果甲做 4 小时后，乙、1713丙合做 2 小时，可以完成这项工作的18 ；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再11做 4 小时，可以完成这项工作的 18 。这
27、项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？2、一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？3、一项工程，甲、乙两队合做10 天完成，乙、丙两队合做8 天完成。现在甲、1乙、丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 52 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？4、一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？例题 3：一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30
28、天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航 】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（ 4+7） 11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的111【 1（24 +30）】（ 4+7）40三队合修完成时间为181111（ 24 +30 +40 ） 10（天）答： 10 天可以完成。练习三1、一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时才完成。这件工作始
29、终由甲、乙合做几小时可以完成？2、一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8 天，剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？3、一件工作， 甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天可以完成？4、一项工程，甲、乙两队合做30 天完成，甲队单独做24 天后，乙队加入，两队又合做了12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？19综合练习1、一项工程，甲、乙两人合做， 10 天完成
30、；乙、丙两人合做， 15 天完成；甲、丙两人合做， 18 天完成。甲、乙、丙独做，各需多少天完成？2、一项工作，甲单独做 8 小时完成。现在甲、乙合做 3 小时后，乙又用 5 小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。3、一项工程，甲、乙合做 8 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 2 天后，余下的乙再做 4 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？4、一项工作，甲、乙、丙三人合做4 小时可以完成。甲工作3 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做1 小时后，丙做 4 小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？20
