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1、定积分的应用（一）平面图形的面积1求曲线与直线所围成的平面图形的面积.（1990年）【解答】2已知曲线与在点处有公共切线如图，（1）求的值与切点坐标；（2）两曲线与 轴所围成的平面图形的面积S.(1994年)【解答】在该点既相交又相切（纵坐标相等；斜率相等）(1)由题意知得.解得即有，切点为；（2）选取作为积分变量，则有.3在曲线上某点A 作一切线，使之与曲线以及轴所围成的平面图形的面积为试求（1）切点坐标；（2）过切点A的切线方程.（1988年）【解答】切点坐标为（1，1），切线方程为4设曲线与两坐标轴所围成的平面区域被曲线分为面积相等的两部分，其中为大于零的常数，试确定常数的值.（1991
2、年）【解答】，则有5.设曲线，试在曲线上找一点使过该点的切线与两坐标轴所围成的平面区域面积最大，并求出该面积.（1992年）【解答】设切点为，则过该点的切线斜率为，切线方程为；切线与两坐标轴分别交于和；从而求得，求得驻点为1，1（舍去）.所求点为，面积为6设是上的任一非负连续函数,(1)证明存在使得在上以 为高的矩形面积等于上以 为曲边的曲边梯形的面积;(2)若在内可导且,证明是唯一的.（1998年数一6分) 难度0.28,区分度0.43(II) 【考查知识点】(1)根据题目描述的几何意义,列出欲求的应满足的式子; (2)列出,并验证它所满足的罗尔定理的条件；（本题核心)(3)证明的单调性,从
3、而证明满足=0的的唯一性.提示: 要证, 设以微分中值定理作为解题主要理论依据的题在考研中经常出现,本题也属此类,但以积分形式出现,有新意.7. 设曲线极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.（2003年数学二填空）【分析】在极坐标系下，由曲线，直线及所围成的平面图形的面积为，于是有.8 位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是1.（2002年数学二填空）【分析】这是无穷区间上的广义积分的几何应用题，所求面积用广义积分表示为 ；本题难度值为0.80，区分度为0.45，属于第V类试题.9(2001年数学二)设L是一条平面曲线,其上任意一点到坐标原点的距离,恒等于该
4、点处的切线在轴上的截距,且L过点.(1)求曲线L的方程;(2)求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.【分析】第一问显然是解微分方程的定解问题,其中关键是列出微分方程;第二问是最值问题,关键是写出图形面积的表达式.本题得分率较低,一个主要的错误是对截距的理解,写成了,这样往下就不好做了.本题难度值为0.35,区分度为0.55,属于V类.10设 S表示夹在x轴与曲线之间的面积,对于任意的t 0, 表示矩形的面积.求的表达式与最小值.(2004年数学四)【分析】画出S, 的图形，然后建立它们的表达式：矩形面积，计算S=1要用到无穷积分，建立的表达式；（这就考察
5、了考生能否把一个实际问题转化为数学问题的综合能力）最后应用函数导数与函数极值的关系定理求出S的最小值.（在计算过程中考察了考生对无穷积分敛散性的概念是否理解及计算无穷积分的能力，同时也考察了考生是否会求函数的最小值.）【解答】(I) ,(II) 是唯一驻点可知，为极小值。或为极小值也是最小值.11已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为S.问和为何值时，S达到最大值？求出此最大值.（2001年数学三）【分析】这是一道综合了微分与积分等概念的题目.利用定积分求出S的面积，再利用抛物线与直线相切的条件，确定和的关系，从而将求的极值化为一元函数极值问题.本题难
6、度值为0.54，区分度为0.55，属于第V类试题.【解答】依题意知，抛物线如图所示，求得它与 轴的交点横坐标为面积因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组得，其判别式必等于零，因而有.从而得到解得驻点当时，当时，于是当时，取得极大值，即最大值.此时，从而最大值为（二）平面曲线的弧长1.设位于第一象限的曲线过点,其上任一点处的法线与y轴的交点为Q, 且线段PQ被x 轴平分.(1)求曲线的方程;(2)已知曲线在上的弧长为,试用 表示曲线的弧长s.(2003年数学二)【分析】本题是微分方程与定积分几何应用题,涉及内容有曲线的法线,一阶微分方程求解,定积分几何应用等.根据已知条件求出曲线的方程
7、以及用定积分表示曲线在上的弧长都是基本要求.但由于是椭圆位于第一象限的部分,其弧长以及在上的弧长都是算不出来的,故需通过定积分的换元法找到 与s之间的关系.主要错误是没有弄明白第二问的题意,不写出的表达式,便试图从找出与的关系,当然就无从下手了. 【解答】（1）曲线在点处的法线方程为，其中为法线上任意一点的坐标.令X=0,则，故Q点的坐标为.由题设知 ，即，积分得（C为任意常数）.曲线过点，因此可得C=1,故曲线的方程为.（2）曲线在上的弧长为 ；曲线的参数方程为故.作变量代换，则.2. (2001年数学二)设是抛物线上任一点处的曲率半径, 是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长,计算的
8、值.(在直角坐标系下曲率公式为)【分析】曲率半径与弧长都是x的函数，所以求与 即是参数方程求导.【解答】由所以抛物线在点处的曲率半径；抛物线上的弧长为.由参数方程求导公式得；从而9.本题得分率只有40%,究其原因是不少考生没有弄清题意,不知道求什么;其次,虽然给出曲率的一般公式(目的是减少考生背公式的数量)但仍然有不少考生不知道曲率半径为曲率的倒数,从而无从下手解题.本题难度为0.51,区分度为0.57,属于V类试题.3设曲线L的极坐标方程为，为L上任意一点，为L上一定点.若极径 与曲线L所围的曲边扇形面积等于L 上两点间弧长值的一半，求曲线方程.（1997年数学二）（三）旋转体的体积1 平面
9、图形A由及所确定,求A 绕旋转一周的旋转体体积.(1993年数学二,9分)2 求由曲线与轴所围成的封闭图形绕旋转一周的旋转体体积.(1994年数学二,9分)（四）综合题目1过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线 及轴围成平面图形D,求D的面积A;求D 绕旋转一周所得旋转体的体积V.(2003年数学一)【分析】本题考察切线方程的求法；平面图形的面积；旋转体的体积等基础知识，比较容易.【解答】设切点为，切线斜率为，切线方程为.以(x,y)=(0,0)代入得.于是切点为，切线方程为.（1） 面积（2） 体积【典型错误】本题第一问的解答情况很好，绝大多数考生都能够得到正确的面积值.只有少数考生将面积写成
10、；第二问的考试结果比预想的要差，从解答情况上看，旋转轴不是坐标轴并不是出错的主要原因，错误多数是因为用错了体积公式，如将公式写成 ，或 这说明有些考生仍然只是死记公式，并不了解公式的来历，从而也没有真正理解公式中各部分的意义.2. 求曲线，与直线以及轴所围成的平面图形面积为S,并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积V.(1997年数学四)s=2;3 (2004年数学二)曲线与直线及围成一曲线梯形, 该曲线梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(I)求的值;(II)计算极限【分析】分别写出旋转体的体积,侧面积以及底面积, 不必积分, 便可求及计算（I）, =2. (
11、II) 1考查知识点 求解旋转体的体积,侧面积,底面积即定积分在几何上的应用部分内容,主要错误是有一些考生对旋转体体积,侧面积的公式的来龙去脉不了解,死记硬背,因而常常会出现错误.设直线与抛物线所围成的平面图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为，且 ，（1）试求的值使 达到最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.（？）3.有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求当以的速率向容器内注入液体时,液面的面积以 的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)(1) 根据t时刻液面的面积,写出与t之间的关系;(
12、2) 求曲线的方程.本题为综合性应用题,为了给学生提供解题思路,设计了台阶即第一问,因而降低了难度;建立旋转体体积和,从而得到与t之间的关系,然后通过对求导得到微分方程.法2:根据液体体积的变化用微元法直接建立微分方程.最后解微分方程即得到曲线的方程.本题得分率极低,超过1/3的学生一分未得,表明学生对于应用题仍然没有进入状态.4在0,1上连续,在(0,1)内大于零,且,其中a 为常数.曲线与x=1,y=0所围成的平面图形S的面积为2,求,且当a取何值时S 绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.(1997年数学二,8分)5与交点为A,过原点与点A的直线与曲线围成一个平面图形.问a 为何值时,该平面图形绕X轴旋转一周的旋转体体积最大?(2000年数学二,8分)
