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1、全国大学生数学建模竞赛论文格式规范l 本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。l 论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。l 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。l 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。l 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。l 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。l 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。l 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居
2、中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。l 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。l 论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。l 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用
3、书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。l 在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。l 本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。注 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和
4、第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。全国大学生数学建模竞赛组委会 2011年9月6日修订第二组论文题目：农作物施肥效果分析摘要本文主要研究N、P、K三种肥料的施用量对土豆和生菜产量的影响。通过题目中所给的十个水平的肥料施用量和产量的实验数据，用函数拟合产量和肥料施用量的关系，进行回归分析，并能根据施肥
5、量预测蔬菜的产量。首先用matlab画出散点图，预测函数，进行残差分析，观察函数图像与散点图的拟合情况，对模型进行改进。土豆施肥效果分析中，模型一根据散点图分析，采用一次函数。在一定范围内，土豆产量与肥料施用量成正相关关系，超过这个范围，会发生烧苗现象，产量反而下降。因此改进成二次函数模型。用lingo求得，当N施用量为284kg/ha时，最高产量为42.37841kg/ha； 当P施用量为20.7412kg/ha时，最高产量为15.72703kg/ha，当K施用量为651kg/ha时，最高产量为46.22kg/ha。用matlab画出函数图像，发现P施用量与土豆产量函数图像与散点图的拟合不好
6、，与实验数据差距较大，而其他两组拟合的比较好，因此对此组进行优化，通过三次多项式拟合，用lingo求得当P施用量为137.9301kg/ha时，最高产量为40.46407kg/ha。在生菜施肥效果分析中，借鉴土豆施肥效果分析，直接建立生菜产量与肥料施用量的函数关系。用lingo求得，当N施用量为229kg/ha时，最高产量为20.9445kg/ha； 当P施用量为362kg/ha时，最高产量为19.2549kg/ha； 当K施用量为6748.9261kg/ha时，最高产量为19.80551kg/ha。将函数图像与散点图对比发现，P施用量与生菜产量函数关系拟合较差，改进成三次函数后，拟合好，当P
7、施用量为435.8888kg/ha时，最高产量为21.86992kg/ha。本文可在一定范围内，对农作物的生产进行指导，同时提供了研究方向。本文局限在于，由于实验数据的因素，本文的函数关系均在其他两种肥料在第七种水平的基础上建立，对于三种肥料的任意组合使用量，不能求得产量。优点之一为题目进行残差分析，剔除坏值后进行求解，另一个优点为模型简洁，便于指导实际生产。关键词：回归分析 拟合 Matlab Lingo 残差分析一、 问题的提出某研究所为了研究N、P、K三种肥料对土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时
8、，总是将另两种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量和产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价。土豆NPK施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039842.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.43
9、33643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.2765146.22生菜NPK施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）施肥量（kg/ha）产量（t/ha）011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3314016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.34
10、46515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40二、 问题的分析这是一个有关线性回归的问题。该问题就是综合分析题中所给的60组数据，然后利用根据数据画出散点图，得出函数关系，并进行残差图分析，剔除坏值，重新拟合函数，建立施肥量与产量的关系。考虑到不合理的因素，因此我们决定进一步对模型进行优化，通过不断反复的进行数据分析，最终求的最优解。三、 建模过程1、 合理假设（1） 假设所选择的作物种植土地各处原始肥料含量一样（2） 所有的操作均在相同环境下进行的（3） 假设作物在整个过程中生长状况相同（4） 不考虑大气中N、P、K同时忽略土
11、壤中含有的N、P、K对作物的影响（5） 假设产量与施肥量成一定的函数关系2、 定义符号说明,-土豆施肥效果分析中一次函数中待定常数,-土豆施肥效果分析中二次函数中待定常数,-生菜施肥效果分析中二次函数中待定常数,-土豆施肥效果分析中 N、P、K的施用量,-土豆施肥效果分析中 N、P、K的施用量的系数,-土豆施肥效果分析中二次函数中一次项的系数,-土豆施肥效果分析中二次函数中二次项的系数,-生菜施肥效果分析中二次函数中一次项的系数,-生菜施肥效果分析中二次函数中二次项的系数,-生菜施肥效果分析中 N、P、K的施用量-农作物产量3、 模型的建立与求解土豆施肥效果分析：模型一：设N施肥量方程由mat
12、lab拟合土豆产量与N施肥量的关系图（代码见附录一）：土豆产量与N施肥量残差分析图（代码见附录二）：经过残差分析剔除第十组数据，得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。土豆产量与P施用量的关系图（程序见附录六）：P施肥量方程经分析无残差（程序见附录八），得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。设K施肥量方程土豆产量与K施用量的关系图（程序见附录七）：设K施肥量方程经残差分析剔除第一组数据（程序见附录六），得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。经分析得出结果与实际情况不符，在一定范围内土豆产量
13、是随施肥量的增加而增加的，超出该范围会造成土豆烧苗而产量下降，于是我们建立第二个模型。模型二：设N施肥量方程经残差分析剔除第十组数据，用matlab拟合（代码见附录三）得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。当N施肥量为284kg/ha，最大产量为42.37841t/ha。由matlab拟合土豆产量与N施肥量的关系图（代码见附录四）：由matlab拟合土豆产量与P施肥量的关系图（程序代码见附录九）：设P施肥量方程经残差分析剔除第十组数据，得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。当P施肥量为20.7412kg/ha，最大产量为1
14、5.72703t/ha。由matlab拟合土豆产量与K施肥量的关系图（程序代码见附录十）：K施肥量方程经残差分析剔除第八组数据，得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。当K施肥量为375kg/ha，最大产量为38.4769t/ha。根据P的函数表达式的图像与其散点图的对比偏差较大，函数拟合度不好。因此需要改进P的模型。通过多项式的拟合发现三次多项式和P的散点图较吻合，于是建立模型三。模型三： Lingo解得（程序见附录五），当P施肥量为137.9301kg/ha，最大产量为40.46407t/ha。生菜施肥效果分析：模型一：由上述土豆的结论可得线性函数表达式所
15、得的结果与实际情况偏差较大，因此直接讨论生菜产量与施肥量的非线性模型。由matlab拟合生菜产量与N施肥量的关系图： 设N施肥量方程经残差分析剔除第六组数据，得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。用lingo求解（程序见附录十二），当N施用量为229kg/ha时，最高产量为20.9445t/ha。P施肥量方程经分析无残差，得到方程显著性水平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。当P施用量为362kg/ha时，最高产量为19.2549t/ha。K施肥量方程由matlab拟合生菜产量与K施肥量的关系图：经残差分析剔除第八组数据，得到方程显著性水
16、平分析指标其中相关系数接近于1，远大于，显著性水平比较高。当K施用量为748.9261kg/ha时，最高产量为19.80551t/ha。根据P的函数表达式的图像与其散点图的对比偏差较大，函数拟合度不好。因此需要改进P的模型。通过多项式的拟合发现三次多项式和P的散点图较吻合。用lingo求解（程序见附录十一），当K施用量为435.8888kg/ha时，最高产量为21.86992t/ha。 四、 模型的评价及改进1、首先我们忽略了土壤自身所含有的N、P、K三种肥料对作物的影响2、上述一切计算都是在理想环境下实现的，现实中要考虑自然环境、人为因素等条件3、题中数据太少不具有代表性，现实中我们并不能严
17、格的将另两种肥料固定在某个水平上，除此之外我们只分析了在第七个水平上产量与施肥量的关系，那么在其它水平又有什么关系我们没有办法知道。4、由于作物产量和肥料施用量不是简单的多项式关系，应该尝试如对数函数等函数。5、模型建立后，可在实际生产中对土豆和生菜的种植进行指导，以最经济的肥料使用量获取最大产量。同时当引入农作物的市场价格和各种肥料的市场售价后，我们可以结合实际对种植这两种农作物进行定量分析，确定两种农作物的种植比例和种植量，求解出最佳施肥量，获取最大收益。以Q表示利润，y表示土豆产量，u,(i=1,2,3)分别表示土豆和肥料的市场售价，表示三种肥料的施用量，种子等其它成本费为s，则利润Q的
18、目标函数为： 以上三种情况的最大值即是所获得的最大利润。五、 参考文献1 管爱红等，MATLAB基础及其应用教程，北京：电子工业出版社，2009年。2 宣明等，数学建模与数学实验，杭州：浙江大学出版社，2010年。3 肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：西北工业出版社，2008年 。4 韩明等，数学实验，上海：同济大学出版社，2012年。5 孙海珍等，概率论与数理统计，北京：中国铁道出版社，2009年。附录：附录一：N的拟合图形代码 x1=0 47 93 140 186 279 372 465 558 651; y=18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38
19、.43 43.87 42.77 46.22; x0=0:0.01:700; y0=24.7217+0.0396*x1; plot(x1,y,*,x0,y0);title(土豆产量与N施肥量的关系),xlabel(N施肥量),ylabel(产量);附录二：N残差分析代码x1=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.81 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;x=ones(10,1) x1;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rco
20、plot(r,rint)附录三：N拟合代码x1=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;z=x1.2;x=ones(9,1),x1,z;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)附录四：x1=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40
21、.83 30.75;x=0:0.01:500;y1=-0.0003*x.2-0.1789*x+15.7074;plot(x1,y,ko,x,y1);title(土豆产量与N施肥量的关系),xlabel(N施肥量),ylabel(产量);附录五：N最大值max=-4E-12*x5 + 3E-09*x4 - 3E-07*x3 - 0.0004*x2 + 0.1954*x + 15.124;解答 Local optimal solution found. Objective value: 46.02043 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps
22、: 5 Total solver iterations: 80 Model Class: NLP Total variables: 2 Nonlinear variables: 1 Integer variables: 0 Total constraints: 2 Nonlinear constraints: 1 Total nonzeros: 2 Nonlinear nonzeros: 1 Variable Value Reduced Cost X 384.1422 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 46.02043 1.000000附录六
23、：x2=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342;y=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73;x=ones(10,1) x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)附录七：x3=0 47 93 140 186 279 372 465 558 651;y3=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;x=0:0.01:700;y=0.
24、0257*x+34.9915;plot(x3,y3,ko,x,y);title(土豆产量与K施肥量的关系),xlabel(K施肥量),ylabel(产量);附录八：x2=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342;y=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73;x=ones(10,1) x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)附录九：x2=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342;y
25、2=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73;x=0:0.01:400;y=-0.0006*x.2+0.02489*x+15.4689;plot(x2,y2,ko,x,y);title(土豆产量与P施肥量的关系),xlabel(P施肥量),ylabel(产量);附录十：x3=0 47 93 140 186 279 372 465 558 651;y3=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;x=0:0.01:700;y=-0.0001*x2+0.075*x+24.4144;plot(x3,y3,ko,x,y);title(土豆产量与K施肥量的关系),xlabel(K施肥量),ylabel(产量);附录十一：x685max=8E-09*x3-9E-05*x2+0.0739*x+6.0951;附录十二：max=-0.0002*x2+0.0916*x+10.4563;
