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1、Z变换的逆变换,2023/3/25,2,复习提问,信号重建的首要条件是什么？内插函数的频谱是怎样的？Z变换与傅立叶变换的关系是什么？什么是Z变换的收敛域，其形状如何？,2023/3/25,3,1.幂级数法,如果一个Z变换 能表示成幂级数的形式，那么可以直接看出序列 是幂级数中的 系数，因此，若能用现有的幂级数公式将 展开，便可很容易求得。,2023/3/25,4,1.幂级数法,例2.13 求Z变换 的逆变换解：利用 的幂级数展开式，得到由收敛域 可知原序列为右边序列，因此,2023/3/25,5,1.幂级数法,对于Z变换为有理函数的情况，可用长除法将 展开成幂级数。在使用长除法之前，应先根据收
2、敛域确定对应的是右边序列(或因果序列)还是左边序列(或逆因果序列)。若为右边序列(或因果序列)，可将 展开成负幂级数，若为左边序列(或逆因果序列)，可将 展开成正幂级数。,2023/3/25,6,1.幂级数法,例2.14 求Z变换 的逆变换解：因为它的收敛域是一个圆的外部，所以对应的序列是右边序列。又因为 时，趋于有限的常数，因此它是一个因果序列。用长除法将 展开成负幂级数。,2023/3/25,7,1.幂级数法,解(续)：由此看出 或,2023/3/25,8,1.幂级数法,例2.15 研究一个与上例形式相同，但收敛域不同的，即的逆变换解：因为它的收敛域是一个圆的内部，所以对应的序列是左边序列
3、。又因为 时，的值有限，因此它是一个逆因果序列。用长除法将 展开成正幂级数。,2023/3/25,9,1.幂级数法,解(续)：由此看出 或,2023/3/25,10,2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),2023/3/25,11,2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),2023/3/25,12,例2.16 用部分分式法求下列Z变换的的逆变换解：因为它的收敛域是一个圆的外部，所以对应的序列是右边序列。又因为 时，为有限值，因此它是一个因果序列。将 展开成部分分式。,2.部分分式展开法(Partial Fraction Ex
4、pansion),2023/3/25,13,例2.16 解(续)：其中即查常用序列Z变换表,2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),或,2023/3/25,14,例2.17 用部分分式法求下列Z变换的的逆变换解：由收敛域知对应的序列是一个双边序列。将 展开成部分分式。,2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),2023/3/25,15,例2.17 解(续)：最后得所以,2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),或,2023/3/25,16,用MATLAB进行部分分式展开,部分分式展开：r,p
5、,k=residuez(num,den)（其中r为留数向量，p为极点向量，k为常数向量。）逆运算：num,den=residuez(r,p,k),2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion),2023/3/25,17,用MATLAB计算逆Z变换,impz:h,t=impz(num,den)h,t=impz(num,den,L)filter:y=filter(num,den,x)x为冲激信号，y为冲激响应的时域表达,2023/3/25,18,例：计算逆Z变换,例 计算 的逆Z变换。,解:有理分式X(z)分子和分母多项式都按z的降幂排列。,b=0,1;a=2,-3,1
6、;%多项式的系数r,p,c=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项disp(留数:);disp(r);%显示输出参数disp(极点:);disp(p);disp(系数项:);disp(c);,程序运行结果为留数:1-1极点:1.0000 0.5000系数项:,X(z)的部分分式形式为,逆Z变换为,2023/3/25,19,使用柯西积分公式可以方便地导出求逆Z变换的公式，柯西积分公式为式中，是反时针方向环绕原点的围线。又根据Z变换定义有或者，这就是逆Z变换计算公式。其中 是 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。,3.留数定理法,2023/3/25,20,对于有理Z变换，围线积分 可用
7、留数定理来计算。设在有限的Z平面上，是 在围线 内部的极点集，是 在围线 外部的极点集。根据柯西留数定理，有或,3.留数定理法,2023/3/25,21,当 在 处有二阶或二阶以上的零点，即 的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或二阶以上时，无穷远处的留数为零，所以上式可表示为围线 内的极点一般对应于一个因果序列，而围线 外的极点对应于一个逆因果序列，因此,3.留数定理法,2023/3/25,22,如果 是 的有理函数，且在 处有 阶极点，即式中，在 处无极点，那么 在 处的留数可用下式计算特别当 时，有,3.留数定理法,2023/3/25,23,例2.18 求下列Z变换的的逆变换,3.
8、留数定理法,解：围线积分的被积函数为,2023/3/25,24,例2.18 解(续)：当 时，两个极点 和 都包含在围线 之内，所以有当 时，因为 在 外无极点，且 的分母与分子多项式阶数之差为，所以有最后得,3.留数定理法,2023/3/25,25,3.留数定理法,2023/3/25,26,例2.19 求下列Z变换的的逆变换,3.留数定理法,解：有两个极点，即被积函数为,2023/3/25,27,例2.19 解(续)：当 时，围线 仅包含极点，所以有当 时，因为在围线 外仅有一个极点，且 在 处有 阶零点，所以有最后得,3.留数定理法,2023/3/25,28,常用序列Z变换的对照表(一),2023/3/25,29,常用序列Z变换的对照表(二),2023/3/25,30,常用序列Z变换的对照表(三),2023/3/25,31,常用序列Z变换的对照表(四),2023/3/25,32,常用序列Z变换的对照表(五),
