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1、1,第三讲,有效前沿与最优证券组合,2,有效前沿的定义：定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿（边界）。,3,3.1 N种风险证券组合的有效前沿,（一）两种风险证券组合的有效前沿两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为对任一组合p=(x，1-x)，x0，1，证券组合p的期望收益率和方差如下：,
2、4,讨论证券组合P的有效前沿形状,1）2）3）,5,2种和3种风险证券的有效前沿,p B,p C,ab=-1 2 ab=1 4 3,C D 1 B,A A,O p O p 图3.1 图3.2,6,例题,两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a=4.6%和 b=8.5%，方差和协方差分别为求这两种风险资产的有效前沿。,7,N种风险证券的有效前沿,p,O p 图3.3,E,8,（二)N中风险证券组合泽的有效前沿,设市场上有N种风险证券，它们的收益率和方差为有限值，这些收益率的方差-协方差矩阵V为正定矩阵，N种证券的期望收益率为：N种证券组合P表示为：证券组合期望收益率和方差分别为,9,按有效前
3、沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：,10,构造拉格朗日函数一阶条件：,11,由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。,求解得,12,对于另一个指定的，在前沿上的证券组合为：,13,两个证券组合的协方差为令，则得前沿上的证券组合方差为：,14,A/C MVP,O(1/C)1/2 p,15,32 允许对无风险证券投资的有效前沿,无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为债券。,16,一种风险证券和一种无风险证券,股票A和债券以 记投入债券的比例，则 是购买股票的比例。证券组合的期望收益率和标准差分别为：,17,一种
4、风险证券和一种无风险证券,得证券组合的期望收益率 和标准差的关系：,18,图3.5,B,A,C,。,O,19,两种股票A和B，及一种债券,有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切的射线,C,A,D,B,O,e,20,N 种股票及一种债券,问题 s.t 构造拉格朗日函数：,21,一阶条件：,22,得证券组合的投资比例 其中证券组合的方差为 或,23,切点证券组合(tangency portfolio),切点证券组合e的投资比例,24,切点的证券组合,25,3.3 最优证券组合,N种风险证券的情形设投资者的效用函数为，并设 和，下标1，2分别表示对U的第1，2个变元求导。意味着对给定的风险，
5、投资者认为期望回报率越大越好。意味着对给定的期望回报率，投资者认为风险 越小越好。,26,这时投资者的问题可表述为 s.t,27,构造拉格朗日函数一阶条件,28,一阶条件变形得：从而得出：,29,把代回X中可得最优投资比例：,30,定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由 和 的凸组合构成的。有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。,31,最优证券组合,存在无风险证券的情形 设 N种风险证券
6、和一种债券，在风险证券上的投资比例为X，在无风险证券上的投资比例为（1 XI），从而证券组合的期望收益率,32,证券组合的期望收益率 投资者的问题可表示为：,33,一阶条件最优投资比例为 在债券上的投资比例为(1 X*I),34,定理3.2(两资金分离定理，two-fund separation),当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。,35,计算方法与例题,切点e证券组合的计算方法,36,例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 r1=12%，r2=8%，方差分别为1=10和2=4，它们之间的协方差12=2，又设无风险证券的收益率rf=6%，求切点证券组合Xe.三种解法。,
