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1、小学数学开放题的研究与实践数学开放题是在70年代开始出现的一种新题型，开放题是相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。一、数学开放题的概念定位（一）数学开放题的特征数学开放题一般具有下列特征：1、不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解的题目。2、探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。3、非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样
2、性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建。4、发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。5、层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。6、发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。7、创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。（二）数学开放题的分类1、对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放
3、题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。（1）条件开放题请编一道应用题，算式为（20-4）2-8在括号里填上适当的数，使两个分数单位的和等于。这样的分数单位你能找出几对？58个苹果，拿出几个后，可以平均分到8个盘子中？在下面的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，请你画出一个多边形，使多边形的面积是2。（2）策略开放题你喜欢用哪种算法（发表在小学数学教师2000年1-2期上）你能用几种不同的方法来计算下列题目，并说说你最喜欢哪一种。804-397（四、五年
4、级）254+254（四、五年级）8.8812.5(五、六年级)24（六年级）在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。（3）结论开放题像212从左往右读和从右往左读都一样的三位数（回文数）有几个？小明买钢笔和圆珠笔共用去54元，已知每支钢笔3元，圆珠笔2元，那么小明买了几支钢笔？几支圆珠笔？把24个边长为1cm的小正方形拼成一个大长方形，这个长方形的周长和面积各是多少？“五一”长假期间，宁波青年旅行社组织了35名游客去“五龙潭”游玩，由一名导游带领。五龙潭入口处的“购票须知”写道：“每人凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员100
5、0元，你认为够了吗？请用数字知识来说明你的观点？（4）综合开放题如果校园里有一水池，请估计水池中有多少立方米水？去十字路口，在10分钟内（或一定时间内）统计来往车辆的情况，而后能否对建立“红绿灯”问题提出你的想法和方案？调查菜价（六年级）（发表在小学数学教师2000年1-2期上）去当地菜场调查一周内主要几种菜的价格变化情况，完成下面这张统计表（可以任意选定五种，分上午7：00左右，下午4：30左右两个时间去调查），然后思考下面问题：根据你调查的结果，你能提出哪些问题？根据调查的结果，你有哪些建议？_菜场五种菜价格表 _月_日_月_日星期价格（元）蔬菜类别一二三四五六日上午下午上午下午上午下午上
6、午下午上午下午上午下午上午下午2、从开放题答案的开口情况出发，数学开放题可以定量地分成三类：弱开放题答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。我们将数学问题的开放程度简称为开放度，对于事物的“度”，我们总期望能给予定量表示，“度”的问题只有进行量化表达时才能得到比较成熟的分析，才能从模糊走向精确，将数学问题（包括封闭题）的全体看为一个集合，我们能否建立这个集合到某个数集（比如自然数集N）的一个映射，将开放度定量化？容易想到用答案情况（包括可能情况）的个数来
7、表示数学问题的开放度，照此我们可将封闭题看为开放度为1的数学问题，弱开放题的开放度为2，中开放题是开放度为定值n（nN，n3）的开放题，而强开放题则是开放度为未知数x的开放题，x随着思考主体对问题答案不同角度、不同层次的理解和要求可能会有所变化。（1）弱开放题（n=2）把4个棱长为5cm的立方体拼成一个大长方体，它的表面积是多少？ 两个自然数的最大公约数是5，最小公倍数是30，那么这两个自然数分别是几？（2）中开放题（n3）在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5千米？在1，2，3，4，5，6，7，
8、8这八个数中，哪些数能组成比例，组成怎样的比例？在，3，0.8，4.8，2，中，选出合适的数组成比例：（ ）。立方体的表面展开图有几种？（3）强开放题（n=x）有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计。请调查你所在地方各种房子的价格，想一想为什么价格有差异？你觉得买哪一类房子比较便宜？3、数学开放题从单纯的适用年级来看，还可以分为一年级数学开放题、二年级数学开放题（三）数学开放题的概念定位对于开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题
9、的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性。综上分析，笔者认为，数学开放题是具有一定现实背景的、解答途径没有固定模式可循的数学问题。具体：1、在数学开放题中，往往是条件不确定或结论不确定，它有时可以是因条件不确定导致结论不确定，有时还可以是因结论不确定而导致条件的不确定；2、从数学问题的开放度来描述，数学开放题的开放度应是n2； 3、数学开放题要求学生用已学的知识和数学思想方法，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，重在对学生分析问题、解决问题和创新意识的培养。二、数学开放题的设计策略从数学教学的内部来看，任何一本数学教材包含有三个方面的内容：关
10、于概念定义的内容，关于命题定理的内容，关于例题习题（统称为数学题）的内容。数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能，由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，“问题解决是数学教学的核心”正是数学题重要性的体现。现行中小学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的教育价值。实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究设计数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义。、掌握开放题的一些设计方法，是数学教师应该具有的一项重要教学技能。 数学
11、开放题的设计，可以从以下两方面考虑：1、选材开放审视目前的小学数学教学，教材中出现的例题是已经经过处理的数学问题，学生做的习题也是人为编制的可以套用现成公式、模仿例题的各种练习。学生在练习时不需要考虑这些问题的来源和作用，更不需要应用数学知识去解决现实生活中的各种问题。学生在长期的、反复操作的数据符号前，会产生乏味、厌学的情绪，久而久之就有可能形成对数学恐惧的心理。由此，数学习题的选材，应由封闭走向开放。它不仅可以来自教材，也可来自学生、来自生活，让学生在亲切、熟悉的情感体验中感受到数学的意义。创设生活情境数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象。因此，在教学中一方面要尽可能让抽象的数学概
12、念在生活中找到原型，另一方面要创造条件，促使学生能把学到的数学知识去解决一些日常生活中有关的数学现象，并能初步解决一些有关的数学问题。例如：笔者曾经在教学“乘法应用题和常见的数量关系”前，创设了这样的生活情境：小芳家开了一个小商店，小芳正替爸爸站柜台卖东西，来了一位叔叔。叔叔：小朋友，我买4支铅笔，2个篮球，4千克糖。小芳：铅笔每支4角，篮球68元1个，糖每千克12元。叔叔：一共要付多少钱？请开张发票。这样的习题，可以使学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到，数学就在我们的生活中。利用学生的学习成果教师要善于利用学生的学习成果，这一方面是指上课的题材尽量来自学生。例如教学两位数减一
13、位数的退位减法，可以先出示若干数字，让学生自由选择其中的三个数组成两位数减一位数的题目，并将这些题进行分类，然后引导学生在比较中讨论退位减的方法。这样的题材，不是来自教材而是来自学生，这会使学生感到更加亲切更能激起学生积极参与、主动探求的欲望；另一方面，是指教学的题材可利用课堂上学生解题中所发生的错误。例如，鄞江镇6个村计划栽树6000棵，实际每个村平均栽树1200棵。全镇比计划多栽树多少棵？有学生解为：1200-60006，教师可以请学生就他的列式来改编题目，学生在错和对的对比之下学习，记忆会更加深刻。改编课本上的封闭题相对于数学开放题而言，小学数学的习题中，大量是常规题，这种题条件完备，答
14、案固定，称之为封闭题。有时一道传统的封统题，稍加改造就成了一道开放题了。例如：浙教版第十册P101第12题，王师傅3小时做29个机器零件，方师傅5小时做48个同样的零件，谁做得快些？我们只要把问题改成：“你认为哪一位是老师傅？为什么？”这道题就变成了一道“开放题”了。例如：浙教版第十一册P122第1题，指出下图圆的直径和半径。如果我们把它改为：下图是一张圆形纸片，图中画有一条线段，请你想办法判断这条线段是否是所在圆的半径？这就成为了一道非常好的开放题了。以身边的事例为背景人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物。如果我们能以数学的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性
15、的东西，以此为背景，编制出一些富有启发性的数学“开放性应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆学问”的道理。例如1.笔者从前段日子电视上了解到了全国大红鹰杯电视歌唱大赛的比赛情况，受此启发编出了“请你当评委”（五年级）的数学开放题。（发表在小学数学教师2000年1-2期上）请你当评委（五、六年级）学校组织校园歌曲独唱比赛，6个评委给号选手打的分数分别是：评委123456得分9.659.258.7510.008.357.70假如你是第七位评委，会给号选手打几分？为什么？你打的分数若不影响号选手原先的名次，应该给他打几分？说说你的理由。同样，笔者针对上几次宁波发行体育福利彩票的有关事例，编拟了“
16、彩票问题（六年级）”的数学开放题：（发表在小学数学教师2000年1-2期上）彩票问题（六年级）宁波市去年年底发行体育福利彩票，彩票面额每张2元，中奖后资金情况见下页表。中 奖 等 级奖 金 额中 奖 数（个）特等奖20万元20一等奖10万元20二等奖1万元50三等奖5000元100四等奖1000元500五等奖100元2000六等奖10元20000七等奖2元250000小庄在12月24日那天，先后摸了10张彩票，你猜她可能付出了几元钱？说说你的理由。若本次奖金总额是发行额的42%，则至少卖出多少张彩票才能兑现这表中的奖金？从这张表格中，你能了解到哪些信息？其实只要我们有心，身边的许多事例都可以用
17、来作为编拟开放题的材料，这也验证了一句话“生活中处处有数学问题”。择“洋题”为中用在国外的一些数学“应用问题”资料中，可以挑选一些适合我国国情和符合我们的课程标准要求的题目，以供我们教学时借鉴使用，这也丰富了“数学开放题“的来源。其实，许多的“数学开放题”都是从国外翻译、改编而来，例如：小学数学教师近几年来每期基本上都刊登有李至文老师编译的开放题。2、设计开放条件开放传统的练习设计，条件是所求问题的充要条件，容易给学生造成思维的定势。当遇到条件不足或条件有余时，感到束手无策或疑惑不解，设计条件开放的开放题，可以提高学生分析问题、解决问题的能力。条件开放题，可以有少用条件、多余条件、比常规少了条
18、件、缺条件（补条件）、图文条件等。让学生在审题时，摄取必要的条件，不用或少用一些条件创造性地运用条件去解决问题。例如：少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？通过分析可知书法组的人数是美术组的3倍条件多余；再如：一块长方形菜地，长100米，因建养鸡场需要，在这块地的一端划出一块最大的正方形地做养鸡场，剩下地的四周围上篱笆，篱笆长多少？表面看来似乎条件不足，进一步分析便可发现篱芭的总长实际就是菜地长的2倍。引导学生从众多的已知条件中排除表面现象的干扰，抓住问题的本质，高效、简洁地解决问题，能促进学生思维深刻性的发展，提高他们创造性地解决
19、问题的能力。问题开放学生学习上的差异，使他们在利用已知信息进行分析时，能发现并提出多种多样的问题。设计问题开放的开放题，有助于贯彻因材施教的原则，充分发展学生的个性特长，做到面向全体学生，使每个学生都得到发展。问题开放题，在解决形式上可有解答式问题、问答式问题、图表式问题；在答案方面，可有唯一答案、多种答案、“不存在”答案等。例如：在里填上合适的数：一般学生能根据商十位商0和个位商7得出被除数的十位是5，个位是6；思路相对活跃的同学能从余数不确定得出个位也可能是7（8、9）；分析能力较强的同学能归纳出被除数的后两位可从56起填到63。这样的练习，一方面给每个学生提供了获得成功的机会，促进了不同
20、程度的学生都得到提高和发展；另一方面，也为学生提供了发散的空间，培养了学生思维的发散性和深刻性。策略开放习题解答，除了让学生学会常规的解题方法之外，还要让学生学会多方位、多角度地解决问题，并从中发现最有效的解决问题的方法，促进学生思维广阔性、灵活性、创造性的发展。例如：分子、分母都不相同的两个分数比大小，便可打破“先通分”的常规，寻求最佳的解题策略。你能用哪些方法来比较和的大小？方法：把和化成同分母分数来比较。：把和化成同分子分数来比较。：和1进行比较：把分数扩大成整数后进行比较：用倒数进行比较总之，在教学中，要鼓励学生从多角度思考，大胆创新，不要局限于常规和固定模式，开拓思路，以促进思维创造
21、性的发展。综合性开放学生是社会的成员，学生以后都是面向综合的复杂的社会，因此，习题设计也应有综合性的，可以集其它学科相关知识于题中，也可以集本学科相关知识于题中。例如学完平面图形知识以后，可设计这样一题让学生研究：把校园内的一块长100米，宽80米的长方形空地设计成一个花园，其中要有圆形、方形、菱形等面积不等的花地、草坪。要求：花地、草坪、道路所占面积比例适中；图案美观。这样的习题打破了人为训练的目的，又能培养学生的数学素质。从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种
22、解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。直接编拟数学开放题，特别是直接编开放性应用题，难度较大。如果对我们熟悉的大量封闭题进行改编，保留原题中的基本情境和一些现成构件，并根据形式逻辑的理论进行适当的加工改造，就能较容易地编出开放题。漫谈小学数学思想及其在教学中的渗透数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。而数学方法则体现了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯叙述了笛
23、卡儿制定了解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法基本上被确定了”，对数学而言，可以说最重要的数学思想也基本上被确定了。九年制义务教育全日制小学数学课程标准（试验稿）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。在小学阶段，数学思想主要
24、有符号思想、类比思想、分类思想、方程与函数思想、建模思想等。一、符号思想西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(ab)cacbc，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6
25、、7长方形的面积计算公式sab，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题，学生可以有多种方法。如，用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc从而可以直观地找出气球的排列规律，并推出第24个气球是蓝色的。上例所分析的这些都是符号思想的具体体现，它们将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，
26、便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程，小学生在数学学习中，从接受到运用会遇到较多的困难，需要教师在平时地教学中，从介绍字母使用的历史入手，循循善诱，加强培养和训练。二、类比思想数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分
27、明显、直接、比较简单，如由加法交换律abba的学习迁移到乘法分配律ab=ba的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。例如有这么一道数学奥林匹克竞赛题：某科学考察组进行科学考察，要越过一座山。上午8时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：此题表面上看似一道行程问题，但实质上只不过是一道典型的“鸡兔同笼”问题的变化题型。其特征是：（1）已知两种事物的单值：上山速度为3千米；下山速度为5千米。(2)已知这两种不同事物的总个数：除去休息1小时的5小时；全程19千米。(3)要求的
28、是这两种不同事物的个数：上山和下山的时间各是多少？可见此题的解答方法与鸡兔同笼问题的解答方法完全相同。假设5小时都是上山时间，则共走路程为3515（千米），比实际走的19千米少了19154（千米），原因是由于把下山时间也当作了上山时间，则下山时间为4（53）2（小时）。从而可以推出下山路程是5210（千米），上山路程是19109（千米）。当然我们也可以假设5小时都是下山时间来类推求解。数学中所有公式定理的运用就是类比思想的直接反映。目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长宽ab
29、，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）宽（高）2ab（h）2。类似的，圆柱体体积公式为底面积高，那么锥体的体积可以理解为底面积高。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。三、分类思想数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确的认识这些概念，就需要具体的概念依据具体的标准具体分析，这就是数学的分类思想，是指按某种标准，将研究地数学对象分成若干部分进行分析研究。一般
30、我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习角的分类时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。 由于分类讨论，一则
31、在学习数学的过程中，学生潜移默化地受到了辨证唯物主义思想的启蒙教育；又一则对学生能力有明显的区别功能，再加上现实世界需要分类研究的普遍性，作为一种数学思想必然会引起人们的重视。例如在教学多位数读写法后，设计了这样一道开放题：下面五张卡片上分别写有数字0、0、1、2、3，可以利用它们组成许多不同的五位数，求所有五位数的平均数。分析：以最高位上的数字为标准，把所有能组成的五位数分成三类，再依从小到大的顺序列表如下。 （1）10023 （2）20013 （3）30012 10032 20031 30021 10203 20103 30102 10230 20130 30120 10302 20301
32、 30201 10320 20310 30210 12003 21003 31002 12030 21030 31020 12300 21300 31200 13002 23001 32001 13020 23010 32010 13200 23100 32100这36个数的平均数，万位上的数字是2，可由（123）32确定，其他数位上的数字都是1，可由（123）6361确定。平均数是21111。四、方程和函数思想在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数
33、学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这就是方程思想的由来。在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问
34、题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。在近代数学中，与方程思想密切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，对于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辨证法进入了数学；有了变数，微分与积分也立刻成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规
35、律，是近代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的练习中有如下形式： 63 205700800603 2050708006003 205007800有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律），答案的变化是怎样引起的？然后再出现下面两组题： 459 18002001591800205918002通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方
36、程，通过对方程的研究去分析函数问题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程；再如一元方程xab等等。 学好这些函数是继续深造所必需的；构造函数，需要思维的飞跃；利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。五、建模思想目前，由世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔提出的“现实数学教育”观点得
37、到国际数学教育界的普遍认同，也为广大数学教师所接受。这一思想表明，一则学校数学具有现实的性质，数学来源于现实生活，再运用到现实生活中去；二则学生应该用现实的方法学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步发现和得出的数学结论。这就意味着数学课程的应用性和实践性成为国际数学课程改革的一个基本趋势。例如美国数学教师协会1989数学课程标准和2000年标准的基本特点之一都是强调数学应用；荷兰从60年代起就开始了现实数学教育的改革历程，到90年代初，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本，注重培养学生数学应用意识与实践能力；日本的数学课程设置了综合课题学习，同样也体现了数
38、学知识综合应用的关注。这一系列实际上强调的是一种数学建模思想。所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。 数学中的各种基本概念都以各自相应的现实模型作背景。如自然数集是用以描述离散数量的模型；各类几何图形也都是从现实中抽象出来的数学模型。那些基本的数学模型使我们能对与之联系的实际问题
39、，举一反三，触类旁通。例如在平面图形面积一章复习中，设计了这样一个综合学习课题：自主运用已学图形为自己的房间进行简单的镶嵌设计。学生能顺利解决问题，关键在于理清各种平面图形之间的知识联系，在教学中，可以建立一个平面求积的模型Sab，从长方形求积公式出发推导出正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的求积公式，沟通了各平面图形的内在联系；同时又随着相关边长的变化，展示出这些平面图形可以相互转化。学生学会了建模，有顿悟之感。在此基础上，进一步让学生通过探索平面图形的镶嵌，知道三角形、四边形或者正六边形可以镶嵌平面，然后自行设计房间镶嵌方案。在这整个过程中，强调了数学学习经历“问题情境建立模型分类求解
40、解释与应用”的基本过程，引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，实现了学习方式的转变，改变了单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式，发展了学生搜集和处理信息的能力，以及交流与合作的能力。当然，在数学教育中,加强数学思想和数学方法的渗透不只是单存的思维活动,它本身就蕴涵了情感素养的熏染。而这一点在传统的数学教育中往往被忽视了。我们在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更加应该关注的是伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观。标准把“情感与态度”作为四大目标领域之一，与“知识技能”、“数学思考”、“解决问题”三大领域相提并论，这充分说明新一轮的数学课程标准改革对培养学生良好的情感与态
41、度的高度重视。它应该包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。另一方面引导学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想、极限思想、优化思想、统计思想、猜想与证明等等，小学数学教学中都有所涉及。我们广大小学数学教师要做教学有心人，有意渗透，有意点拨，重视数学史的渗透，重视课
42、堂教学小结，要以适应小学生年龄特点的大众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，主动参与、自主探究，学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。优化合作学习 提高合作效能合作，作为新时代人应该具备的一种素质，正在被越来越多的教育专家和学者所接受，并进行重点的研究。数学课程标准中指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。”课程标准把“自主探索、合作交流”提到一个前所未有的高度，这充分肯定了合作学习能从许多方面促进学生更加生动、活泼地学习。它是在教师指
43、导下，学生群体研讨、协作交流的一种学习方式，它能有效地改善学习环境，扩大参与面，提高学生自主探索的能力。通过合作，有利于学生用不同的方式探索和思考问题，培养其参与意识和探索能力。因此，随着课程改革的不断深入，合作学习被越来越多地引入课堂，小组合作学习成为学生学习数学的重要方式，也成为现代课堂教学的一道亮丽的风景线。但是，我们常常看到，由于小组划分的随意性，组织的散乱，设置的问题缺少研究价值，学生参与的欠平衡等，致使小组探究“浮在表层”或偏离正题，造成小组合作活动流于形式，看似热热闹闹，实为摆架子、走过场。那么，怎样才能防止上述现象的发生，使小组合作学习得以优化，从而提高合作效能呢？一、组建科学
44、的合作学习小组科学的构建学习小组，既是学生合作的基础和前提，也是实现学生群体合作的基本手段。一个学习小组应该是一个班组或集体的缩影。因此组建合作学习小组时，应在尊重学生自愿的基础上，根据学生的知识基础、兴趣爱好、学习能力、心理素质、家庭情况、性别等进行综合评价，然后搭配成若干组内异质、组间同质的学习小组。通常46人为妥，保证优势互补和每个人都有充分发表见解的时间，以便使小组探究在短时间内取得成效。小组长可由民主推选出具有较强责任心、组织管理和表达能力强的学生担任，以保证合作学习的正常开展。也可以采取轮换制，让每个学生都有公平锻炼与施展才能的机会，防止思维定势与惰性的产生，增强小组活力，提高合作
45、学习的效益。二、构建合适的合作学习环境1. 安全的心理环境。美国心理学家马斯洛认为：人的生存需要和安全需要得到基本满足后，爱的需要和受尊重的需要就会突出来，成为主要的需要。小学生都是得到了生存需要和安全需要的人，只有对他们热爱尊重、理解和信任，才能激发他们的上进心，发挥他们的主体作用。因此，教师要尊重每一个学生，使每个学生都有展示自己的机会，都能享受成功的喜悦。教师在课堂上把鼓励送给他们，让每一个学生都能发表自己的见解，即使回答错了，也没有人会嘲笑；在课外，教师要主动和学生交流内心的想法，拉近距离，培养良好的师生感情。学生只有在这种氛围中，才能毫无戒备地和老师、同学进行交流，这样，学生的思维就
46、会更加活跃了，探索热情就会更高涨，合作的欲望就会更强，课堂就会更加生机勃勃。2.充裕的时空环境。这里的时空环境一方面是指在小组合作时教师要给足学生讨论、交流的时空，让各种不同程度学生的智慧都得到尽情的发挥。另一方面，往往是教师最容易忽略的，是小组合作之前学生独立思考的时空，只有学生经过独立思考，对所要研究的问题形成了初步的认识，才会有交流的需要和能力，才能进行有效的学习。因此教师在布置合作学习时，要提醒学生：先独立思考，再把自己的想法与同组的同学说一说，这样才能提高合作学习的成效。比如：在认识圆柱时，要让学生先独立的看一看、摸一摸、滚一滚圆柱，然后再向组内的同学交流自己是怎么摸的，怎么滚的，自己有什么发现，再听听同伴的做法和意见，与自己的又有什么不同。这样，学生在充分感知和独立思考的基础上，他们的合作将不再盲目，这样的合作学习才是有价值的，有成效的。3. 热情的帮助环境。全班十多个小组中，免不了有些因组长的组织能力偏低，或因小组整体实力偏差等原因而无
