数学思想与方法期末复习资料.doc

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1、数学思想与方法期末复习一、 填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用，以九章算术为典范。2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的几何原本3、几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要，理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可

2、能不发生某种结果。8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜意识阶段，明朗化阶段，深刻理解阶段。10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。14、所谓类

3、比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性，具有一定的推测性。17、三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。20、在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。21、算法具有下列特点：有限

4、性，确定性，有效性。22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类。23、匀速直线运动的数学模型是一次函数。24、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法。25、分类必须遵循的原则是不重复，无遗漏，标准同一。26、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。27、所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。29、化归

5、方法的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径。30、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。31、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。32、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。33、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解。34、数学的研究对象大致可以分成两大类：数量关系；空间形式。二、判断题(只要答“是”或“否”)1、计算机是数学的创造物，又是数学的创

6、造者。 是2、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。否3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 否4、九章算术不包括代数、几何内容。否5、既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。是6、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。否7、在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。是8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。否9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。是10、数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。

7、否11、由类比法推得的结论必然正确。否12、有时特殊情况能与一般情况等价。是13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。是14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。否15、完全归纳法的一般推理形式是：设S具有性质P，因此推断集合S中的每一个对象都具有性质P。否三、 简答题1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？在形式上，它是以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或

8、前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。另外，几何原本回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。2、试对九章算术思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案；书中的“术”其实就是算法。3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。确定性现象的特点是：

9、在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此确定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些分支来定量地描述某些确定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这就是确定数学的局限所在。4、简述计算机在数学方面的三种新用途。（1）用来证明一

10、些数学命题；（2）用来预测某些数学问题的可能结果; （3）用来验证某些数学问题的结果的正确性.。5、简述数学抽象的特征。数学抽象有以下几个特征。（1）数学抽象具有无物质性; （2）数学抽象具有层次性; （3）数学抽象过程要凭借分析或直觉;（4）数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。6、简述化归方法在数学教学中的应用。化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新知识；（2）利用化归方法指导解题；（3）利用化归原则理清知识结构。7、简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。MM方法解题的基本步骤为：（1）从现实原型抽象概括出数学模型。也称为建模阶段。（

11、2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解。这也是数学求解阶段。（3）从数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，使实际问题得到解答。可用框图表示如下： 8、试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。用特殊化解决问题的过程可用框图表示为： 9、简述化归方法的和谐化原则。和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。10、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算

12、法有限性特点的例子。算法的有限性是指，一个算法必须在有限步之内终止。以十进制小数的除法这个算法为例，如取数2和3作为初始数据，则有，无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。因此，除法对于2和3这组数不符合算法有限性特点。11、简述培养数学猜想能力的途径。猜想能力培养可以贯穿于数学教学的方方面面。新知识的学习、数学规律的寻求、解题思路的探索等都可以作为实施猜想能力培养的载体。12、简述特殊化方法在数学教学中的应用。特殊化方法在数学教学中有重要的作用： （1）在选择题时，我们经常选择特殊值来考察； （2）利用特殊化探求问题的结论； （3）利用特殊化检验一般结果； （4）利用特殊化探索解

13、题思路。13、什么是类比猜想？并举一个例子说明。人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。14、什么是归纳猜想？并举一个例子说明。人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周

14、率的数值为 ，果然和3.14很接近。 15、简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。由于数学思想方法往往隐含在知识的背后,知识教学虽然蕴含着思想方法,但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。 四、解答题 1、运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么？请阐

15、述你的理解。解答：“设想问题已经解出”，即在列式时将未知量与已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难。而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。“用两种不同方式表示同一量”，这是列方程的关键。所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。“方程个数和未知量个数相等”，是为了得到确定的解。这里有个自由度的思想。当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程(组)。这时方程(组)的解一般会

16、有无穷多个。2、(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？解答：(1)类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。(2)类比推理的表示形式为：A具有性质B具有性质因此，B也可能具有性质。 (3)尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性： A与B共同(或相似)的属性尽可能多些； 这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性； 这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的； 可迁移的属性d应是和属于同一类型。3、圆周角定理证明思路如下：将圆周角的两边所处的位置分成

17、三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某一直径的两侧；角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。解答：该证明中用到下面几种数学思想方法：将圆周角分成三种情况，用到分类方法；先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法；将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法；通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法； 证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。4、以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片

18、断。(要求：教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次；要有与数学知识教学相联系的本课程中所学习的数学思想方法教学内容；不少于300字)解答：将教学过程设计成四个层次：让学生说一说：我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边

19、长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。巩固长方形对边相等的认识。利用多媒体展示下面的长方形：师：如何填写括号内的数字？为什么？要求学生会用“因为所以”句式回答。如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是4厘米，所以它的对边也是4厘米。”中央广播电视大学20082009学年度第二学期“开放本科”期末考试数学思想与方法 试题 一、填空题(每题3分，共30分) 1概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识 的认识。 2算法大致可以分为 两大类。 3反驳反例是用

20、否 定的一种思维形式。 4类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是 、 、 。 5归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是 、 、 。 6传统数学教学只注重 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整 理、提炼。 7所谓统一性，就是 、 协调一致。 8中国九章算术一的算法体系和古希腊几何原本 的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。 9所谓数学模型方法是 10所谓特殊化是指在研究问题时， 二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)1数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。( )2数学基础知识和数学思

21、想方法是数学教学的两条主线。( )3新颁发的数学课程标准中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念。( )4法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。( )5由类比法推得的结论必然正确。( )三、简答题(每题10分，共30分) 1常量数学应用的局限性是什么? 2简述计算的意义。3简述培养数学猜想能力的途径。 一、填空题(每题3分，共30分) 1由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性 2多项式算法和指数型算法 3特殊 一般 4联想 类比 猜测 5特例 归纳 猜测 6形式化 7就是部分与部分 部分与整体之间的 8以算为主 逻辑演绎 9利用数学模型解决问题的一般数学方法

22、 lo从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合 二、判断题(每题4分，共20分。填是或否) 1否 2是 3是 4是 5否 三、简答题(每题10分，共30分) 1答：在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物

23、和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。 2答：推动了数学的应用； 加快了科学的数学化； 促进了数学的发展。 3答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：新知识的学习、数学规律的寻求、解题思路的探索等途径来实现。数学思想与方法试题一、填空题(每题3分，共30分)1. 概 括通常包括两种:经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识的认识。2.算法大致可以分为3.反驳反例是用两大类。否定的一种思维形式。类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是5. 归 纳 猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是6. 传统

24、 数 学教学只注重_ 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。7. 所 谓 统一性，就是协调一致。8. 中 国 九章算术的算法体系和古希腊几何原本的体 系 在 数 学 历 史 发 展 进 程中 争 奇 斗 妍 、 交 相 辉 映 。9. 所 谓 数学模型方法是10. 所 谓 特殊化是指在研究问题时，的思想方法。二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)1.数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。( )2数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。( )3，新颁发的数学课程标准中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改

25、革与发展的新的理念。( )法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。由类比法推得的结论必然正确。( )三、简答题(每题10分，共30分)1.常量数学应用的局限性是什么?2.简述计算的意义。3，简述培养数学猜想能力的途径。四、证明题(20分)在四面体ABCD中，如图，已知AB土CD,A D土BC;求证:AC土BDo数学思想与方法试题答案及评分标准一、填空题(每题3分.共30分1. 由 对 个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性2. 多 项 式算法和指数型算法3. 特 殊 一般4. 联 想 类比猜测5. 特 例 归纳猜测6. 形 式 化7. 就 是 部分与部分部分与整体之间的8. 以 算

26、为主逻辑演绎9. 利 用 数学模型解决问题的一般数学方法10. 从 对 象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合二、判断题(每题4分，共20分。填是或否)1. 否 2.是3.是4，是5.否三、简答题(每题10分，共30分)1. 答 : 在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识:算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分

27、内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。2.答:推动了数学的应用;加快了科学的数学化;促进了数学的发展。3.答:猜想能力培养可以通过数学教学，如:新知识的学习、数学规律的寻求、解题思路的探索等途径来实现。四、解答题(20分)答:本题可利用两个非零向量a,b垂直的充要条件是ab=0，加以证明。(注:虽然本题也可依据三垂线定理及其逆定理进行证明，但是不及向量证法既有几何直观，又简洁明快)数学思想与方法试题一、填空题(每题3分.共30分).三段论是演绎推理的主要形式，它由三部分组成。2.演绎法与3.被认为是理性

28、思维中两种最重要的推理方法。是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它刘发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。4.分类方法具有三个要素:5.数学研究的对象可以分为两类:一类是，另一类是6.所谓社会科学数学化就是指，也就是运用来揭示社会现象的一般规律。在古代的活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。8.在数学中建立公理体系最早的是，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的9.九章算术是世界上最早系统地叙述运算的著作，它关于的论述也是世界上最早的。10.数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，是一条明线，

29、它被写在教材中; 则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)1.在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。( )2.分类可使知识条理化、系统化。( )3.既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。( )三、简答题(每题10分，共30分)1，什么是算法的有限性特点?试举一个不符合算法有限性特点的例子。2.我国数学教育存在哪些问题?试举例子说明。3，简述公理化方法发展。四、解答题(20分)通过 下

30、列 例子具体说明化归方法的含义:一 铁 球 浮在水银上，若将水再倾注在水银之上，并覆盖铁球，这时球相对于水银面将下沉?上升?还是保持在同样的深度上?(已知水银密度为13.6 ，铁密度为7.8 4，水密度为1)数学思想与方法试题答案及评分标准一、填空题(每题3分.共30分)1. 大 前 提小前提结论2. 归 纳 法3. 数 学 思想方法4. 划 分 的对象划分后所得的类概念划分的标准5. 研 究 数量关系研究空间形式6. 数 学 向社会科学的渗透数学方法7. 游 戏 与赌博8. 几 何 学几何原本9. 分 数 负数10. 数 学 知识数学思想二、判断题(每题4分，共20分.填是或否)1. 是 2

31、.是3.是4.是三、简答题(每题10分，共30分)1. 答 : 算法的有一限性是指一个算法必须在有限步之内终止。 例 如 ，对初始数据20和3，计算过程为竖式20除以3无 论 怎 样 延 续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。可见，十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。2. 答 : 数学教学重结果，轻过程;重解题训练，轻智力、情感开发;不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下;重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力;学生学业

32、负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。3. 答 :公 理化方法是一个由个别上升到特殊再上升到一般的过程，最后形成了数学中普遍适用的科学方法。它的发展关系可以用下列图示表明: 个 别 、特殊一一般 欧 氏空间一各种几何一一般意义空间 具 体 公理方法一抽象公理方法一形式化公理方法四、解答题(20分)解 答 : 这 是 一个物理问题。用数学的眼光来考虑不会满足于是上升或下沉的定性的描述，而是渴望有定量的分析，即在倾人水前后两种情况下，计算球在水银平面之上的那部分体积占整球体积的比例。10 7 3

33、 不排 除 定性的直观想象，因为这对理解问题会有好处。不妨想象在水银上包围铁球上部的液体连续地改变其密度，从空气 水 铁的密度，球必上升完全超出水银，如果密度继续增加，球就会从想象的液体中浮出来。由此可见，当覆盖球的物质从空气逐渐变为水的时候，球将上升。下 面 将 数学问题转化为代数问题，分别设上面液体的密度为“，下面液体的密度为b，球的密度为。,v表示球的体积，x，表示球上半部分的体积y，表示球下半部分的体积。根据阿基米德原理:浮体质量等于所排开液体的质量，可列方程: 回到 原 题，倾水前a=O,b=13.60 ,c=7.8 4，由此得二二0.4 32v;倾水后a=1.0 0，求得x=0.4

34、5 7v，故知倾水后球浮于水银上的部分占球总体积的比例增大，即球上升。此 题 的 解决过程是先把问题转化为数学问题，再转化为代数问题，最后归结为解方程组，通过解方程组得到解。数学思想与方法试题一、填空题(每题3分，共30分)1.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段2.面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面人手:演绎证明此猜想为真;或者正或否定此猜想。，并且进一步修3. 变 量 数学产生的数学基础是，标志是4. 化 归 方法是将转化为已知问题。5. 公 理方 法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的_ ，使一门数学构建成为演绎系统的一种方法

35、。6. 数 学 的第一次危机是由于出现了而造成的。7. 数 学 猜想具有两个明显的特点: 与8. 所 谓社 会科学数学化就是指数学向_ 的渗透，运用数学方法来揭示的 一 般 规 律 。9. 分 类必 须遵循的原则是_10. 深 层 类比又称实质性类比，它是通过而得到的类比。二、判断题(每题4分。共20分，填是或否)1. 数 学 模型方法是近代才产生的。( )2. 在 小 学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。( )3. 所 谓 特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想。( )4. 既 没 有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括

36、数学思想方法的数学知识。5.对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。(得分评卷人三、简答题(每题10分，共30分)1.简述概括与抽象的关系。2.简述培养数学猜想能力的途径。3.微积分产生可以归结为哪四类情况?得分评卷人四、论述题(20分)论述几何原本和九章算术思想方法的特点。一、填空题(每题3分，共30分)1. 对 同 一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类2. 寻 找 反例说明此猜想为假3. 解 析 几何微积分4. 疑 难 问题5. 逻 辑 推理6. 无 理 数(或涯7. 科 学 性推测性8. 社 会 科学社会现象9. 不 重 复;无遗漏;标准同一10. 对 被 比较

37、对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析二、判断题(每题4分，共20分，填是或否)1. 否 2.否3.是4.是5.是三、简答题(每题10分.共30分)1. 答 : 概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不

38、能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。2. 答 :猜 想能力培养可以通过数学教学，如:新知识的学习、数学规律的寻求、解题思路的探索等途径来实现。3， 答 :这 些问题归结到数学上主要有如下四类情况。第 一 类 是:已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度;反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。第二类是:求曲线切线的斜率和方程。第三类是:求函数的最大值与最小值。第四类是:求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲

39、面围成的物体的重心。这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量 变量 问题。四、解答题【20分)答 :几 何 原本的思想方法的特点: 封闭 的 演绎体系因为 在 几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引人的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此几何原本是一个封闭的演绎体系。另外 ，几 何原本的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所 以 ，几 何原本是一个封闭的演绎体系。 抽象 化 的内容几 何 原 本中研究的对象都是抽

40、象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。 公 理 化的方法几 何 原 本的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引人和证明定理。定理的引人是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。九 章 算 术的思想方法的特点: 开 放 的归纳体系从 九 章 算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的

41、体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在 九 章 算术中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法;再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法;最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术。另 外 该 书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写人九章算术。因 此 ， 九章算术是一个开放的归纳体系。 算 法 化的内容九 章 算 术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出 “术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。 模 型

42、化的方法九 章 算 术各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。试卷代号:1173 座位号巨二一、填空题(每题3分，共3。分)1.等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征: ，加人到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。2.所谓类比，是指;常称这种方法为类比法，也称类比推理。.反例反驳的理论依据是形式逻辑的.猜想具有两个显著特点:算法大致可以分为所谓数学模型方法是所谓特殊化方法是指在研究问题时，两大类。的思想方法。8特性。9数学模型具有公理方

43、法就是从初始概念和公理出发，按照，推导出1i.他一切命题的一种演绎方法10 .概 括 通常包括两种:经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识的认识。二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)1. 数 学 思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。( )2. 由 类 比法推得的结论必然正确。( )3. 有 时 特殊情况能与一般情况等价。( )4. 演 绎 的根本特点就是当它的前提为真时，结论必然为真。( )5. 抽 象 得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。( )得分评卷人

44、三、简答题(每题10分，共30分)1.简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。2.简述计算机在数学方面的三种新用途。3.简述化归方法的和谐化原则。四、解答题(20分)以“ 认 识 长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。(要 求 : 教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次;要有与数学知识教学相联系的本课程中所学习的数学思想方法教学内容;不少于300字)一、填空题(每题3分，共30分)1. 两 边 相等2. 由 一 类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法3. 矛 盾 律4. 具 有一定的科学性，具有一定的推测性5. 多 项 式算法和指数型算法

45、6. 利 用 数学模型解决问题的一般数学方法7. 从 对 象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合8. 抽 象 性、准确性和演绎性、预测性9. 一 定 的规定定义出其他所有的概念10. 由 对 个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)3. 是 4.是5.是三、简答题(每题10分，共30分)1. 答 : 确定性现象的特点是:在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。随机现象的特点是:在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于随机现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述;此外，由于随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地揭示这利，规律性。2. 答 : 推